マイクロコスモ原理の恐怖 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

怖い話。

内容：

スノーグローブ現象
マイクロコスモ原理
僕が出会った例：モノイド圏
どうやって無限後退を避けるか
マイクロコスモ原理とスノーグローブ現象
過去記事

スノーグローブ現象

スノーグローブ現象（snowglobe phenomenon）とは、世界（あるいは環境）の構造が、世界のなかのモノに写し込まれる現象です。特定のモノが持つ構造が世界の構造を反映することになります。スノーグローブ現象については、次の記事とそこから参照されている記事群を見てください。

スノーグローブ現象再び

上記「スノーグローブ現象再び」から、「入れ子の世界が大好きだけど怖い」という記事が参照されています。タイトルにも「怖い」とありますが、再帰／循環／入れ子／階層／フラクタルのような構造には、得体の知れない恐怖感が伴うのです（少なくとも僕にとっては）。

スノーグローブ現象は、外側の世界の構造が内部のモノに反映するのですが、それとは逆のような状況もあります。内部のモノの構造が、外側の世界の構造を要求することがあるのです。

マイクロコスモ原理

https://ncatlab.org/nlab/show/microcosm+principle

Microcosm principle: Certain algebraic structures can be defined in any category equipped with a categorified version of the same structure.
マイクロコスモ原理： 特定の代数構造は、その代数構造を圏化した構造を備える圏のなかで定義可能である。

引用したnLabエントリーにも載ってますが、マイクロコスモ原理の典型例はモノイドです。モノイド構造を持った対象を定義しようとすると、世界（あるいは環境）としての圏はモノイド圏である必要があります。つまり、モノイド対象を定義できる世界には、モノイドの圏化であるモノイド圏の構造が要求されるのです。

モノイドを調べようと思うなら、当のモノイド達が棲む世界も調査の対象になるでしょう。ところが、モノイド達がいる世界は、モノイドより複雑なモノイド圏です。では、モノイド圏達が棲む世界はどんな構造を持つのでしょう？モノイド圏よりもっと複雑な構造なのでしょうか？

もし、マイクロコスモ原理が本当なら、あるモノが棲む世界はそのモノと同種だがより複雑な構造を持ち、その世界が棲むメタ世界はもっと複雑な構造を持ち …… と、悲観的無限後退を余儀なくされる気がします。

スノーグローブ現象も怖いけど、マイクロコスモ原理はもっと怖いような …

僕が出会った例：モノイド圏

僕はモノイド圏について調べていました。調べる対象物であるモノイド圏を (C, $\otimes$ , I, a, ℓ, r) とします。Cはモノイド構造が載る台圏（underlying category）ですが、小さい圏としておきます。a, ℓ, rは、結合律子（associator）、左単位律子（left unitor）、右単位律子（right unitor）です（律子に関しては「律子からカタストロフへ」を参照）。通常、律子はギリシャ文字小文字で書かれますが、事情があって（すぐ後で判明します）ラテン文字小文字を斜体にしました。

混乱を避けるために、モノイド積 $\otimes$ をPとも書くことにします。

P(A, B) = A $\otimes$ B
P(f, g) = f $\otimes$ g

Pは C×C→C という関手（二項関手）です。

さてここで、モノイド圏Cの結合律子aについて考えましょう。aは自然変換ですが、次の形に書けます。

a::(P×Id_C)*Id_C⇒(Id_C×P)*Id_C:C×C×C→C

'*'は関手の図式順結合です。成分で書けば、(A, B, C)∈C に対して：

a_A,B,C:P(P(A, B), C)→P(A, P(B, C)) in C

あるいは、

a_A,B,C:(A $\otimes$ B) $\otimes$ C→A $\otimes$ (B $\otimes$ C) in C

特に問題はないような …。いやっ、注意深く見てください。関手 (P×Id_C)*Id_C と (Id_C×P)*Id_C の域（ドメイン）は同じでしょうか？どちらもC×C×Cが域ですか？違います。(P×Id_C)*Id_C の域は(C×C)×Cで、(Id_C×P)*Id_C の域はC×(C×C)なのです。

