双遷移系のテンソル積 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

「双遷移系達の3次元の圏」で述べた3次元の圏類似代数系のプロ射（プロ方向の1-射）は双遷移系です。プロ射のプロ方向への結合は、双遷移系のテンソル積で与えられます。この記事で、双遷移系のテンソル積を定義します。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} }
\newcommand{\In}{\text{ in }}
\newcommand{\hyp}{\text{－} }
%\newcommand{\Imp}{\Rightarrow }
\newcommand{\Iff}{\Leftrightarrow }
%\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
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%\newcommand{\dblcat}[1]{\mathbb{#1}}
%\newcommand{\twoto}{ \Rightarrow }
%\newcommand{\vtwoto}{ \Downarrow }
\newcommand{\lact}{ \triangleright }
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%\newcommand{\proar}{\dashrightarrow }
\newcommand{\bts}[3]{ {_{#1}\!{#2} _{#3}} }
\newcommand{\ocdot}{ \mathop{\bar{\cdot}} }
`$

内容：

反対モノイドと反準同型射
両側、左、右からの遷移系
縮約状態空間の構成
縮約状態空間への双作用
テンソル積

反対モノイドと反準同型射

モノイドを、
$`\quad M = (\u{M}, \cdot, e)`$
のように書きます。$`\u{M}`$ はモノイドの台集合〈underlying set〉です。特に混乱が起きないなら、どのモノイドに対しても記号 $`\cdot, e`$ をオーバーロード〈多義的使用〉します。

$`(\u{M}, \cdot, e), (\u{N}, \cdot, e)`$ を2つのモノイドとして、モノイドの台集合のあいだの写像 $`f:\u{M} \to \u{N}`$ が次を満たすとき、反変準同型射〈contravariant homomorphism〉または反準同型射〈anti-homomorphism〉と呼びます。

$`\text{For }a, b\in \u{M}\\
\quad f(a\cdot b) = f(b) \cdot f(a) \; \In \u{N}
`$

反準同型射を通常の準同型射〈共変準同型射〉とみなすために、モノイド $`M`$ の反対モノイド〈opposite monoid〉 $`M^\op = (\u{M^\op}, \ocdot, \o{e})`$ を以下のように定義します。

$`\u{M^\op} := \u{M}`$
$`a \ocdot b := b \cdot a \:\text{ For }a, b \in \u{M^\op} = \u{M}`$
$`\o{e} := e`$

変わったのは、演算の左右を逆転したことだけです。

$`\u{M} = \u{M^\op}`$ なので、恒等写像は次のような写像となります。

$`\quad \mrm{id} : \u{M} \to \u{M^\op} \In {\bf Set}`$

また、恒等写像は、モノイドとしての $`M`$ と $`M^\op`$ のあいだの反準同型射となります。この反準同型射を $`\mrm{Rev}_M`$ とします。モノイドの圏 $`{\bf Mon}`$ では反準同型射を許してないので、反準同型射も入れたモノイドの圏を $`\pm{\bf Mon}`$ とすれば：

$`\quad \mrm{Rev}_M : M \to M^\op \In \pm\!{\bf Mon}`$

$`f:M \to N`$ がモノイドのあいだの反準同型射のとき、$`\mrm{Rev}_M`$ と準同型射 $`f'`$ に分解できます。

$`\quad \xymatrix@C+1pc{
M \ar[r]^{f} \ar[d]_{\mrm{Rev}_M}
& N
\\
{M^\op} \ar[ur]_{f'}
}\\
\quad \text{commutative} \In \pm\!{\bf Mon}
`$

写像 $`\mrm{Rev}_M`$ を、上線〈overline〉で表現します。

$`\text{For }a\in \u{M}\\
\quad \o{a} := \mrm{Rev}_M(a)
`$

写像 $`\mrm{Rev}_M`$ は実際には恒等写像であったことから、次が成立します。

$`\text{For }a, b\in \u{M}\\
\quad \o{a\cdot b} = \o{a} \ocdot \o{b} = a \ocdot b = b \cdot a = \o{b} \cdot \o{a}\\
\quad \o{e} = e
`$

二項演算を併置で書いてしまうと $`\cdot`$ と $`\ocdot`$ の区別ができなくなってしまいますが、それでも次は成立します。

$`\quad \o{a b} = b a = \o{b} \o{a}`$

以上モノイドについて述べた内容が、圏の場合はどうなるかは以下の記事に書いてあります。

両側、左、右からの遷移系

双遷移系とそのあいだの準同型写像については以下で述べています。ここでは繰り返し述べません。

モノイド $`M, N`$ を固定して、すべての $`(M, N)`$-双遷移系とそのあいだの準同型写像を考えます。ただし、双遷移系準同型写像に伴うモノイド射は恒等写像に限定します。そうして作られた圏（通常の1-圏）を
$`\quad (M, N)\text{-}{\bf BiTS}`$
とします。圏 $`(M, N)\text{-}{\bf BiTS}`$ の射 $`f:C \to D`$ は次のように記述できます。

