オペラッド（operad）は圏の変種ですが、最近はよく使われます。複圏（multicategory）はオペラッドの同義語だと思っていいでしょう。単一対象（single object）の複圏だけをオペラッドと呼び、色付きオペラッド（colored/coloured operad）を複圏と同義語だとする人もいます。対称性（対称群による作用）があるときだけオペラッドと呼ぶ人もいた気がします。
オペラッドと複圏を区別するのは鬱陶しいだけだと僕は思います。だったらどっちか一方で良さそうなもんですが、どちらも使用者がいるのでそうもいかない。オペラッドと複圏を区別する人は実際にいるので、個別ケースごとに注意するしかないですね。
圏の別な変種に多圏（polycategory）があります。圏→複圏→多圏とだんだん一般化されているので、圏／複圏／多圏の3つ組を使う（オペラッドは使わない）ことを僕は好んでいます。ちなみに、多圏をチャンと扱うのは大変です（「多圏の必要性、煩雑さ、そして単純化」参照）。
さて、圏／複圏／多圏の構成素を何と呼びましょうか？ 圏なら対象と射ですが、複圏と多圏では？ この問題は「形容詞「複」「多」と箙〈えびら〉」で議論したことがあります。次が僕の案です。
- 圏の構成素： 射＝morphism
- 複圏の構成素： 複射＝multimorphism
- 多圏の構成素： 多射＝polymorphism
問題点は、"polymorphism"が「多相」とカブってしまうことです。でも、日本語なら問題ないので僕は使う気でいます。
圏から結合（composition）と恒等（identity）の構造を忘れるとグラフになります。次の忘却関手があります。
- ForgetCat:Cat→Graph
同様に、複圏／多圏から結合と構造の構造を忘れると何になるでしょうか。次のようだとスッキリします。
- ForgetMulticat:Multicat→Multigraph
- ForgetPolycat:Polycat→Polygraph
しかし、マルチグラフは多重辺を認めるグラフのことだし、ポリグラフは嘘発見器（俗称）のことです。
そもそも、「グラフ」という言葉が多義的で定義を確定しにくいので、「多重辺も自己ループ辺も認める有向グラフ」の意味で箙（えびら; quiver; クイヴァー）を使おう、と思っています。
複箙（multiquiver）と多箙（polyquiver）を使えば、既存の言葉とのバッティングを避けられます。複箙／多箙の辺（arrow, edge）は複辺／多辺で良さそうですが、「多辺」は多辺形のように「複数の辺がある」と捉えられそうなので、カタカナ書きの「アロー」が無難そう。
- 複アロー（multiarrow）
- 多アロー（polyarrow）
複アローはオペレータ／オペレーションと呼ばれることがあります。また、その形状から、複アローをフォーク（fork）、多アローをスパイダー（spider）と呼んでいる例もあります。
圏の一般化として高次圏（higher category）もあります。複圏／多圏の高次化は、高次複圏（higher multicategory）／高次多圏（higher polycategory）でいいでしょう。名前はすぐに決められますが、実際に高次複圏／高次多圏を定義するのはとても大変です。
高次複圏／高次多圏の構成素の呼び名は？ 高次複射／高次多射でいいと思いますが、実際には次元nを付けてn-複射（n-multimorphism）／n-多射（n-polymorphism）でしょう。こういう一般的な構成素をセルと呼ぶ習慣がありますが、最近「セル」は使いたくないなー、と思っています。理由は、Globularのなかで「セル」をかなり狭い（特定された）意味で使っているからです。
先に、ポリグラフは嘘発見器（俗称）のことだと言いました。しかし実は、ポリグラフ（多グラフ）は高次グラフ（higher graph）の意味で使われています。ポリグラフの同義語にコンピュータッド（computad）があります。
今までの流れで言えば、コンピュータッドは高次箙（higher quiver）と呼ぶのが自然でしょう。高次複箙（higher multiquiver）、高次多箙（higher polyquiver）の意味も類推できます。任意のnに関して、次のような忘却関手があるとします（そうなるように定義する）。
- nForgetCat:nCat→nQuiv
- nForgetMulticat:nMulticat→nMultiquiv
- nForgetPolycat:nPolycat→nPolyquiv
忘却関手の左随伴である自由生成関手があることが期待されます。実際に自由生成関手を構成するのは大変そうです。その随伴性を高次化することも考えられますが、さらに大変そう。
複（multi-）、多（poly-）、高次（higher）という接頭辞・形容詞だけで済み、しかも辻褄が合った用語法を提案してみました。ですが、実際に使われている用語法は辻褄が合っているとは限りません。とにかく毎回確認するしかないです！ そういう確認作業のためにも、用語法をいったん整理することは意味があると思います。
