デカルト圏をモノイド圏として定義したもの、つまり、デカルト・モノイド圏の定義はハッキリしています。が、デカルト・モノイド圏のあいだのデカルト構造を保つ関手、そのような関手のあいだの自然変換の定義って、意外に目にしないですね。
デカルト・モノイド圏、デカルト・モノイド関手、デカルト・モノイド自然変換の定義を明示的に述べてみます。背後にある問題意識はデカルト・モノイド・モナドを調べることです。$`\newcommand{\lax}{\mathrm{lax}}
\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1} }
\newcommand{\u}[1]{\underline{#1} }
\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1} }
\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
\newcommand{\twoto}{\Rightarrow}
\newcommand{\In}{\text{ in }}
\require{color}
\newcommand{\Keyword}[1]{ \textcolor{green}{\text{#1}} }%
\newcommand{\For}{\Keyword{For } }%
\newcommand{\Define}{\Keyword{Define } }%
%`$
[追記]デカルト・モノイド関手の条件が強すぎて、このままではマズイです。たぶん、続きを書きます。→続き[/追記]
内容：
記号と言葉の約束
ここで詳しい説明はしませんが、後で使う記号と言葉をまとめておきます。今回の話題において基本的かつ主要な概念であるラックス・モノイド関手については、次の記事に記述があります。
バエズの、モノイド圏に関する6ページの minimalist account も便利です。
- Title: Some Definitions Everyone Should Know
- Author: John C. Baez
- Date: May 13, 2010
- Pages: 6p
- URL: http://math.ucr.edu/home/baez/qg-winter2001/definitions.pdf
モノイド圏〈monoidal category〉を $`\cat{C} = (\u{\cat{C}}, \otimes, I, \alpha, \lambda, \rho)`$ のように書きます。ここで：
- $`\u{\cat{C}}`$ はモノイド圏の台圏、$`\u{\cat{C}}\in |{\bf Cat}|`$
- $`\otimes`$ はモノイド圏のモノイド積、$`(\otimes): \u{\cat{C}}\times \u{\cat{C}} \to \u{\cat{C}} \In |{\bf Cat}|`$
- $`I \in |\cat{C}| = |\u{\cat{C}}|`$ はモノイド圏の単位対象
- $`\alpha, \lambda, \rho`$ はモノイド圏の結合律子〈associator〉、左単位律子〈left unitor〉、右単位律子〈right unitor〉（「緩化子〈ラクセイター〉」参照）
これらの構成素〈constituents〉に、モノイド圏の法則が課されています。
簡略化のために、$`\alpha, \lambda, \rho`$ は省略して $`\cat{C} = (\u{\cat{C}}, \otimes, I)`$ とも書きます。モノイド圏とその台圏は区別して、台圏〈underlying category〉にはアンダーラインを引きます。が、この区別を徹底するのは難しいですね。
モノイド圏のあいだのラックス・モノイド関手〈lax monoidal functor〉を、
$`\quad F = (\u{F}, \nu, \iota) : \cat{C} \to \cat{D}`$
のように書きます。ここで、
- $`\u{F}:\u{\cat{C}} \to \u{\cat{D}} \In {\bf Cat}`$ はラックス・モノイド関手の台関手
- $`( \nu_{A, B}:\u{F}(A)\otimes\u{F}(B) \to \u{F}(A\otimes B) \In \u{\cat{D}})_{A, B\in |\cat{C}|}`$ はラックス・モノイド関手の構造を与えるラクセイター（「緩化子〈ラクセイター〉」参照）
- $`\iota : I \to \u{F}(I) \In \u{\cat{D}}`$ はラックス・モノイド関手の構造を与える射
これらの構成素〈constituents〉に、ラックス・モノイド関手の法則が課されています。
