包含的圏〈inclusive category〉の定義は人により色々です。型理論やインスティチューション理論に使うことを目的にして、包含的圏に関して整理しておきます。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1}}
%\newcommand{\msf}[1]{\mathsf{#1}}
\newcommand{\twoto}{\Rightarrow }
%\newcommand{\ot}{\leftarrow }
%\newcommand{\parto}{ \supset\!\to }
\newcommand{\In}{\text{ in }}
\newcommand{\op}{\mathrm{op}}
\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
\newcommand{\u}[1]{\underline{#1}}
%\newcommand{\o}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\hyp}{ \text{－} }
%\newcommand{\H}{ \text{-} }
\newcommand{\Iff}{ \Leftrightarrow }
%\newcommand{\Imp}{ \Rightarrow }
`$
内容：
はじめに
包含的圏〈inclusive category | category with inclusion {system | structure}〉に関しては以下の過去記事で述べています。
包含的圏の定義は人により違い安定してません。以下のように分類して整理することにします。
| プレ包含構造 | 包含構造 | |
|---|---|---|
| プレ包含的圏 | 包含的圏 | |
| ミート半束構造 | ミート半束プレ包含的圏 | ミート半束包含的圏 |
| 束構造 | 束プレ包含的圏 | 束包含的圏 |
プレ包含構造と包含構造は、圏全体に載る大域的な構造です。ミート半束構造、束構造は、圏の対象ごとに意味を持つ局所的な構造です。ただし、局所的構造を誘導するためには大域的な構造・性質を使います。
プレ順序集合と順序集合は知っているものとして、ミート半束、ジョイン半束、束について簡単に説明します。
$`(A, \le)`$ が順序集合（全順序集合とは限らない）として、2つの要素 $`x, y\in A`$ に対して、二元集合 $`\{x, y\}`$ の最大下界〈greatest lower bound | infimum〉をミート〈meet〉と呼び $`x\wedge y`$ と書きます。二元集合 $`\{x, y\}`$ の最小上界〈least upper bound | supremum〉をジョイン〈meet〉と呼び $`x\vee y`$ と書きます。
任意の $`x, y\in A`$ に対してミートが存在する順序集合をミート半束〈meet-semilattice〉と呼びます。ジョインが存在するならジョイン半束〈join-semilattice〉です。ミート半束かつジョイン半束である順序集合は束〈lattice〉と呼びます。最小元と最大元を持つ束は有界束〈bounded lattice〉と呼びます。
プレ順序集合をベースに、ミート半束、ジョイン半束、束、有界半束に類似の概念を定義できます。が、定義や結果はゆるくなって、「一意的」が「同型を除いて一意的に変わります。
プレ包含的圏／包含的圏の上に、局所的なミート半束構造、ジョイン半束構造、束構造を載せる場合、ジョイン半束構造を単独で定義するのはどうやっていいかよく分からないし、あまり意味がない気がするので、ミート半束構造の上にジョイン半束構造を付け足して束構造を定義することにします。
プレ包含的圏と包含的圏
圏 $`\cat{C}`$ に、部分圏 $`\cat{C}^\mrm{Incl}`$ が指定されているとします。部分圏 $`\cat{C}^\mrm{Incl}`$ がやせた広い部分圏〈thin wide subcategory〉のとき、ペア $`(\cat{C}, \cat{C}^\mrm{Incl})`$ をプレ包含的圏〈preinclusive category〉と呼ぶことにします。「やせた広い部分圏」をハッキリと書くと：
- $`|\cat{C}^\mrm{Incl}| = |\cat{C}|`$
- $`\forall A, B\in |\cat{C}|.\, \cat{C}^\mrm{Incl}(A, B) = \emptyset \lor \cat{C}^\mrm{Incl}(A, B) \cong \mbf{1}`$
部分圏 $`\cat{C}^\mrm{Incl}`$ に属する射を包含射〈inclusion morphism〉、または単に包含〈inclusion〉と呼びます。
