ジョニーが「任意の多様体に大域的に座標を与えることはできるか？(無理)」で座標の話をしてます。最後に引用されているtwitter発言群のなかに、僕が言ったことも入っています。そこにおいて、「普通は」「多数派では」と断りを入れているのは、「論理的であるかのごとくに装って、根拠のないイチャモンをつける 13+2 の方法」のその1「定義の違いを真偽の議論にすり替える」になるのを警戒してです。
で、普通の／多数派の、なおかつ多様体の文脈に限っての「座標」の定義ですが； おおざっぱに言って、Uが多様体Mの開集合、Dがユークリッド・数空間Rnの開集合のとき、UとDのあいだの同相写像のことです。整数nが多様体Mの次元になります。連結成分ごとに違う次元を持つこともできますが、Mのどの場所でも次元は一律にnと仮定することが多いでしょう。
上記の定義を逸脱しても、言葉として「座標」を使うことはあるのか？ と言えば、それはあります。例えば、2次元単位球面を {(x, y, z)∈R3 | x2 + y2 + z2 = 1} と定義したら、(x, y, z) を座標と言うかもしれません。また、2次元射影空間を標準的に構成したとき、(x, y, z)（(0, 0, 0)は除く）をけっこう座標と言っていると思います。
2次元単位球面の例では、x, y, z を自由に取れなくて x2 + y2 + z2 = 1 という条件で縛られます。2次元射影空間の例では、x, y, z を自由に取れますが、x, y, z と別の x', y', z' が同じ点を表すことがあります。前者の例では、M→R3 という埋込み（単射）が仮定されており、後者の例では、(R3＼{(0, 0, 0)})→M という射影（全射）が仮定されています。
最初の（標準的な）座標の定義で、M = U ならば、M→D という同相写像があることになり、M自体がユークリッド・数空間の開集合と同相になります。この座標はM全体で定義されているので大域的です。標準的な定義を使うと：
- Mに大域的な座標が取れる ⇔ Mはユークリッド・数空間の開集合と同相
同相写像ではなくて、M→D という埋め込みとか、D→M という射影とかを許すなら、Mに大域的な「座標もどき」が取れても、Mがユークリッド・数空間の開集合と同相とは限りません。
という事情まで考慮の上で、同相ではない写像（埋込みや射影）で結ばれたユークリッド・数空間の点（スカラーの組）を「座標」と呼ぶのは別にかまわないでしょう。混乱や誤解を招かないように注釈すれば、ですが。
