「関手は自然変換」という記事で、関手の射パートが自然変換になることを指摘しました。この記事では、自然変換が関手として解釈可能なことを説明します。
自然変換が関手であることを、アロー構成〈Arr構成〉に関する“とある公式”の特別なケースと位置付けます。アロー構成で得られるアロー圏は、定義の上では二重圏ではありませんが、二重圏にしようと思えばそうできます。つまり、アロー圏は二重圏の事例ともなります。（この記事では二重圏に仕立てていませんが。）$`\newcommand{\In}{\text{ in }}
\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} }
\newcommand{\twoto}{ \Rightarrow }
`$
内容：
アロー圏
圏 $`\cat{C}`$ に対して、$`\cat{C}`$ のアロー圏〈arrow category〉$`\mrm{Arr}(\cat{C})`$ を定義できます。$`\cat{A} := \mrm{Arr}(\cat{C})`$ と置くとして：
- $`|\cat{A}| = \mrm{Obj}(\cat{A}) := \mrm{Mor}(\cat{C})`$
- $`\mrm{Mor}(\cat{A})`$ は、$`\cat{C}`$ の可換四角形〈commutative square〉の集合
「アロー」は「射〈1-射〉」の同義語です。アロー圏 $`\cat{A} = \mrm{Arr}(\cat{C})`$ の対象は、$`\cat{C}`$ の射〈アロー〉なので、アロー圏と呼ばれます。アロー圏の射 $`\alpha`$ は、$`\cat{C}`$ の可換四角形ですから次のように描けます。
$`\quad \xymatrix{
\cdot \ar[r]^{p} \ar[d]_{f} \ar@{}[dr]|{\alpha\,\Downarrow\:}
& \cdot \ar[d]^{g}
\\
\cdot \ar[r]_q
& \cdot
}\\
\quad \text{commutative}\In \cat{C}`$
この可換四角形を、次のように書きます。
$`\quad \alpha : p \to q \In \mrm{Arr}(\cat{C})`$
アロー圏の射 $`\alpha`$ の域・余域〈domain/codomain〉は、二重圏の記法との整合性の都合で $`\mrm{src}/\mrm{trg}`$ と書くことにします。
$`\quad \mrm{src}(\alpha) = p\\
\quad \mrm{trg}(\alpha) = q
`$
アロー（アロー圏の対象）$`p`$ に対する恒等射 $`\mrm{ids}_p`$ は次の可換四角形です。$`\mrm{ids}`$ は、$`\cat{C}`$ の恒等射 $`\mrm{id}`$ と区別するための綴りですが、identity square と読んでください。
$`\quad \xymatrix@C+1pc{
\cdot \ar[r]^{p} \ar[d]_{\mrm{id}} \ar@{}[dr]|{\mrm{ids}_p\,\Downarrow\:}
& \cdot \ar[d]^{\mrm{id}}
\\
\cdot \ar[r]_p
& \cdot
}\\
\quad \text{commutative}\In \cat{C}`$
$`\alpha, \beta`$ をアロー圏 $`\cat{A} = \mrm{Arr}(\cat{C})`$ の射だとして、その結合〈composition〉 $`\alpha;\beta`$ は次のように定義します。
$`\quad \alpha ; \beta := \xymatrix{
\cdot \ar[r]^{p} \ar[d]_{f} \ar@{}[dr]|{\alpha\,\Downarrow\:}
& \cdot \ar[d]^{g}
\\
\cdot \ar[r]|q \ar[d]_{h} \ar@{}[dr]|{\beta\,\Downarrow\:}
& \cdot \ar[d]^{k}
\\
\cdot \ar[r]_r
& \cdot
}\\
\quad \text{where } \mrm{trg}(\alpha) = \mrm{src}(\beta) = q
`$
2つの四角形 $`\alpha, \beta`$ は（定義より）可換なので、外側の四角形も可換です。外側の四角形が $`\alpha;\beta`$ を与えます。
アローの集合と可換四角形の集合、それと写像達 $`\mrm{src}, \mrm{trg}, \mrm{ids}, (;)`$ が、圏の法則〈公理〉を満たすことは容易に確認できます。こうして作られた圏が $`\cat{C}`$ のアロー圏 $`\mrm{Arr}(\cat{C})`$ です。