$`\nu`$ を $`F`$ のラックス乗法〈lax multiplication〉、$`\iota`$ を $`F`$ のラックス単位〈lax unit〉と呼ぶことにします（定着した呼び名はないようです）。
複数のラックス・モノイド関手を扱うときは、次のような記法を使います。
- $`F = (\u{F}, \nu^F, \iota^F):\cat{C} \to \cat{D}`$
- $`G = (\u{G}, \nu^G, \iota^G):\cat{C} \to \cat{D}`$
ラックス乗法／ラックス単位の向きを反対にした双対概念を反ラックス余乗法／反ラックス余単位〈oplax comultiplication / oplax counit〉と呼び、法則も双対にして反ラックス・モノイド関手〈oplax monoidal functor〉が定義されます。
複数の反ラックス・モノイド関手を扱うときは、次のような記法を使います。
- $`F = (\u{F}, \delta^F, \tau^F):\cat{C} \to \cat{D}`$
- $`G = (\u{G}, \delta^G, \tau^G):\cat{C} \to \cat{D}`$
ラックス・モノイド関手のラックス乗法／ラックス単位（の成分達）に逆があり、それら逆が反ラックス関手の反ラックス余乗法／反ラックス余単位になっているとき、このラックス・モノイド関手（同時に反ラックス・モノイド関手でもある）をタイト・モノイド関手〈tight monoid functor〉と呼びます。今定義したタイト・モノイド関手を強モノイド関手とは呼びません（呼び名の問題については「高次圏： 用語法と文脈（主に2次元）」参照）。
タイト・モノイド関手は、ラックス・モノイド関手と反ラックス・モノイド関手の両方の構造を持つ関手として次のように書きます。
- $`F = (\u{F}, \nu^F, \iota^F, \delta^F, \tau^F):\cat{C} \to \cat{D}`$
- $`G = (\u{G}, \nu^G, \iota^G, \delta^G, \tau^G):\cat{C} \to \cat{D}`$
成分ごと〈component-wise〉に $`\nu`$ と $`\delta`$ は互いに逆、射として $`\iota`$ と $`\tau`$ も逆です。
ラックス・モノイド関手は関手を台とするモノイド様構造〈monoid-like structure〉、反ラックス・モノイド関手はコモノイド様構造〈comonoid-like structure〉だと考えます。そしてタイト・モノイド関手は、双モノイド様構造〈bimonoid-like structure〉の特殊（とても単純）なものだと捉えます。
関手上のモノイド様構造／コモノイド様構造／双モノイド様構造と協調する自然変換をそれぞれ、ラックス・モノイド自然変換〈lax monoidal natural transformation〉、反ラックス・モノイド自然変換〈oplax monoidal natural transformation〉、タイト・モノイド自然変換〈tight monoidal natural transformation〉と呼びます。
「協調する」の意味は、一例を挙げれば、自然変換がラックス乗法を次のように保存することです。
$`\require{AMScd}
\forall A, B \in |\u{\cat{C}}|.\\
\quad
\begin{CD}
\u{F}(A)\otimes\u{F}(B) @>{\nu_{A,B}}>> \u{F}(A\otimes B)\\
@V{\psi_A \otimes \psi_B}VV @VV{\psi_{A \otimes B}}V\\
\u{F'}(A)\otimes\u{F'}(B) @>{\nu'_{A,B}}>> \u{F'}(A\otimes B)\\
\end{CD}\\
\text{commutative in }\u{\cat{D}}`$
ここで次を仮定しています。
$`\quad F = (\u{F}, \nu, \iota) : \cat{C} \to \cat{D} \In {\bf MonCat}^\lax \\
\quad F' = (\u{F'}, \nu', \iota') : \cat{C} \to \cat{D} \In {\bf MonCat}^\lax \\
\quad \psi :: F \twoto F' : \cat{C} \to \cat{D} \In {\bf MonCat}^\lax`$
先走って記号を出してしまいましたが、小さいモノイド圏を対象、ラックス・モノイド関手を射、ラックス・モノイド自然変換を2-射とする2-圏を $`{\bf MonCat}^\lax`$ と書きます。別な種別のモノイド関手が射のとき、あるいはサイズが大きくなったときは次の記法で表します。