(C×C)×CとC×(C×C)のあいだを繋ぐには、圏の直積に関する結合律子 α_C,C,C:(C×C)×C→C×(C×C) in Cat が必要です。自然変換aの正確なプロファイルは次のようになります。

a::(P×Id_C)*Id_C⇒α_C,C,C*(Id_C×P)*Id_C:(C×C)×C→C

英字斜体のaはCの結合律子ですが、ギリシャ文字のαは、小さい圏の圏Catの結合律子です。調査対象物であるCの結合律子の定義に、世界（環境）である圏Catの結合律子が入り込んでしまうのです。ウーム。これは、マイクロコスモ原理が発動された状況と言えるでしょう。

結合律子a（英字斜体）を調べたいなら、結合律子α（ギリシャ文字）の性質について知ってなくてはならない、と。ウーム。フーム。ウェー(泣)。

どうやって無限後退を避けるか

なんか困った状況ですが、冷静に考えてみると、なんとかなりそうではあります。

モノイド圏(C, $\otimes$ , I, a, ℓ, r)は、圏Catのなかで定義されます。別な言い方をすると、作業をする我々は、Catのなかにいて、Catの対象であるCを外から眺めている状態になります。

この状態で、我々は自分がいる世界であるCatについての知識は必要ですが、それほど深く知る必要はなさそうです。例えば、Catの結合律子αの存在や基本的性質は必要ですが、αに関する一般法則までは要らないのです。個別的な知識でなんとかなります。これは、Catの外に立たないと分からないようなマクロな知識は不要で、Catのミクロな知識だけで済むだろう、ということです。

また、我々がそこで行動する世界であるCatは具体的な圏なので、ある程度の直感が働きます。調査対象物であるCより分かりやすく、ハッキリとしたことが言えるのです。なので、得体の知れないモノを調べるために、さらに得体の知れない世界に迷い込むわけではありません。

モノイド圏Cが棲む世界はCatですが、Catのモノイド圏構造(Cat, ×, J, α, λ, ρ)は要求されます（Jは単一対象と恒等だけの圏）。それだけではなくて、自然変換、つまり次元2の射が必要です。結果として、Catは単なるモノイド圏ではなく、より複雑なモノイド2-圏の構造まで要求されます。

マイクロコスモ原理では、今述べたように、外側の世界がより複雑になり、どんどん複雑さが増していく印象（＝恐怖感）があります。でも実際には、複雑さは安定化（stabilize）するのではないでしょうか？モノイド圏に関して言えば、マックレーンの五角形・三角形等式よりもさらに高次の法則は不要だと思えます。つまり、自然変換までは構造に関与するが、それより高次の射が登場しなくなるのです。

マイクロコスモ原理自体が発見的原理であり、複雑さの階層が安定化することはさらに漠然とした（希望的）観測に過ぎません。しかし、マイクロコスモ原理が悲観的な主張じゃないとは言えます。

マイクロコスモ原理とスノーグローブ現象

マイクロコスモ原理により、世界は世界内存在物より複雑な構造を持つでしょう。しかし、世界に関して局所的・断片的知識しかなくても、世界内存在物をかなり精密に調べることができます。

調べた世界内存在物が、スノーグローブ現象により世界の構造を模倣しているとすれば、間接的に世界の構造を精密に調べたことになります。世界内存在物を調べることが世界を調べることだ、という循環構造が生まれるのです。

「階層的世界のタワーが安定化するだろう」という希望的観測は、タワーの上部ではマイクロコスモ原理とスノーグローブ現象が一致してしまい、世界が世界内存在物と完全に同じになっているだろう、という期待です。ほんとに無限に続く階層は怖い、怖すぎる。いずれは安定した循環に取り込まれる、と考えたほうが幾分かは安心できるのではないでしょうか。