アロー構成の繰り返し
$`\cat{C} \mapsto \mrm{Arr}(\cat{C})`$ は、圏に圏を対応させる写像になっています。この写像をアロー圏構成〈arrow category construction〉、あるいは短くアロー構成〈Arr構成 | {Arr | arrow} construction〉と呼びます。
圏 $`\cat{C}`$ にアロー構成を2回施すとどうなるかを見てみましょう。$`\cat{B} := \mrm{Arr}(\mrm{Arr}(\cat{C}))`$ と置きます。
$`\cat{B}`$ の対象と射は、$`\cat{A} = \mrm{Arr}(\cat{C})`$ の射と可換四角形なので、次のように描けます。
$`\quad \xymatrix{
p \ar[r]^{\alpha} \ar[d]_{\phi} \ar@{}[dr]|{\Phi\,\Downarrow\:}
& q \ar[d]^{\psi}
\\
r \ar[r]_{\beta}
&s
}\\
\quad \text{commutative}\In \cat{A}
`$
これをもとの圏 $`\cat{C}`$ 内に展開して描けば以下のようです*1。
$`\quad \xymatrix{
% 1
{}
& \cdot \ar[rr] \ar[dd]
& {}
& \cdot \ar[dd]
\\ % 2
\cdot \ar[ur]^{p} \ar[rr] \ar[dd]
\ar@{}[urrr]|{\alpha\,\Rightarrow\:}
\ar@{}[dr]|{\phi\,\Downarrow\:}
& {}
& \cdot \ar[ur]_{q} \ar[dd]
\ar@{}[dr]|{\psi\,\Downarrow\:}
& {}
\\ % 3
{}
& \cdot \ar[rr]
& {}
& \cdot
\\ %4
\cdot \ar[rr] \ar[ur]^{r}
\ar@{}[urrr]|{\beta\,\Rightarrow\:}
& {}
& \cdot \ar[ur]_{s}
& {}
}\\
\quad \text{commutative} \In \cat{C}
`$
サイコロのような六面体の4面に、$`\alpha, \beta, \phi, \psi`$ がマークされています。それぞれの面（四角形）が可換であることから、$`\alpha; \psi = \phi; \beta`$ という可換性は自動的に成立します。つまり、$`\cat{C}`$ 内に、$`\alpha, \beta, \phi, \psi`$ を含む六面体*2の形状を作ってしまえば、追加の条件は不要です。この六面体が、$`\cat{B} = \mrm{Arr}(\cat{A})`$ の射 $`\Phi: \alpha \to \beta`$ を与えます。
ここまでで、$`\cat{B}`$ の対象の集合と射の集合の定義しかしてませんが、域／余域／恒等射／結合も定義できて圏の法則〈公理〉も確認できるので、$`\cat{B} = \mrm{Arr}(\cat{A}) = \mrm{Arr}(\mrm{Arr}(\cat{C}))`$ は圏になります。
組み合わせ的に煩雑になりますが、同様な手順を繰り返して $`\mrm{Arr}(\mrm{Arr}(\mrm{Arr}(\cat{C})))`$ も定義できます。一般的に、次の定義をしましょう。
$`\quad \mrm{Arr}^0(\cat{C} ) := \cat{C}\\
\quad \mrm{Arr}^1(\cat{C} ) := \mrm{Arr}(\cat{C})\\
\quad \mrm{Arr}^2(\cat{C} ) := \mrm{Arr}(\mrm{Arr}^1(\cat{C}))\\
\quad \mrm{Arr}^3(\cat{C} ) := \mrm{Arr}(\mrm{Arr}^2(\cat{C}))\\
\quad \cdots\\
\quad \mrm{Arr}^{n + 1}(\cat{C} ) := \mrm{Arr}(\mrm{Arr}^n(\cat{C}))
`$
アロー圏の作り方から次が言えます。
$`\quad \mrm{Obj}(\mrm{Arr}^{n + 1}(\cat{C} )) = \mrm{Mor}(\mrm{Arr}^n(\cat{C}) )`$
具体的には：
$`\quad \mrm{Obj}(\mrm{Arr}^1(\cat{C} ) ) = \mrm{Mor}(\mrm{Arr}^0(\cat{C}) )\\
