「色々な包含的圏」において、包含的圏の変種を6種類定義しました。圏の対象達全体の集合に載る大域的な構造と、各対象ごとに構成できる局所的な構造の2つの観点から分類しています。
この記事では、包含的圏（の変種）の事例であり、同時に誤解しやすい点に注意を促す反例でもある圏を2つ紹介します。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1}}
%\newcommand{\msf}[1]{\mathsf{#1}}
\newcommand{\twoto}{\Rightarrow }
%\newcommand{\ot}{\leftarrow }
%\newcommand{\parto}{ \supset\!\to }
\newcommand{\In}{\text{ in }}
\newcommand{\op}{\mathrm{op}}
\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
\newcommand{\u}[1]{\underline{#1}}
%\newcommand{\o}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\hyp}{ \text{－} }
%\newcommand{\H}{ \text{-} }
\newcommand{\Iff}{ \Leftrightarrow }
%\newcommand{\Imp}{ \Rightarrow }
`$
内容：
行列圏
後で使うので、行列圏の復習をしておきます。
自然数 $`n\in \mbf{N}`$ に対して、集合 $`\bar{n}`$ を次のように定義します。
- $`\bar{0} := \{\} = \emptyset`$
- $`\bar{1} := \{1\}`$
- $`\bar{2} := \{1, 2\}`$
- ‥‥
- $`\bar{n} := \{1, 2, \cdots, n\}`$
実数係数の行列圏〈category of matrices | matrix category〉を $`\mbf{Mat}_\mbf{R}`$ と書きます。が、係数体は $`\mbf{R}`$（実数体）に固定するので、下付きの $`\mbf{R}`$ は省略します。$`\mbf{Mat}`$ は以下のような圏です。
- 対象集合〈set of objects〉： $`|\mbf{Mat}| := \mbf{N}`$
- ホムセット： $`\text{For }n, m\in \mbf{N}`$
$`\mbf{Mat}(n, m) := \mrm{Map}(\bar{n}\times \bar{m}, \mbf{R})`$
ホムセット $`\mbf{Mat}(n, m)`$ の要素は$`n`$列$`m`$行の行列です。$`n`$行$`m`$列ではないので注意してください。次の3つの命題〈主張〉は同値です。
- $`A\in \mbf{Mat}(n, m)`$
- $`A`$ は$`n`$列$`m`$行の行列である。
- $`A: \bar{n}\times \bar{m} \to \mbf{R}\In \mbf{Set}`$
$`\mbf{R}`$-値関数 $`A: \bar{n}\times \bar{m} \to \mbf{R}`$ （行列）への引数渡しは次の形式（ブラケットで囲む）を使います。
$`\text{For }i\in \bar{n}, j\in \bar{m}\\
\quad A[i, j] \;\in \mbf{R}
`$
行列の積は $`A B`$ と書きますが、セミコロンは次の意味で使います。
$`\quad A;B := B A`$
積（結合）の成分表示は：
$`\text{For }A:n \to m \In \mbf{Mat}\\
\text{For }B:m \to l \In \mbf{Mat}\\
\text{For }i\in \bar{n}, k\in \bar{l}\\
\quad (A;B)[i, k] := \sum_{j\in \bar{m}}A[i, j]B[j, k]
`$
$`n, m`$ のどちらか（両方ともを含む）が $`0`$ のとき、$`\mbf{Mat}(n, m)`$ の要素はうまく成分表示できません。しかし0行または0列の行列は存在します。なぜなら、$`\mrm{Mat}(\emptyset, \mbf{R})`$ は空集合ではなくて単元集合だからです。ゼロ行列を表す定数 $`O_{n, m}\in \mbf{Mat}(n, m)`$ を導入して、$`O_{0, m}, O_{n, 0}`$ などで表示します。