対象集合 $`|\cat{C}|`$ 上の順序関係 $`\sqsubseteq`$ を次のように定義します。
$`\text{For }A, B\in |\cat{C}|\\
\quad A\sqsubseteq B :\Iff \cat{C}^\mrm{Incl}(A, B) \ne \emptyset
`$
$`(|\cat{C}|, \sqsubseteq)`$ はプレ順序集合になります。が、順序集合になるとは限りません。次のような2つの対象 $`A,B`$ が存在する可能性があります。
$`\quad A \sqsubseteq B \;\land\; B \sqsubseteq A \;\land\; A \ne B`$
部分圏 $`\cat{C}^\mrm{Incl}`$ がとてもやせた広い部分圏〈very thin wide subcategory〉のとき、ペア $`(\cat{C}, \cat{C}^\mrm{Incl})`$ を包含的圏〈inclusive category〉と呼びます。とてもやせた圏は、やせた圏であって、同型な2つの対象は同一であるような圏です。
$`(\cat{C}, \cat{C}^\mrm{Incl})`$ が包含的圏ならば、プレ順序集合 $`(|\cat{C}|, \sqsubseteq)`$ は順序集合になります。
プレ包含的圏ではイコールではなくて同型で議論する必要があってちょっと話が面倒になります*1。以下、包含的圏とその上の構造について論じます。
ミート半束包含的圏
圏 $`\cat{C}`$ の射集合〈set of {all}? morphisms〉$`\mrm{Mor}(\cat{C})`$ の部分集合を射クラス〈class of morphisms | morphism class〉と呼びます。射クラスが部分圏を形成するとは限りませんが、射クラスもカリグラフィー体 $`\cat{M}`$ などで書きます。また、$`\cat{C}`$ の部分圏と対応する射クラスは区別せずに同じ名前をオーバーロードします。例えば、包含的圏の $`\cat{C}^\mrm{Incl}`$ は射クラスともみなします。
（[追記]以下の、「ファイバー引き戻しに関して閉じている」の定義は曖昧だったので、すぐ下に説明を追加しました。[/追記]）
射クラス $`\cat{M}\subseteq \mrm{Mor}(\cat{C})`$ がファイバー引き戻しに関して閉じている〈closed under fiber pullbacks〉とは； $`m\in \cat{M}`$ と任意の射 $`f\in \mrm{Mor}(\cat{C})`$ がコスパンを形成しているとき、プルバック四角形（極限錐）が存在し、$`f`$ によるファイバー引き戻しが $`\cat{M}`$ に所属することです。
図式で描くと、以下のようなプルバック四角形があって、$`m'\in \cat{M}`$ ということです。
$`\quad \xymatrix{
\cdot \ar[r] \ar[d]_{m'}
\ar@{}[dr]|{\text{p.b.}}
&\cdot \ar[d]^m
\\
\cdot \ar[r]_f
&\cdot
}\\
\quad \In \cat{C}
`$
与えられた $`f, m`$ に対して、“$`m'`$ の取り方”が問題になります。任意のプルバック四角形から $`m'`$ を取るのか？、それとも都合がよいプルバック四角形を選んで、そこから $`m'`$ を取るのか？ 今の文脈では、任意のプルバック四角形ではなくて、上手に選んでプルバック四角形から $`m'`$ を取る、と解釈したほうが好都合です。以下の記事を参照してください。
上記記事の言葉を使えば、射クラス $`\cat{M}`$ は、ファイバー引き戻しに関して選択的に閉じている、ということです。
[/補足 追記]
$`(\cat{C}, \cat{C}^\mrm{Incl})`$ が包含的圏で、包含射クラス（射クラスとしての $`\cat{C}^\mrm{Incl}`$）がファイバー引き戻しに関して閉じているとき、ミート半束包含的圏〈meet-semilattice inclusive category〉と呼びます。
$`(\cat{C}, \cat{C}^\mrm{Incl})`$ がミート半束包含的圏であるとき、対象 $`A\in |\cat{C}|`$ に対するオーバー圏〈スライス圏〉$`\cat{C}^\mrm{Incl}/A`$ にミート半束の構造を入れることができます。
オーバー圏 $`\cat{C}^\mrm{Incl}/A`$ の対象 $`u:U\to A`$ に対して $`\u{u} = \mrm{dom}(u) = U`$ と書くとして、$`u\wedge v`$ は次のプルバック四角形の対角線（$`\text{p.b.}`$ と重なるので描いてないですが）で与えられます。