\quad \mrm{Obj}(\mrm{Arr}^2(\cat{C} ) ) = \mrm{Mor}( \mrm{Arr}^1(\cat{C}) )\\
\quad \mrm{Obj}(\mrm{Arr}^3(\cat{C} ) ) = \mrm{Mor}( \mrm{Arr}^2(\cat{C}) )\\
\quad \cdots
`$
アロー圏の反射的グラフ構造
有向グラフを単に「グラフ」と呼ぶことにして、グラフは集合圏のなかの次の図式で表現できます。
$`\quad \xymatrix{
E \ar@/^/[r]^{s} \ar@/_/[r]_{t}
& V
}\\
\quad \In {\bf Set}
`$
反射的グラフ〈reflexive graph〉は、次の図式と等式（集合圏の2-射）で定義されます。
$`\quad \xymatrix{
E \ar@/^/[r]^{s} \ar@/_/[r]_{t}
& V \ar[l]|{i}
}\\
\quad i; s = \mrm{id}_V\\
\quad i; t = \mrm{id}_V\\
\quad \In {\bf Set}
`$
圏 $`\cat{C}`$ とそのアロー圏 $`\cat{A} = \mrm{Arr}(\cat{C})`$ を考えると、圏（小さいとは限らない）の圏 $`{\bf CAT}`$ のなかで、反射的グラフ構造を作れます。反射的グラフ構造の構成素名は $`\mrm{Start}, \mrm{Goal}, \mrm{Id}`$ とします。反射的グラフ構造は次の図式と等式で表現できます。
$`\quad \xymatrix{
\cat{A} \ar@/^/[r]^{\mrm{Start}} \ar@/_/[r]_{\mrm{Goal}}
& \cat{C} \ar[l]|{\mrm{Id}}
}\\
\quad \mrm{Id}; \mrm{Start} = {\bf id}_\cat{C}\\
\quad \mrm{Id}; \mrm{Goal} = {\bf id}_\cat{C}\\
\quad \In {\bf CAT}
`$
太字の $`{\bf id}`$ は恒等関手です。通常僕は、恒等関手を $`\mrm{Id}`$ で書いているのですが、記号のコンフリクトを避けて太字を使いました。セミコロンは関手の結合です。これも、通常はアスタリスクを使ってますが、$`{\bf CAT}`$ の2-圏構造を使わないので、今はセミコロンでいいとします。
$`\mrm{Start}, \mrm{Goal}, \mrm{Id}`$ は関手ですが、以下のように定義します。
$`\text{For }p \in |\cat{A}|\\
\quad \mrm{Start}(p) := (\mrm{dom}(p) \; \in |\cat{C}|)\\
\quad \mrm{Goal}(p) := (\mrm{cod}(p) \; \in |\cat{C}|)\\
\text{For }\alpha : p \to q \In \cat{A}\\
\text{Where } \alpha = \xymatrix{
\cdot \ar[r]^{p} \ar[d]_{f}
& \cdot \ar[d]^{g}
\\
\cdot \ar[r]_{q} \ar[r]_{q}
& \cdot
}\\
\quad \mrm{Start}(\alpha) := (f : \mrm{dom}(p) \to \mrm{dom}(q) \In \cat{C})\\
\quad \mrm{Goal}(\alpha) := (g : \mrm{cod}(p) \to \mrm{cod}(q) \In \cat{C})
`$
$`\text{For }A \in |\cat{C}|\\
\quad \mrm{Id}(A) := (\mrm{id}_A \; \in |\cat{A}|)\\
\text{For }f:A \to B \In \cat{C}\\
\quad \mrm{Id}(f) := {\xymatrix{
A \ar[r]^{\mrm{id}_A} \ar[d]_{f}
&A \ar[d]^{f}
\\
B \ar[r]_{\mrm{id}_B}
&B
}\\
: \mrm{Id}(A) \to \mrm{Id}(B) \In \cat{A}}
`$
$`\mrm{Start}, \mrm{Goal}, \mrm{Id}`$ が関手であること、それと次の等式は確認できます。
$`\quad \mrm{Id}; \mrm{Start} = {\bf id}_\cat{C} \; : \cat{C} \to \cat{C}\In {\bf CAT}\\
