最近の記事「添加仮想二重圏」で、添加仮想二重圏〈augmented virtual double category〉を定義しました。添加仮想二重圏の2-射の形状をこの記事でまとめておきます。
2-射のソースとターゲットは、プロ射のパスです。ただし、ターゲットのパスは長さ1以下です。ターゲット・パスの長さが1の2-射は次の形をしています。
$`\quad \xymatrix@R+1pc{
A_0 \ar@{-->}[r]^{p_1} \ar[d]_{f} \ar@{}[rrrrd]|{\phi}
& A_1 \ar@{..}[r]
& {} \ar@{..}[r]
& A_{n - 1}\ar@{-->}[r]^{p_n}
& A_n \ar[d]^{g}
\\
B_0 \ar@{-->}[rrrr]_{q}
&{}
&{}
&{}
& B_1
}`$
このときの $`n`$ を2-射の項数〈arity〉と呼びます。ターゲット・パスの長さは余項数〈coarity〉で、この場合は余項数 $`1`$ です。$`(n, 1)`$ を、2-射の項数ペア〈arity pair〉と呼ぶことにします*1。
項数ペアが $`(n, 0)`$ （余項数が $`0`$）の2-射は次の形になります。
$`\quad \xymatrix@R+1pc{
A_0 \ar@{-->}[r]^{p_1} \ar[drr]_{f}
& A_1 \ar@{..}[r]
& {} \ar@{..}[r] \ar@{}[d]|{\phi}
& A_{n - 1}\ar@{-->}[r]^{p_n}
& A_n \ar[dll]^{g}
\\
{}
&{}
& B
&{}
&{}
}`$
項数ペア $`(n, k)`$ の2-射をさらに細かく分類しましょう。
| 名称 | 項数ペアの条件 |
|---|---|
| 四角形2-射 | $`n\ne 0`$ かつ $`k = 1`$ |
| 正方形2-射 | $`n = 1`$ かつ $`k = 1`$ |
| ターゲット端三角形2-射 | $`n\ne 0`$ かつ $`k = 0`$ |
| ソース端三角形2-射 | $`n = 0`$ かつ $`k = 1`$ |
| ニ角形2-射 | $`n = 0`$ かつ $`k = 0`$ |
四角形2-射〈rectangle 2-morphism〉、上の最初の例がそうです。
正方形2-射〈square 2-morphism〉は、二重圏の2-射と同じ形状です。
$`\quad \xymatrix {
A \ar@{-->}[r]^{p} \ar[d]_{f} \ar@{}[rd]|{\phi}
& C \ar[d]^{g}
\\
B \ar@{-->}[r]_{q}
&D
}`$
ターゲット端三角形2-射〈target-pointed triangle 2-morphism〉、上のニ番目の例がそうです。
ソース端三角形2-射〈source-pointed triangle 2-morphism〉は次の形です。
$`\quad \xymatrix@C-1pc@R+0.5pc{
{}
& A \ar[dl]_{f} \ar[dr]^{g} \ar@{}[d]|{\phi}
& {}
\\
B \ar@{-->}[rr]_{q}
& {}
& C
}`$
ニ角形2-射〈bigon 2-morphism〉は次の形です。
$`\quad \xymatrix@R+0.5pc{
A \ar@/_1pc/[d]_{f} \ar@/^1pc/[d]^{g} \ar@{}[d]|{\phi}
\\
B
}`$
添加仮想二重圏では、タイト射が $`\mathrm{id}_A`$ のときや、プロ射が $`\mathrm{Id}(A)`$ のときも対象として扱うことはしません。しかし、矢印の代わりにイコールを使うことは許します。次はその例です。
$`\quad \xymatrix@R+1pc{
A_0 \ar@{-->}[r]^{p_1} \ar[d]_{f} \ar@{}[rrrrd]|{\phi}
& A_1 \ar@{..}[r]
& {} \ar@{..}[r]
& A_{n - 1}\ar@{-->}[r]^{p_n}
& A_n \ar[d]^{g}
\\
B \ar@{=}[rrrr]
&{}
&{}
&{}
& B
}`$
$`\quad \xymatrix {
A \ar@{=}[r] \ar[d]_{f} \ar@{}[rd]|{\phi}
& A \ar[d]^{g}
\\
B \ar@{-->}[r]_{q}
&C
}`$
$`\quad \xymatrix {
A \ar@{=}[r] \ar[d]_{f} \ar@{}[rd]|{\phi}
& A \ar@{=}[d]
\\
B \ar@{-->}[r]_{q}
& A
}`$
$`\quad \xymatrix@C-1pc@R+0.5pc{
A \ar@{-->}[rr]^{p} \ar@{=}[dr]
& {} \ar@{}[d]|{\phi}
& B \ar[dl]^{g}
\\
{}
& A
&{}
}`$
*1:クーデンバーグ〈Seerp Roald Koudenburg〉は、余項数や項数ペアを arity と呼んでいて、ちょっと混乱します。
