説明の例として考えた問題；だが自分でわかんない、というナサケなくバカバカしいハナシです。誰か教えてください。
富の再配分 -- てほどのことでもないけど、お金持ちが貧乏人に金をドンドン渡していけば、いつか格差がなくなる（だろう）という現象のモデルを考えます。
N人の人がいて、1, 2, ..., Nで番号付けしておいて、各人が持っているお金をf(i)円（i = 1, 2, ..., N、f(i)≧0）とします。N人の人々に知り合い関係があって、絵に描けばグラフになります（N個のノードが“直接の知り合い”の辺で結ばれる）。
さて、次の動作を考えます。各人は（直接の）知り合いを見渡して、自分より貧乏な人達（がいれば）に、自分のお金の1/3を公平に分配します（2/3は残るのだからいいとしましょう）。まわりに1人でも貧乏人がいれば、必ず現所持金の1/3は出ていきますが、他のお金持ちからもらえる分もあり得ます。
上の動作をドンドン繰り返せば、みんなの所持金が平均化されそうです。ただし、間接的にでさえ知り合いではない人のあいだ（グラフでたどれないノード間）では、お金の流れがないので、知り合い集団（グラフの連結成分）の範囲内で富の平均化が起きるでしょう。最終的には（無限時間後には）、各知り合い集団ごとに、所持金が一定値になる -- と直感的に予想できます。という予想は間違ってました（コメント欄と追記参照）。
所持金がみんな一定な状態は、再配分操作の不動点なので、（縮小写像定理かなんかにより）時間がたてば不動点（停留点）に引きずり込まれるだろう、という議論ができそうですが、もっと露骨（explicit）な計算や面白い工夫で示せないでしょうか？
[追記]bonotakeさんが実験してくれました。最終的に一定値に安定するのではなくて、振動つうかリミットサイクルに巻き込まれるようです。リミットサイクルも、ある主の安定状態ともいえなくないですけどね。（まさか、カオスは出ないよね？）
でも、最初の意図と違うので、問題を変えます。
- 再配分の方法を変えて、リミットサイクルを小さくする（適当なメトリックで計っての小さな領域に押し込める）、あるいはホントに不動点に収束させるには？
[/追記]
