「指標〈signature〉」とほぼ同じ意味の言葉（同義語・類義語）が山のようにあってウンザリするなー、って話は何度かしたことがあります。僕としては、同義語・類義語を使い分けるのは面倒で嫌なので、「指標」だけで済ませたいです。が、「指標」と「仕様」を使い分けるかどうかは、ちょっと悩みます。
内容：
指標の例
最初に具体例を挙げましょう。毎度お馴染みのモノイドの指標です。この指標は集合圏Setで解釈されるとします。集合圏Setは、直積'×'をモノイド積とするモノイド圏とみなし、'I'はそのモノイド単位（同時に終対象）である単元集合です。
signature Monoid {
sort A
operation m: A×A→A
operation i: I→A
equation assoc:: (m×id_A);m ⇒ (id_A×m);m :A×A×A→A
equation lunit:: (i×id_A);m ⇒ id_A :A→A
equation runit:: (id_A)×i;m ⇒ id_A :A→A
}等式的法則（equationの部分）に出てくる'⇒'は、'='に置き換えてしまってもかまいません。ただし、上の記述は多少不正確で、モノイド圏の結合律子／左単位律子／右単位律子をちゃんと書いてはいません。ここらへんのところは、次の記事とそこから参照されている他の記事を参照してください。
僕は、法則（結合法則、左単位法則、右単位法則）も含めて「モノイドの指標」と呼んでいます。しかし、法則を除いたものを指標と呼び、法則を入れると仕様〈specification〉と呼ぶ人もいます。
インスティチューションの理論などでは、法則が入ってない指標と、法則を入れた仕様を区別したほうが確かに分かりやすいです。なんでもかんでも指標で済ませると、区別したいときに困るような気がします。
多パート指標
トム・レンスター〈Tom Leinster〉は（例えば https://arxiv.org/abs/math/9810017 で）、指標をデータ・パートと公理パートに分けて書いています（書き方はインフォーマルですが*1）。モノイドの指標をパート分けして書き直すと：
signature Monoid {
Data {
sort A
operation m: A×A→A
operation i: I→A
}
Axioms {
equation assoc:: (m×id_A);m ⇒ (id_A×m);m :A×A×A→A
equation lunit:: (i×id_A);m ⇒ id_A :A→A
equation runit:: (id_A)×i;m ⇒ id_A :A→A
}
}パートへの分け方やパートの名称などは色々あり得るでしょう。パートに分けないことは、パート分けの特別な場合といえます。
パート分けを持つような指標を多パート指標〈multipart signature〉と呼ぶことにすれば、“指標と仕様の区別”を多パート指標により再現できます。
| 方法 | 法則なし | 法則あり |
|---|---|---|
| 指標と仕様を区別する | 指標 | 仕様 |
| 多パート指標を使う | Axiomsパートを持たない指標 | Axiomsパートを持つ指標 |
Axiomsパートを持たない指標とは、Axiomsパートが空な指標と言っても同じです。
signature Monoid {
Data {
sort A
operation m: A×A→A
operation i: I→A
}
Axioms {
}
}台集合と演算だけが定義されて、法則は記述されてません。
多パート指標は入れ子構造を持つ指標なので、もっと深い（二段以上の）入れ子を使ってもいいでしょう。あまり複雑にすると扱いにくくなりますが、指標のパート分け（入れ子構造）を使えば、記述のツールとしての柔軟性が増すでしょう。
[追記]「どのようにパート分けすべきか？」とか「それぞれのパートはどんな意味・意義があるのか？」とか考え出すと、なかなかに難しい問題ですね。指標類似物が山のようにあるのは、それだけ重要な概念だからでしょう。指標のパート分けの問題もたぶん重要なんだと思います。[/追記]
*1:[追記]書き方の構文定義を事前にしてないだけで、厳密な書き方だから、インフォーマルというのは違うな。文法を明示しないけどフォーマルな書き方？ とかかな。[/追記]
