ホロノーム座標補遺：バンドル座標 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

一言：僕は元気です。

「ホロノーム座標」への追加記事です。接バンドル（または余接バンドル）のホロノーム座標は、バンドル座標の特殊なものです。ホロノーム座標で特徴的なことは、バンドル底空間の局所座標からバンドル全空間の局所座標（それがホロノーム座標）が一意的に決まってしまうことです。一般には、底空間の座標とは別に、ファイバー用の座標も必要です。

E = (E, M, π) を（ベクトルバンドルとは限らない）ファイバーバンドルとします。ファイバーバンドル（単にバンドルとも呼ぶ）の定義から、局所自明化 t:E|_U→U×Y があります。ここで：

Uは、底空間Mの開集合。自明化近傍〈{trivialization | trivializable} neightborhood〉と呼ぶ。
Yは、典型ファイバー〈typical {fiber | fibre}〉と呼ぶ多様体。
tは、多様体の同型射。局所自明化〈local trivialization〉と呼ぶ。

自明化近傍Uを、底空間の座標xの座標近傍（def(x)のこと）でもあるように取ります。つまり、U = def(x) 。

典型ファイバーは、局所自明化ごとに違ってもかまいません（ただし、通常はすべて同型と仮定する）。例えば、p∈U に対して Y = E_p として典型ファイバーを指定します。典型ファイバーYも多様体なので、局所座標 y:Y⊇def(y)→R^k が取れます。kはファイバー次元（Yの次元）です。

状況を図式にしてみると次のようになります。iは包含写像で四角形は可換になります。

$\require{AMScd} \begin{CD} E @<{i}<< E|_U @>{t}>> U\times Y @<{i}<< U\times V @>{x\times y}>> {\bf R}^n \times {\bf R}^k \\ @V{\pi}VV @V{\pi}VV @V{\pi_1}VV @V{\pi_1}VV @V{\pi_1}VV \\ M @<{i}<< U @= U @= U @>{x}>> {\bf R}^n \\ \end{CD}$

次の2つの図式を考えます。

$\begin{CD} E @<{i}<< E|_U @>t>> U\times Y \\ \end{CD} \\ \:\\ \begin{CD} U\times Y @<{i}<< U\times V @>{x\times y}>> {\bf R}^n \times {\bf R}^k \\ \end{CD} \\$

これを、部分写像として解釈すれば：

t:E⊇E|_U→U×Y
x×y:U×Y⊇U×V→Rⁿ×R^k

cod(t) = dom(x×y) なので結合可能で、

(x×y) $\circ$ t:E⊇→Rⁿ×R^k

こうして得られた (x×y) $\circ$ t がバンドル全空間Eの局所座標になります。座標近傍 def((x×y) $\circ$ t) は、t^-1(U×V) です。この t^-1(U×V) は、U×V のtによる逆像と解釈しても、U×V の逆写像 t^-1による像と解釈しても同じです。

t = < t₁, t₂> として v∈E|_U に対して、

((x×y) $\circ$ t)(v) = (x(t₁(v)), y(t₂(v))

先の図式の可換性から x(t₁(v)) = x(π(v)) が言えるので、

((x×y) $\circ$ t)(v) = (x(π(v)), y(t₂(v))

以上の手順で得られた (x×y) $\circ$ t:E⊇t^-1(U×V)→Rⁿ×R^k を、底空間の座標xと典型ファイバーの座標yから得られたバンドル座標〈bundle coordinate〉（あるいはバンドルチャート〈bundle chart〉）と呼びます。ホロノーム座標の場合は、典型ファイバーの座標として単一の大域座標を取れるのでした。