正方行列でなくても「対角成分がゼロで、その他の成分はイチ」という行列は考えられます。そのような行列を $`I_{n, m}`$ と書くことにします。
$`\text{For }i\in \bar{n}, k\in \bar{l}\\
\quad I_{n, m}[i, j] := (\text{if }i = j \text{ then }1 \text{ else }0)
`$
当然に $`I_{n, m}\in \mbf{Mat}(n, m)`$ で、特に $`I_{n, n}\in \mbf{Mat}(n, n)`$ は単位行列です。単位行列は行列圏の恒等射です。
$`n, m`$ のどちらかが $`0`$ のときは：
$`\quad I_{n, 0} := O_{n, 0}`$
$`\quad I_{0, m} := O_{0, m}`$
$`\mbf{Mat}`$ は、実数体上のベクトル空間達の圏 $`\mbf{Vect} = \mbf{Vect}_\mbf{R}`$ に規準的に埋め込めます。埋め込みには次のような対応を使います。
$`\quad n \mapsto (\mbf{R}^n \text{ as vector space})`$
$`\quad (A: n\to m) \mapsto (\mrm{linMap}_A : \mbf{R}^n \to \mbf{R}^m)`$
ここで、$`\mrm{linMap}_A`$ は行列 $`A`$ が定義する線形写像です。
包含射はモノ射とは言えない
$`(\cat{C}, \cat{C}^\mrm{Incl})`$ がプレ包含的圏／包含的圏のとき、包含射（部分圏 $`\cat{C}^\mrm{Incl}`$ の射）がモノ射〈monomorphism | monic morphism〉だと仮定してないし、結論することも出来ません。「包含」という名前を借用しているだけで、包含射とモノ射は別な概念です。
以下に、包含射がモノ射にはなってない包含的圏の実例を挙げます。
行列圏 $`\mbf{Mat}`$ に対して、部分圏 $`\mbf{Mat}^\mrm{Incl}`$ を次のように定義します。
- $`n \ge m`$ のとき、$`\mbf{Mat}^\mrm{Incl}(n, m) := \{I_{n, m}\}`$
- それ以外（$`n \lt m`$）のとき、$`\mbf{Mat}^\mrm{Incl}(n, m) := \{\}`$
この定義から $`\mbf{Mat}^\mrm{Incl}(n, n) := \{I_{n, n}\}`$ なので、すべての対象とすべての恒等射を含みます。やせていること（ホムセットが空集合か単元集合）も定義から明らかです。部分圏であるためには、結合（行列の積）で閉じている必要があります。そのことは以下の計算から分かります。
$`\text{For }n \ge m \ge l \in \mbf{N}\\
\text{For }i\in \bar{n}, k\in \bar{l}\\
\quad (I_{n, m}; I_{m, l})[i, k] \\
= \sum_{j\in \bar{m},} I_{n, m}[i, j]I_{m, l}[j, k]\\
= \sum_{j\in \bar{l},} I_{n, m}[i, j]I_{m, l}[j, k]\\
= (\text{if }\exists j\in \bar{l}. i = j = k \text{ then }1 \text{ else } 0)\\
= (\text{if } i = k \text{ then }1 \text{ else } 0)\\
= I_{n, l}[i, k]
`$
以上から、$`\mbf{Mat}^\mrm{Incl}`$ は、やせた広い部分圏であることが分かったので、$`(\mbf{Mat}, \mbf{Mat}^\mrm{Incl})`$ はプレ包含的圏です。$`\mbf{Mat}^\mrm{Incl}`$ 内で同型なら同一であることもすぐ分かるので、実は包含的圏です。
圏 $`\mbf{Mat}`$ の射 $`A`$ がモノ射であるとは、対応する線形写像 $`\mrm{linMap}_A`$ が単射線形写像であることです。$`n \gt m`$ の場合の $`\mrm{linMap}_{I_{n, m}}`$ は単射ではないので、行列 $`I_{n, m}`$ はモノ射ではありません。
この事例から、プレ包含的圏／包含的圏の包含射がモノ射だとは言えないことが分かりました。包含射は単に、指定された“やせた広い部分圏の射”というだけのことで、モノ射とは無関係な概念です。
モノ包含的圏と充分モノ包含的圏
