圏の対象は A, X, Y など、射は u, v, f, p, q などで表します。スライス圏／余スライス圏の代わりに、オーバー圏／アンダー圏という言葉を使います（「オーバー圏、アンダー圏」を参照）。最近僕は、Aのオーバー圏を C/A、Aのアンダー圏を A/C と書くのが気に入っていますので、この記法を使います。
念のために復習： オーバー圏 C/A の対象は、u:X→A in C という射です。u:X→A in C と v:Y→A in C が C/A の2つの対象だとして、これらのあいだのC/Aにおける射は、f:X→Y in C というCの射で、u = f;v を満たすものです。アンダー圏 A/C はこれと双対的に定義されます。
集合圏Setで考えることにして、終対象1に対するオーバー圏とアンダー圏を作ってみます。
オーバー圏 Set/1 の対象は u:X→1 in Set という写像です。uは集合Xが決まれば一意的に決まってしまうので、事実上集合Xを指定したのと同じことです。u:X→1 in Set、v:Y→1 in Set に対して、f:X→Y in Set は、必ず u = f;v を満たします。つまり、任意の写像fはオーバー圏 Set/1 の射とみなせます。結局、オーバー圏 Set/1 はもとの圏 Set と何も変わりません。
次はアンダー圏です。アンダー圏 1/Set の対象は p:1→X in Set という写像です。1 = {0} は単元集合なので、pにより集合Xの要素 p(0) が1つ特定されることになります。写像pを、p(0) と同一視するなら、p∈X と書いてもいいでしょう。p:1→X in Set、q:1→Y in Set に対して、f:X→Y in Set が q = p;f だとは次が成立することです。
- q(0) = f(p(0))
p∈X, q∈Y と考えてみると：
- q = f(p)
となります。
アンダー圏 1/Set について別な視点から考えてみると； この圏の対象は集合ではなくて、集合の特定の要素ということになります。正確に定式化したいなら、p∈X であるペア (p, X) を対象だと思えばいいでしょう。(p, X) から (q, Y) への射とは、写像 f:X→Y ではありますが、f(p) = q という条件を満たすモノです。これは、付点集合（pointed sets）の圏の定義と一致します。
写像 f:X→Y は集合のあいだの全体的対応ですが、特定の要素間の対応を p|→f(p) のように書くことがあります。根元が縦棒の矢印を使うんですね。p|→f(p) で示される要素間対応は、アンダー圏 1/Set の射と解釈することもできます。
