接ベクトル場の定義：補遺 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

多様体上の一点での接ベクトル、あるいは接ベクトル場の定義は何種類もあります。もちろん、どれも同値なので、どれをプライマリーな定義に選ぶかは趣味の問題になります。僕は微分作用素としての接ベクトル／接ベクトル場の定義をプライマリーにします。これは、愛着があるとか親の遺言とかの理由ではなくて、使い勝手がいいと感じるからです。

多様体Mの開集合U上に局所座標写像 x:U→Rⁿ がある状況で考えます。x(U) = V, V⊆Rⁿ と置きましょう。すると U $\stackrel{\sim}{=}$ V （微分同相）です。そして、C^∞(U) $\stackrel{\sim}{=}$ C^∞(V) （関数環として同型）ですが、この同型は次で与えられます。

xによる引き戻し x^*:C^∞(V)→C^∞(U)
xによる前送り＝ x^-1による引き戻し x_* = (x^-1)^*:C^∞(U)→C^∞(V)

x^*, x_* の定義は：

$\mbox{For}\: g\in C^{\infty}(V),\: x^\ast(g) := g \circ x \\ \mbox{For}\: f\in C^{\infty}(U),\: x_\ast(f) := f \circ (x^{-1})$

ユークリッド空間上の関数環 C^∞(V) 上の作用素（関数に関数を対応させる操作） K:C^∞(V)→C^∞(V) があるとき、それを多様体上に持ってくるには、

$\mbox{For}\: f\in C^{\infty}(U),\: L(f) := x^\ast(K(x_\ast(f)))$

あるいは、

$L := x^\ast \circ K \circ x_\ast \;:\; C^{\infty}(U) \to C^{\infty}(U)$

と定義すればいいでしょう。可換図式で書くなら：

$\require{AMScd}\newcommand{where}{\:\:\: \mbox{where}\:} \begin{CD} C^{\infty}(U) @>L>> C^{\infty}(U) \\ @V{x_\ast}VV @AA{x^\ast}A \\ C^{\infty}(V) @>K>> C^{\infty}(V) \\ \end{CD}$

Lは、Kとxに依存して構成される作用素です。いま、x^* $\circ$ K $\circ$ x_* を K/x と書くと約束します。すると：

$L := K/x \where K/x = x^\ast \circ K \circ x_\ast$

以上の準備のもとで、微分作用素としての接ベクトル場（の基底要素）の定義を述べます。作用素Kとして、∂_i:C^∞(V)→C^∞(V) を取るだけのことです。ここで、∂_i は、第i座標方向への偏微分作用素です。∂_i は通常、 $\frac{\partial}{\partial x^i}$ とか変数名付きで書かれますが、変数が出現するのはとても具合が悪い（理由は「微分計算、ラムダ計算、型推論」参照）ので、番号だけで書きます。

作用素Kとして、∂_iを使った場合の、多様体上の作用素Lは、

$L := \partial_i/x \where \partial_i/x = x^\ast \circ \partial_i \circ x_\ast$

ですね。L(f) がどうなるかを見ると：

$\:\:\:\: L(f) \\ = (\partial_i/x)(f) \\ = (x^\ast \circ \partial_i \circ x_\ast)(f) \\ = x^\ast(\partial_i (x_\ast(f))) \\ = (\partial_i(f \circ (x^{-1})))\circ x$

$\partial_i/x$ よりは、 $\partial/\partial x^i$ あるいは $\frac{\partial}{\partial x^i}$ のほうが皆さんお馴染みの記号でしょう。結局：

$\:\:\:\: \frac{\partial f}{\partial x^i} \\ = \frac{\partial}{\partial x^i}(f) \\ := (\partial_i(f \circ (x^{-1}))) \circ x$

多様体上の（ユークリッド空間上のではない！）偏微分作用素 $\frac{\partial}{\partial x^i}$ は、ユークリッド空間上の作用素 $\partial_i$ と、局所座標写像 x による前送り／引き戻しだけから定義されます。それ以外の概念（例えばなめらかな曲線）を必要とはしません。

$\frac{\partial}{\partial x^1}, \frac{\partial}{\partial x^2}, \cdots , \frac{\partial}{\partial x^n}$ を基底として、関数係数で一次結合を作れば、（U上の）一般の接ベクトル場になります。

より詳しい事情は、次の記事を参照してください。

[追記]訂正した：

誤	正
K:C^∞(V)→C^∞(V) がるとき、	K:C^∞(V)→C^∞(V) があるとき、
x^* $\circ$ K $\circ$ x_* を L/x と書くと約束します。	x^* $\circ$ K $\circ$ x_* を K/x と書くと約束します。
$\frac{\partial}{\partial x^1}, \frac{\partial}{\partial x^2}, \cdots , \frac{\partial}{\partial x^1}$	$\frac{\partial}{\partial x^1}, \frac{\partial}{\partial x^2}, \cdots , \frac{\partial}{\partial x^n}$

[/追記]