- サイズが小さい： $`{\bf MonCat}^\lax,\,{\bf MonCat}^\mrm{oplax},\, {\bf MonCat}^\mrm{tight}`$
- サイズが大きい： $`{\bf MonCAT}^\lax,\,{\bf MonCAT}^\mrm{oplax},\, {\bf MonCAT}^\mrm{tight}`$
- サイズがもっと大きい： $`\mathbb{MonCAT}^\lax,\,\mathbb{MonCAT}^\mrm{oplax},\, \mathbb{MonCAT}^\mrm{tight}`$
デカルト・モノイド圏
通常、デカルト・モノイド圏を単にデカルト圏と呼びますが、ここでは「モノイド圏に付加構造を足して定義している」ことを忘れないために省略なしで「デカルト・モノイド圏」と呼びます。
その付加構造ですが、CD構造を付加して、その自然性を条件として要求します。CD構造〈Copy-Delete構造〉に関しては次を見てください。
CD圏は対称モノイド圏であるので、対称を $`\sigma`$ と書くことにして、次のように書けます。
$`\quad \cat{C} = (\u{\cat{C}}, \otimes, I, \sigma, \Delta, !)`$
ここで：
- $`\u{\cat{C}}`$ はCD圏の台圏、$`\u{\cat{C}}\in |{\bf Cat}|`$
- $`\otimes`$ はモノイド圏のモノイド積、$`(\otimes): \u{\cat{C}}\times \u{\cat{C}} \to \u{\cat{C}} \In |{\bf Cat}|`$
- $`I \in |\cat{C}| = |\u{\cat{C}}|`$ はモノイド圏の単位対象
- $`\alpha, \lambda, \rho`$ は省略
- $`\sigma`$ は対称モノイド圏の対称
- $`\Delta`$ はCD圏のコピー射〈対角射〉の族
- $`!`$ はCD圏の削除射〈破棄射〉の族
CD圏の $`\Delta, !`$ は自然変換だとは限りません。$`\Delta, !`$ が共に自然変換であるとき、その圏をデカルト・モノイド圏〈Cartesian monoidal category〉と呼びます。
デカルト・モノイド圏 $`\cat{C}`$ では、射影とデカルト・ペアをよく使うので定義しておきます。
$`\For \cat{C} \:\text{ a Cartesian monoidal category}\\
\For A, B \in |\cat{C}|\\
\Define \pi^1_{A, B} : A\otimes B \to A \In \cat{C} := (\id_A \otimes \,!_B);\rho_A\\
\Define \pi^2_{A, B} : A\otimes B \to B \In \cat{C} := (!_A \otimes \id_B);\lambda_B\\
\:\\
\For f:X \to A, g:X \to B \In \cat{C}\\
\Define \langle f, g\rangle : X \to A\otimes B \In \cat{C} := \Delta_X ;(f\otimes g)`$
$`\Delta, !`$ の自然性から、射影とデカルト・ペアに関するよく知られた性質は出ます。例えば、次の等式が示せます。
$`\quad \langle f, g\rangle ; \pi^1_{A, B} = f`$
$`\cat{C}`$ がデカルト・モノイド圏であるとき、そのモノイド積を $`\times`$ 、そのモノイド単位対象を $`{\bf 1}`$ と書くのは習慣ですが、ここでは特に気にせず $`\otimes, I`$ も使います。
対称モノイド圏の2-圏
$`F:\cat{C} \to \cat{D} \In {\bf MonCat}^\lax`$ だとして、モノイド圏 $`\cat{C}, \cat{D}`$ は対称 $`\sigma`$ を持つとします（どちらの対称も同じ記号 $`\sigma`$）。ラックス・モノイド関手 $`F = (\u{F}, \nu, \iota)`$ が対称と協調することは次のように表せます。（台圏、台関手を表す下線は省略しています。）
$`\forall A, B \in |\cat{C}|.\\
\quad \begin{CD}
F(A)\otimes F(B) @>{\sigma_{F(A), F(B)}}>> F(B) \otimes F(A) \\
@V{\nu_{A, B} }VV @VV{\nu_{B, A}}V \\
F(A \otimes B) @>{F(\sigma_{A, B})}>> F(B \otimes A) \\
\end{CD}\\
\text{commutative in }\cat{D}`$
