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接ベクトル場の定義:補遺

多様体上の一点での接ベクトル、あるいは接ベクトル場の定義は何種類もあります。もちろん、どれも同値なので、どれをプライマリーな定義に選ぶかは趣味の問題になります。僕は微分作用素としての接ベクトル/接ベクトル場の定義をプライマリーにします。これは、愛着があるとか親の遺言とかの理由ではなくて、使い勝手がいいと感じるからです。

多様体Mの開集合U上に局所座標写像 x:U→Rn がある状況で考えます。x(U) = V, V⊆Rn と置きましょう。すると U \stackrel{\sim}{=} V (微分同相)です。そして、C(U) \stackrel{\sim}{=} C(V) (関数環として同型)ですが、この同型は次で与えられます。

  • xによる引き戻し x*:C(V)→C(U)
  • xによる前送り = x-1による引き戻し x* = (x-1)*:C(U)→C(V)

x*, x* の定義は:


\mbox{For}\: g\in C^{\infty}(V),\: x^\ast(g) := g \circ x \\
\mbox{For}\: f\in C^{\infty}(U),\: x_\ast(f) := f \circ (x^{-1})

ユークリッド空間上の関数環 C(V) 上の作用素(関数に関数を対応させる操作) K:C(V)→C(V) があるとき、それを多様体上に持ってくるには、


\mbox{For}\: f\in C^{\infty}(U),\: L(f) := x^\ast(K(x_\ast(f)))

あるいは、


L := x^\ast \circ K \circ x_\ast \;:\; C^{\infty}(U) \to C^{\infty}(U)

と定義すればいいでしょう。可換図式で書くなら:

\require{AMScd}\newcommand{where}{\:\:\: \mbox{where}\:}
\begin{CD}
C^{\infty}(U) @>L>>  C^{\infty}(U) \\
@V{x_\ast}VV        @AA{x^\ast}A \\
C^{\infty}(V) @>K>>  C^{\infty}(V) \\
\end{CD}

Lは、Kとxに依存して構成される作用素です。いま、x*\circK\circx* を K/x と書くと約束します。すると:


L := K/x \where K/x = x^\ast \circ K \circ x_\ast

以上の準備のもとで、微分作用素としての接ベクトル場(の基底要素)の定義を述べます。作用素Kとして、∂i:C(V)→C(V) を取るだけのことです。ここで、∂i は、第i座標方向への偏微分作用素です。∂i は通常、\frac{\partial}{\partial x^i} とか変数名付きで書かれますが、変数が出現するのはとても具合が悪い(理由は「微分計算、ラムダ計算、型推論」参照)ので、番号だけで書きます。

作用素Kとして、∂iを使った場合の、多様体上の作用素Lは、


L := \partial_i/x \where \partial_i/x = x^\ast \circ \partial_i \circ x_\ast

ですね。L(f) がどうなるかを見ると:


\:\:\:\: L(f) \\
= (\partial_i/x)(f) \\
= (x^\ast \circ \partial_i \circ x_\ast)(f) \\
= x^\ast(\partial_i (x_\ast(f))) \\
=  (\partial_i(f \circ (x^{-1})))\circ x

 \partial_i/x よりは、 \partial/\partial x^i あるいは  \frac{\partial}{\partial x^i} のほうが皆さんお馴染みの記号でしょう。結局:


\:\:\:\: \frac{\partial f}{\partial x^i} \\
= \frac{\partial}{\partial x^i}(f) \\
:=  (\partial_i(f \circ (x^{-1}))) \circ x

多様体上の(ユークリッド空間上のではない!)偏微分作用素 \frac{\partial}{\partial x^i} は、ユークリッド空間上の作用素 \partial_i と、局所座標写像 x による前送り/引き戻しだけから定義されます。それ以外の概念(例えばなめらかな曲線)を必要とはしません。

 \frac{\partial}{\partial x^1}, \frac{\partial}{\partial x^2}, \cdots , \frac{\partial}{\partial x^n} を基底として、関数係数で一次結合を作れば、(U上の)一般の接ベクトル場になります。


より詳しい事情は、次の記事を参照してください。

[追記]訂正した:

K:C(V)→C(V) がるとき、 K:C(V)→C(V) があるとき、
x*\circK\circx* を L/x と書くと約束します。 x*\circK\circx* を K/x と書くと約束します。
 \frac{\partial}{\partial x^1}, \frac{\partial}{\partial x^2}, \cdots , \frac{\partial}{\partial x^1}  \frac{\partial}{\partial x^1}, \frac{\partial}{\partial x^2}, \cdots , \frac{\partial}{\partial x^n}

[/追記]