$`\quad f:\u{C} \to \u{D} \In {\bf Set}\\
\text{For }a ,b \in \u{M}, s\in \u{C}\\
\quad f(a\lact s\ract b) = a \lact f(s) \ract b
`$

状態空間への作用を、左作用だけ、右作用だけに限定して、次の圏を作れます。

$`\quad M\text{-}{\bf LTS}\\
\quad N\text{-}{\bf RTS}
`$

$`C = \bts{M}{C}{N}`$ を$`(M, N)`$-双遷移系として、$`C`$ から$`M`$-左遷移系を作れます。その左遷移系を $`L(C) = \bts{M}{C}{}`$ と書くことにします。$`L(C)`$ の$`M`$-左作用は次のように定義します。

$`\text{For }a\in \u{M}, s\in \u{C}\\
\quad a\lact s := a\lact s \ract e
`$

$`f:C \to D`$ が双遷移系の準同型写像のとき、同じ $`f`$ は$`M`$-左遷移系 $`L(C)`$ から $`L(D)`$ への準同型写像になります。したがって、$`L(f) := f`$ と定義して、次の関手を構成できます。

$`\quad L: (M, N)\text{-}{\bf BiST} \to M\text{-}{\bf LST} \In {\bf CAT}`$

同様にして、$`(M, N)`$-双遷移系を$`N`$-右遷移系に送る関手 $`R`$ も定義できます。

$`\quad R: (M, N)\text{-}{\bf BiST} \to N\text{-}{\bf RST} \In {\bf CAT}`$

また、$`M`$-右遷移系 $`\bts{}{C}{M}`$ から$`M^\op`$-左遷移系 $`\bts{M^\op}{C}{}`$ を作ることもできます。左作用を右作用により定義するだけですが、反対モノイド $`M^\op`$ による左作用になります。左遷移系から反対モノイドの右遷移系も作れます。

縮約状態空間の構成

$`C = \bts{M}{C}{N}`$ が$`(M,N)`$-双遷移系、$`D = \bts{N}{D}{P}`$ が$`(N, P)`$-双遷移系のときに、テンソル積双遷移系 $`C\otimes D`$ を構成するのがこの記事の目的です。その準備に、テンソル積双遷移系の状態空間を先に作っておきます。

$`C = \bts{M}{C}{N}`$ に対して右作用だけを取り出した$`N`$-右遷移系 $`R(C) = \bts{}{C}{N}`$ と、$`D = \bts{N}{C}{P}`$ に対しては左作用だけを取り出した$`N`$-左遷移系 $`L(D) = \bts{N}{D}{}`$ を準備しておきます。$`N`$-右遷移系 $`\bts{}{C}{N}`$ と$`N`$-左遷移系 $`\bts{N}{D}{}`$ から、$`\u{C}`$ と $`\u{D}`$ を縮約した状態空間 $`S`$ を構成します。「縮約〈contraction, contracted〉」という言葉を使ったのは、要素の同一視により、空間を縮める操作が入るからです。縮約状態空間〈contracted state space〉 $`S`$ はテンソル積双遷移系 $`C\otimes D`$ の状態空間になります。

集合 $`S`$ （テンソル積の状態空間になる予定のモノ）は、状態空間 $`\u{C}`$ と $`\u{D}`$ に対して直積を作ってから、とある同値関係で商〈quotient〉をとります。その同値関係を $`\simeq`$ とすると：

$`\quad S = (\u{C}\times \u{D})/\!\simeq`$

同値関係 $`\simeq`$ の構成には、$`\bts{}{C}{N}`$ の右作用と $`\bts{N}{D}{}`$ の左作用を使います。

まず、$`b\in \u{N}`$ に対して、$`\u{C}\times\u{D}`$ 上の二項関係 $`\sim_b`$ を次のように定義します。

$`\text{For }(c, d), (c', d')\in \u{C}\times \u{D}\\
\quad (c, d) \sim_b (c', d') :\Iff c = c'\ract b \land d' = b \lact d'
`$

