「半グラフに関わる諸概念 // 半グラフの接合」において、マッチャー（「半グラフに関わる諸概念 // マッチャー」参照）を使った半グラフの接合の定義を与えました。もっとカッコイイ定義を思いつきました。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\In}{\text{ in } }
\newcommand{\Glue}[3]{ \mathop{ \overset{#2}{_{#1} +_{#3}}} }
`$
$`\alpha, \beta`$ を半グラフとして、マッチャー $`m`$ による接合〈grafting〉は、
$`\quad \alpha \odot_m \beta`$
と書きました。「半グラフに関わる諸概念 // マッチャー」において、マッチャー〈matcher〉の定義を三種類与えました。そのなかのひとつは、左右の脚が単射であるスパンです。
$`\require{AMScd}
\quad \begin{CD}
\mrm{Tail}(\alpha) @<{l}<< I @>{r}>> \mrm{Tail}(\beta)
\end{CD}
`$
スパンとしてのマッチャーの情報を完全に書き込むと、半グラフの接合は次のように書けます。
$`\quad \alpha \,\mathop{ \overset{I}{_l \odot_m}} \beta`$
$`I = \emptyset`$ のときは直和になるので、接合は足し算の一般化だと思って、次の記法でもいいでしょう。
$`\quad \alpha \,\Glue{l}{I}{r} \beta`$
マッチャーにはスパンを使うとして、スパンの胴〈ボディ〉$`I`$ を単なる集合から半グラフ $`\gamma`$ にして、スパンの左右の脚も半グラフ射に変更します。するとマッチャーは次の形になります。
$`\quad
\begin{CD}
\gamma @>{r}>> \beta \\
@V{l}VV @.\\
\alpha @. {}
\end{CD}\\
\quad \In {\bf SemiGraphC}
`$
この形の図式に余極限があれば、その余極限対象を $`\alpha`$ と $`\beta`$ の接合と定義します。スパンの余極限はプッシュアウトというので、プッシュアウトによる接合の定義になります。
$`\quad
\begin{CD}
\gamma @>{r}>> \beta \\
@V{l}VV @VVV\\
\alpha @>>> {\alpha \,\Glue{l}{I}{r} \beta}
\end{CD}\\
\quad \text{pushout} \In {\bf SemiGraphC}
`$
接合を行うとき、マッチャーの左右の脚は埋め込みの場合が多いでしょう。埋め込みによる接合は貼り合わせ〈gluing〉とも呼びます。特に、エタール埋め込み〈etale embedding〉（次の段落参照）を使うと、$`\alpha, \beta`$ の構造を壊さずにきれいに貼り合わせができます。スパンの脚であるエタール埋め込みは“糊しろ”を与えます。
エタール埋め込みは、頂点のあいだの写像が単射であるエタール射です。半グラフのエタール射については「半グラフのあいだのエタール射」を参照してください。
特別な場合として、$`\alpha, \beta`$ がボリソフ／マニン半グラフの一点コンパクト化（「半グラフに関わる諸概念 // 半グラフの一点コンパクト化と一点削除」参照））だとします。$`\alpha`$ の任意の頂点を $`v`$ とします。$`v`$ の近傍カローラ（「半グラフのあいだのエタール射 // 半グラフのあいだのエタール射〉参照）と、$`\beta`$ の無限遠点 $`\infty`$ の近傍カローラが同型だとします。
このとき、近傍カローラの包含写像（当然にエタール埋め込み） $`l`$ とエタール埋め込み $`r`$ により次のスパンが構成できます。
$`\quad
\begin{CD}
\mrm{NbC}_\alpha(v) @>{r}>> \beta \\
@V{l}VV @.\\
\alpha @.
\end{CD}\\
\quad \In {\bf SemiGraphC}
`$
このスパン〈マッチャー〉の余極限対象を特にグラフ挿入〈graph insertion〉と呼びます。グラフ挿入は、半グラフ $`\alpha`$ の頂点 $`v`$ を半グラフ $`\beta`$ で置き換える操作になります。$`\beta`$ の無限遠点 $`\infty`$ は $`\beta`$ 全体を代表する便宜上の頂点です。
上の定義だと、$`\alpha`$ の頂点 $`v`$ と $`\beta`$ の無限遠点 $`\infty`$ は同一視されますが、その同一視された頂点が結果の半グラフに残ってしまいます。具体的に構成されるグラフ挿入では、この頂点は残ってません。余分な頂点を取り除く操作が必要です。その話はまたいずれ。
[/追記]
挿入点である $`v`$ も明示して書くと、グラフ挿入（の結果）は次のように書けます。
$`\quad (\alpha, v) \Glue{l}{\gamma}{r} \beta \text{ where }\gamma := \mrm{NbC}_\alpha(v)`$
上記のことを次のように表現します。
- $`(\alpha, v) \Glue{l}{\gamma}{r} \beta`$ is an insertion of $`\beta`$ into $`\alpha`$ at $`v`$ along $`r`$.
- $`(\alpha, v) \Glue{l}{\gamma}{r} \beta`$ は、$`\alpha`$ への、$`r`$ に沿った、頂点 $`v`$ における $`\beta`$ のグラフ挿入である。
グラフ挿入は余極限なので、一意的に決まるわけではありません。しかし up-to-iso では一意に決まるので、グリフレベルでは確定した演算になります（グリフについては「半グラフに関わる諸概念 // 半グラフのグリフ〈抽象形状〉の可換モノイド」参照）。