$`\quad \xymatrix{
{\u{u\wedge v}} \ar[r] \ar[d]
\ar@{}[dr]|{\text{p.b.}}
&\u{v} \ar[d]^{v}
\\
\u{u} \ar[r]_{u}
&{A}
}\\
\quad \In \cat{C}
`$
部分対象関手
包含射クラスがファイバー引き戻しに関して閉じている包含的圏では、トポストとは違った形で部分対象を定義できます。$`u`$ が $`A\in |\cat{C}|`$ の部分対象〈subobject〉だとは、
$`\quad u: \u{u} \to A \In \cat{C}^\mrm{Incl}`$
であることです。オーバー圏を使って書くなら：
$`\quad u\in |\cat{C}^\mrm{Incl}/A|`$
対象 $`A`$ の部分対象（実体は包含射）達の圏を $`\mrm{Sub}(A)`$ と書きます。
$`\quad \mrm{Sub}(A) := \cat{C}^\mrm{Incl}/A`$
$`\mrm{Sub}(A)`$ はオーバー圏としての圏構造（順序構造）を持ちます。また、$`f:A\to B\In \cat{C}`$ に対して、次の関手（順序集合のあいだの射）が定義可能です。
$`\quad f^* = \mrm{Sub}(f) : \mrm{Sub}(B) \to \mrm{Sub}(A) \In \mrm{CAT}`$
関手 $`f^*`$ は、（プルバック四角形による）ファイバー引き戻しとして定義します。なお、スパン／プルバック四角形／ファイバー引き戻しなどに関しては、次の過去記事達を参照してください。
結局、$`\mrm{Sub}(\hyp)`$ は次のような反変関手（インデックス付き圏）となります*2。
$`\quad \mrm{Sub} : \cat{C}^\op \to \mbf{CAT}`$
$`\mrm{Sub}`$ は、包含構造から誘導されたインデックス付き圏なので、スード関手ではなくて厳密関手となります。
前節のようにして、対象 $`A`$ ごとに $`\mrm{Sub}(A)`$ 上にミート半束構造を入れられるので、反変関手 $`\mrm{Sub}`$ は次のように分解〈factorization〉できます。
$`\quad \xymatrix{
{\cat{C}^\op} \ar[rr]^{\mrm{Sub}} \ar[dr]_{\mrm{Sub'}}
&{}
&{\mbf{CAT}}
\\
{}
&{\mbf{MeetSemilat}} \ar[ur]_{J}
&{}
}\\
\quad \In 2\mathbb{CAT}
`$
ここで、$`J`$ はミート半束を順序構造に基づく圏とみなす関手、$`\mrm{Sub'}`$ は、値がミート半束である反変関手です。通常は $`\mrm{Sub}`$ と $`\mrm{Sub'}`$ を区別しないで $`\mrm{Sub}`$ と書きます。
束包含的圏
射クラス $`\cat{M}\subseteq \mrm{Mor}(\cat{C})`$ がコファイバー押し出しに関して閉じている〈closed under cofiber {pushout | pushforward}〉とは； $`m\in \cat{M}`$ と任意の射 $`f\in \mrm{Mor}(\cat{C})`$ がスパンを形成しているとき、プッシュアウト四角形（余極限余錐）が存在し、$`f`$ によるコファイバー押し出しが $`\cat{M}`$ に所属することです。
図式で描くと、以下のようなプッシュアウト四角形があって、$`m'\in \cat{M}`$ ということです。
$`\quad \xymatrix{
\cdot \ar[r]^{m} \ar[d]_f
\ar@{}[dr]|{\text{p.o.}}
&\cdot \ar[d]
\\
\cdot \ar[r]_{m'}
&\cdot
}\\
\quad \In \cat{C}
`$
$`(\cat{C}, \cat{C}^\mrm{Incl})`$ が包含的圏で、包含射クラス（射クラスとしての $`\cat{C}^\mrm{Incl}`$）がファイバー引き戻しに関して閉じていて、さらにコファイバー押し出しに関しても閉じているとき、そのような包含的圏を束包含的圏〈lattice inclusive category〉と呼びます。
$`(\cat{C}, \cat{C}^\mrm{Incl})`$ が束包含的圏であるとき、対象 $`A\in |\cat{C}|`$ に対するオーバー圏〈スライス圏〉$`\cat{C}^\mrm{Incl}/A = \mrm{Sub}(A)`$ に束の構造を入れることができます。