$`(c, d) \sim_b (c', d')`$ のとき、“共通のソース” $`(c', d)`$ があります。$`(c, d)`$ は $`(c', d)`$ から $`b`$-左作用で生成され、$`(c', d')`$ は $`(c', d)`$ から $`b`$-右作用で生成されています。共通のソースと、共通の刺激（$`M`$ の要素） $`b`$ を持っている関係が $`\sim_b`$ です。

$`\quad \xymatrix@C-1.5pc@R+1pc{
{}
& (c', d) \ar@{|->}[dl]_{ (\hyp \ract b, \hyp)} \ar@{|->}[dr]^{(\hyp, b \lact \hyp)}
&{}
\\
(c, d)
& {\sim_b}
& (c', d')
}`$

次に、特定の $`b`$ によらない二項関係 $`\sim`$ を定義します。

$`\text{For }(c, d), (c', d')\in \u{C}\times \u{D}\\
\quad (c, d) \sim (c', d') :\Iff \exists b\in \u{N}.\, (c, d) \sim_b (c', d')
`$

二項関係 $`\sim`$ が同値関係になるとは限らないので、$`\sim`$ を含む最小の同値関係を $`\simeq`$ とします。この種の同値関係については、以下の過去記事でも書いています。

$`(c, d)\in \u{C}\times \u{D}`$ が属する同値類を $`[c, d]\in S`$ と書くことにします。定義より次は成立します。

$`\text{For }b\in \u{M}, \; (c, d)\in \u{C}\times \u{D}\\
\quad [c\ract b, d] = [c, b \lact d]
`$

モノイド $`M`$ が単位元だけからなる自明モノイドのとき、右作用も左作用も“何もしない”作用になります。その場合、同値関係は等値〈イコール〉関係なので、
$`\quad S = ((\u{C} \times \u{D})/\!\simeq) \cong \u{C} \times \u{D}`$
となります。

縮約状態空間への双作用

前節で、双遷移系 $`\bts{M}{C}{N}`$ と $`\bts{N}{D}{P}`$ から縮約状態空間 $`S = (\u{C} \times \u{D})/\!\simeq`$ を構成しました。$`S`$ は単なる集合で、双作用を持っていません。$`S`$ に対して $`(M, P)`$-双作用を定義します。

$`S`$ の要素は $`[c, d]`$ のように表示するとして、双作用の定義は（とりあえず）以下のようになります。

$`\text{For }a\in \u{M}, u\in \u{P}\\
\quad a\lact [c, d]\ract u := [a\lact c, d\ract u]
`$

ただし、この定義が代表元 $`c, d`$ の選び方に寄らないことを確認しないと定義とは言えません。別な代表元 $`c', d'`$ が $`(c, d) \sim_b (c', d')`$ となっているときに、
$`\quad [a\lact c, d\ract u] = [a\lact c', d'\ract u]`$
であることを確認すれば十分です。

$`(c, d) \sim_b (c', d')`$ なら、次のように書けます。

$`\quad (c, d) = (c'\ract b, d),\; (c', d') = (c', b\lact d)`$

これから、

$`\quad (a\lact c'\ract b, d\ract u) \sim_b (a \ract c', b\lact d \ract u)`$

が言えます。つまり、$`[a\lact c, d\ract u] = [a\lact c', d'\ract u]`$ が言えました。

よって、選んだ $`c, d`$ がなんであっても、$`S`$ への$`(a, u)`$-双作用は $`[a\lact c, d\ract u]`$ という表示で書いて大丈夫です。

双作用が満たすべき法則〈公理〉に、双結合律と双単位律があります（「双遷移系達の3次元の圏」参照）。次の計算で示せます。

$`\quad (a' \cdot a)\lact [c, d]\ract (u \cdot u')\\
= [(a' \cdot a)\lact c, d\ract (u \cdot u')]\\
= [a' \lact (a\lact c), (d\ract u) \ract u']\\
= a' \lact [ a\lact c, d\ract u ]\ract u'\\
= a' \lact (a\lact [ c, d ]\ract u )\ract u'
`$

$`\quad e \lact [c, d]\ract e\\
= [e \lact c, d\ract e]\\
= [c, d]
`$

テンソル積

前々節で定義した縮約状態空間と前節で定義した双作用を一緒にすると、双遷移系 $`C`$ と $`D`$ のテンソル積双遷移系 $`C\otimes D`$ が出来上がります。このテンソル積は、具体的に構成してますが、テンソル積としての普遍性〈universal property〉で特徴付けられると便利でカッコイイです。

マッテーオ・カプチとブルーノ・ガブラノビッチの次のテキストの "4.4 Tensor product of actegories" に、モノイド圏が作用するアクテゴリー〈加群圏〉のテンソル積に関して普遍性も含めて書いてあります。