包含的圏 $`(\cat{C}, \cat{C}^\mrm{Incl})`$ の包含射がモノ射であるとき、$`(\cat{C}, \cat{C}^\mrm{Incl})`$ はモノ包含的圏〈monic inclusive category〉と呼ぶことにします。例えば、集合圏 $`\mbf{Set}`$ はホントの包含写像を包含射として包含的圏となりますが、包含写像は単射（集合圏のモノ射）なので、モノ包含的圏になります。
次に、モノ射に対して包含射が充分〈adequate〉に存在するようなモノ包含的圏を考えましょう。包含射が充分に存在するとは次のことです； 任意のモノ射 $`m:A \to B`$ に対して、以下の図式を可換にする包含射 $`i`$ と同型射が一意的に存在する。
$`\quad \xymatrix{
A \ar[rr]^m \ar[dr]_{\cong}
&{}
&{B}
\\
{}
&A' \ar[ur]_i
&{}
}\\
\quad \text{commutative }\In \cat{C}
`$
この条件を言い換えると、任意のモノ射は「同型射の後に包含射」と一意分解できることです。これは、“モノ射の代表”として包含射が取れることです。
包含射が充分にあるモノ包含的圏を充分モノ包含的圏〈adequate monic inclusive category〉と呼びましょう。モノ包含的圏であっても、充分モノ包含的圏になるとは限りません。次節で、充分モノ包含的圏ではないモノ包含的圏の事例を挙げます。
モノ包含的圏が充分モノ包含的圏とは限らない
この節では、自然数 $`n`$ に対する $`\bar{n}`$ は全順序集合の意味で使います。例えば、$`\bar{3}`$ は単に集合 $`\{1, 2, 3\}`$ だけではなくて、標準的順序を伴います。
$`\quad 1 \lt 2 \lt 3`$
$`\mbf{Ord}`$ を順序集合達と単調写像（順序を保存する関数）達の圏だとして、$`\bar{n}\in |\mbf{Ord}|`$ です。
圏 $`\mbf{ASimp}`$ を次のように定義します。名前の由来は Augmented Simplex です（後述）。
- 対象集合： $`|\mbf{ASimp}| := \mbf{N}`$
- ホムセット： $`\text{For }n, m\in \mbf{N}`$
$`\mbf{ASimp}(n, m) := \mbf{Ord}(\bar{n}, \bar{m})`$
恒等射は恒等写像で、結合は写像〈関数〉の結合〈合成〉です。
圏 $`\mbf{ASimp}`$ は、nlab項目 "simplex category" の Definition 2.1. で定義されている augmented simplex category $`\Delta_a`$ と圏同値な圏です。もっとハッキリ言うと、$`\Delta_a`$ の骨格と圏同型です。
$`\bar{n}`$ は全順序集合なので、始切片〈initial segment〉の概念があります。$`k \le n`$ のとき、部分順序集合 $`\bar{k}\subseteq \bar{n}`$ が $`\bar{n}`$ の始切片です。始切片埋め込み〈initial segment embedding〉とは、$`\bar{k}\subseteq \bar{n}`$ に対する包含写像のことです。
$`\quad \bar{k} \hookrightarrow \bar{n} \In \mbf{Ord}`$
$`\bar{0}\hookrightarrow \bar{n}`$ や $`\bar{n}\hookrightarrow \bar{n}`$ も始切片埋め込みです。
すべての始切片埋め込みを射集合〈set of morphisms〉とする部分圏を $`\mbf{ASimp}^\mrm{Incl}`$ として、包含的圏 $`(\mbf{ASimp}, \mbf{ASimp}^\mrm{Incl})`$ が構成できます。
包含的圏 $`(\mbf{ASimp}, \mbf{ASimp}^\mrm{Incl})`$ の包含射（始切片埋め込み）はモノ射なので、モノ包含的圏になります。しかし、充分モノ包含的圏にはなりません。例えば、$`1 \mapsto 2`$ であるモノ射 $`\bar{1}\to \bar{2}`$ は、「同型の後に包含射（始切片埋め込み）」と分解できません。
おわりに
包含的圏やその変種は、典型例である集合圏のホントの包含写像達をヒントに定式化されているでしょう。しかし、包含的圏はあくまで公理的に定義された構造で、呼び名が「包含射」だからといって、ホントの包含写像の性質（例えばモノ射であること）を持つことはまったく保証されません。
呼び名や記法からの印象・連想で、公理にはない仮定を勝手に持ち込んでしまうことがあるので注意しましょう。