\quad \mrm{Id}; \mrm{Goal} = {\bf id}_\cat{C} \; : \cat{C} \to \cat{C}\In {\bf CAT}
`$
以上から、圏 $`\cat{C}`$ を“頂点の圏”、アロー圏 $`\cat{A}`$ を“辺の圏”とする反射的グラフ構造が、圏の圏 $`{\bf CAT}`$ 内に構成できました。
反射的グラフ構造の上に、結合〈composition〉演算を載せると圏になります。圏の圏のなかで圏構造を定義するわけです。圏の圏のなかの圏とは、二重圏のことです。今日は、二重圏を作ることはしません。
自然変換は関手
ここまで準備ができれば、表題の「自然変換は関手」であることは、比較的簡単にわかります。詳細は割愛して、筋書きだけを説明します。
$`\cat{C},\cat{D}`$ を圏として、関手圏は $`[\cat{C},\cat{D}]`$ と書きます。$`[\cat{C},\cat{D}]`$ は、デカルト圏とみた“圏の圏 $`{\bf CAT}`$”内の指数対象〈内部ホム対象〉です。アロー圏 $`\mrm{Arr}(\cat{D})`$ も圏なので、$`[\cat{C}, \mrm{Arr}(\cat{D})]`$ を考えることができます。この関手圏 $`[\cat{C}, \mrm{Arr}(\cat{D})]`$ の対象（つまり関手）が、自然変換に対応します。
前段落の主張を示すために、$`H\in \mrm{Obj}([\cat{C}, \mrm{Arr}(\cat{D})])`$ に対して、$`\eta`$ を構成します。まず、$`H`$ から2つの関手 $`F, G`$ を作っておきます。
$`\quad F := H; \mrm{Start}\\
\quad G := H; \mrm{Goal}
`$
$`\mrm{Start}, \mrm{Goal}`$ は、前節で述べたグラフ構造の関手です。
$`\quad \xymatrix@C+1.5pc{
\cat{C} \ar[r]|-{H} \ar@/^2pc/[rr]^{F} \ar@/_2pc/[rr]_{G}
& \mrm{Arr}(\cat{D}) \ar@/^/[r]^{\mrm{Start}} \ar@/_/[r]_{\mrm{Goal}}
& \cat{D}
}\\
\quad \In {\bf CAT}
`$
この設定で、$`f:A \to B \In \cat{C}`$ を $`H`$ で $`\mrm{Arr}(\cat{D})`$ へと送った $`H(f)`$ を、$`\cat{D}`$ 内に展開して描くと次のようになります。
$`\quad H(f:A \to B) = {
\xymatrix{
F(A) \ar[d]_{F(f)} \ar[r]^{H(A)}
\ar@{}[dr]|{H(f)\,\Downarrow\:}
& G(A) \ar[d]^{G(f)}
\\
F(B) \ar[r]_{H(B)}
& G(B)
}\\
\In\cat{D} }
`$
ここで、$`H(f)`$ は四角形の可換性を表す等式のことです。
次のように置きます。
$`\text{For }A\in |\cat{C}|\\
\quad \eta_A := H(A)
`$
すると、上記の図式は、$`\eta`$ の自然性〈naturality〉を表現する可換図式となります。
$`\quad \xymatrix{
F(A) \ar[d]_{F(f)} \ar[r]^{\eta_A}
& G(A) \ar[d]^{G(f)}
\\
F(B) \ar[r]_{\eta_B}
& G(B)
}\\
\quad \text{commutative}\In\cat{D}
`$
細部を確認すると、関手 $`H`$ が自然変換 $`\eta :: F \twoto G`$ を表現していることがわかります。この事実は、次のように書けます。
$`\quad \mrm{Obj}([\cat{C}, \mrm{Arr}(\cat{D})]) \cong \mrm{Mor}([\cat{C}, \cat{D}])`$
あるいは：
$`\quad \mrm{Obj}([\cat{C}, \mrm{Arr}^1(\cat{D})]) \cong \mrm{Mor}([\cat{C}, \mrm{Arr}^0(\cat{D})])`$
アロー構成の繰り返しを考えると、次のように一般化できます。
$`\quad \mrm{Obj}([\cat{C}, \mrm{Arr}^{n + 1}(\cat{D})]) \cong \mrm{Mor}([\cat{C}, \mrm{Arr}^n(\cat{D})])`$