まず、$`u, v\in |\mrm{Sub}(A)|`$ に対してプルバック四角形を作り、ミートを求めます。
$`\quad \xymatrix{
{\u{u\wedge v}} \ar[r]^j \ar[d]_i
\ar[dr]|{u \wedge v }
&\u{v} \ar[d]^{v}
\\
\u{u} \ar[r]_{u}
&{A}
}\\
\quad \In \cat{C}
`$
$`i,j`$ の部分を取り出すと、包含射からなるスパンになります。コファイバー押し出しに関して閉じているなら、このスパンに対するプッシュアウト四角形を作れます。
$`\quad \xymatrix{
{\u{u\wedge v}} \ar[r]^j \ar[d]_i
\ar@{}[dr]|{\text{p.o.} }
&\u{v} \ar[d]
\\
{\u{u}} \ar[r]
&{\u{u\vee v}}
}\\
\quad \In \cat{C}
`$
コファイバー和（余極限余錐の余頂点）を $`{\u{u\vee v}}`$ と置きます。これでジョインの域は定義しましたが、ジョインの射はまだ定義していません。次の図の点線疑問符の部分が求めるべき射です。
$`\quad \xymatrix{
{\u{u\wedge v}} \ar[r]^j \ar[d]_i
\ar@{}[dr]|{\text{p.o.} }
&{\u{v} } \ar[d] \ar@/^/[ddr]^v
&{}
\\
{\u{u}} \ar[r] \ar@/_/[drr]_{u}
&{\u{u\vee v} } \ar@{.>}[dr]|{?}
&{}
\\
{}
&{}
&{A}
}\\
\quad \In \cat{C}
`$
点線疑問符の射は、上側の四角形がプッシュアウト四角形であることから一意に決まります。それが $`u\vee v \in |\mrm{Sub}(A)|`$ を与えます。
プルバック四角形から決まるミートとプッシュアウト四角形から決まるジョインにより、$`\mrm{Sub}(A)`$ は束構造を持ちます。ファイバー引き戻し $`f^* = \mrm{Sub}(f)`$ は束のあいだの準同型射となります。
束包含的圏における部分対象関手は次のような反変関手だと考えられます。
$`\quad \mrm{Sub}: \cat{C}^\op \to \mbf{Lattice} \In \mbf{CAT}`$
始対象と最小元
包含的圏 $`(\cat{C}, \cat{C}^\mrm{incl})`$ において、対象 $`A`$ の部分対象達の圏（順序集合） $`\mrm{Sub}(A)`$ は最大元を持ちます。順序集合の最大元は $`\id_A \in |\mrm{Sub}(A)|`$ です。ミート半束包含的圏、束包含的圏の部分対象達の場合も、もちろん最大元を持ちます。
しかし、部分対象のなかに最小元が在ることは保証できません。最小元を構成するには、圏 $`\cat{C}`$ に始対象が必要です。包含的圏に次の仮定をします。（[追記]すぐ下に修正あり。[/追記]）
- $`\cat{C}`$ は始対象 $`\mbf{0}`$ を持つ。
- 始対象からの唯一の射 $`\theta_A : \mbf{0}\to A`$ は包含である。
実例を調べてみたら、上の二条件ではうまくないようです。次のように変更します。
- 始対象達の集合 $`\mrm{Init}(\cat{C})`$ が空ではない。
- 対象 $`A`$ ごとに、適当な始対象 $`\mbf{0}_A`$ が在り、唯一の射 $`\theta_A : \mbf{0}_A \to A`$ は包含である。
二番目の条件から一番目の条件は出るので、一番目は冗長です。単一の始対象をひとつ特定するのはうまくない、ということです。
[/追記]
この仮定を満たす包含的圏なら、$`\mrm{Sub}(A)`$ の最小元として $`\theta_A`$ を取れます。
ここで、包含的圏の $`\mrm{Sub}(A)`$ が有界束となる条件をまとめておくと：
- 包含達の射クラスはファイバー引き戻しに関して閉じている。
- 包含達の射クラスはコファイバー押し出しに関して閉じている。
- 始対象を持ち、始対象からの唯一の射は包含である。
おわりに
包含的圏の定義は色々ありますが、今回の定義では、包含達の射クラスの圏論的性質と部分対象達の圏 $`\mrm{Sub}(A)`$ の順序構造が割とうまく対応している気がします。包含的圏の典型的例は集合圏 $`\mbf{Set}`$ ですが、集合圏における部分集合束 $`\mrm{Pow}(A)`$ の性質を、公理的な定義から構成した $`\mrm{Sub}(A)`$ がだいたい再現してくれています。