対称モノイド圏のあいだのラックス・モノイド関手で上記の条件を満たすものをラックス対称モノイド関手〈lax symmetric monoidal functor〉と呼びます。対称モノイド圏のあいだのラックスな準同型関手です。
ラックス対称モノイド関手のあいだの準同型自然変換は、単にラックス対称モノイド関手のあいだのラックス・モノイド自然変換 $`\alpha::F \twoto G`$ で、追加の条件はありません。呼び名としては、ラックス対称モノイド自然変換〈lax symmetric monoidal functor〉と呼んだほうが統一性があるかもしれません。
対称モノイド圏を対象、ラックス対称モノイド関手を射、ラックス・モノイド自然変換〈ラックス対称モノイド自然変換〉を2-射とする2-圏ができるので、これを $`{\bf SymMonCat}^\lax`$ とします。
デカルト・モノイド関手
デカルト・モノイド圏は、対称モノイド圏 $`(\cat{C}, \sigma)`$ にさらにCD構造 $`\Delta, !`$ が追加されたものです。デカルト・モノイド圏のあいだの準同型関手は、まずはラックス対称モノイド関手であり、さらに何かの構造・条件が追加されたものになります。
ストライプ図をゴニョゴニョ描いてみた感じでは、追加の構造・条件は次のようにすると良さげです。
- ラックス・モノイド関手のラックス乗法／ラックス単位は可逆である。つまり、タイト・モノイド関手になる。[追記]この条件は強すぎるようです。たぶん、続きを書きます。→続き[/追記]
- タイト・モノイド関手の反ラックス構造（コモノイド様構造）は、デカルト・モノイド圏のDC構造と協調する。
二番目の条件は、大雑把な等式で書くと次のようです。[追記]以下の一番目は間違いです。もっと簡略です。たぶん、続きを書きます。→続き[/追記]
- $`\delta = F(\Delta); \delta ;(F(\pi^1) \otimes F(\pi^2))`$
- $`\tau = \,!_{F(I)}`$
可換図式で書けば：
$`\forall A \in|\cat{C}|.\\
\quad
\begin{CD}
F(A\otimes B) @>{F(\Delta_{A\times B})}>> F( (A\otimes B) \otimes (A\otimes B) )\\
@V{\delta_{A, B}}VV @V{\delta_{A\otimes B, A\otimes B}}VV\\
F(A) \otimes F(B) @<{F(\pi^1_{A, B}) \otimes F(\pi^2_{A, B}) }<< F(A\otimes B) \otimes F(A\otimes B)\\
\end{CD}\\
\text{commutative in }\cat{D}\\
\:\\
\quad
\begin{CD}
F(I) @>{\tau}>> I \\
@| @| \\
F(I) @>{!_{F(I)}}>> I \\
\end{CD}\\
\text{commutative in }\cat{D}`$
デカルト・モノイド圏の2-圏
デカルト・モノイド圏を対象とする2-圏を作る場合に、ベースにするのは、対称モノイド圏／タイト対称モノイド関手／タイト・モノイド自然変換からなる圏 $`{\bf SymMonCat}^\mrm{tight}`$ です。関手は互いに逆なモノイド様構造とコモノイド様構造を持ち、自然変換はモノイド様構造もコモノイド様構造も保存します。[追記]この仮定は強すぎます。たぶん、続きを書きます。→続き[/追記]
$`{\bf SymMonCat}^\mrm{tight}`$ にデカルト性を上乗せする構造・条件は、対称モノイド圏に付加された自然なDC構造と、関手のコモノイド様構造とDC構造の絡み合いを規定する条件（前節で述べた）です。デカルト自然変換は、単に関手のタイト構造（互いに逆な双モノイド様構造）を保つ自然変換です。
デカルト・モノイド圏／デカルト・モノイド関手／デカルト・モノイド自然変換が2-圏を形成するのを確認するのには、けっこうな量のルーチンが必要ですが、それはやればできるでしょう。2-圏が構成できると嬉しいことは、その2-圏内でモナドの定義が出来ることです。デカルト・モノイド圏の2-圏 $`{\bf CartMonCat}`$ が首尾よく構成できれば、デカルト・モノイド・モナドは自動的に手に入ります。
フリッツ〈Tobias Fritz〉達によると、ある種のデカルト・モノイド・モナドが、デカルト圏とマルコフ圏を架橋しているようです。しかし、僕にとってデカルト・モノイド・モナドが明らかな概念でもなかったのでハッキリさせたかったわけです。
デカルト・モノイド圏の2-圏 $`{\bf CartMonCat}`$ に関するルーチンな確認作業をサボっているので、もう少しコイツをいじってからデカルト・モノイド・モナドの話に進もうかと思っています。
