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参照用 記事

バンドルと層の記法 まとめ

一覧にまとめておきます。随時、修正・追加があるでしょう。\newcommand{\hyph}{\mbox{-}}
\newcommand{\ul}[1]{ \underline{#1} }

内容:

  • Man -- (なめらかな)多様体の圏

バンドルの圏:

  1. C-Bdl[-] -- Man上の、ファイバーがCの構造を持つバンドルの、インデックス付き圏
  2. Bdl = Man-Bdl[-] -- Man上の{ファイバー}?バンドルのインデックス付き圏
  3. Vect-Bdl[-] -- Man上のベクトルバンドルのインデックス付き圏
  4. Alg-Bdl[-] -- Man上の代数〈多元環〉バンドルのインデックス付き圏
  5. Grp-Bdl[-] -- Man上の群バンドルのインデックス付き圏
  6. G-Prin-Bdl[-] -- Man上のG-主バンドルのインデックス付き圏
  7. X-Triv-C-Bdl[-] -- Man上の、ファイバーがXである自明バンドルのインデックス付き圏(各圏は単対象)

層の圏:

  1. C-Sh[-] -- Man上の、値がCである層の、インデックス付き圏
  2. Sh[-] = Set-Sh[-] -- Man上の{集合}?層のインデックス付き圏
  3. CRng-Sh[-] -- Man上の可換環層のインデックス付き圏
  4. Mod-Sh[-] -- Man上の加群層のインデックス付き圏
  5. Alg-Sh[-] -- Man上の代数〈多元環〉層のインデックス付き圏
  6. Grp-Sh[-] -- Man上の群層のインデックス付き圏

平坦化した圏:

関手

接関手:

  • T : ManVectBundle

ラージサイト巨大サイトとしてのMan上の層:

  1. SA = {\mathscr A} = C = Ω0 : ManopCRng -- 構造{可換環}?層
  2. Ω = Ω1 : ManopMod -- {1次の}?微分形式加群
  3. Ω : ManopAlg -- 微分形式代数層(掛け算は微分形式の外積
バンドルとバンドル射

バンドル:

  • 正式: E = (Etot, N, πE)
  • 乱用: πE:E→N または π:E→N
  • 略式: E over N

バンドル射:

  • 正式: f = (ftot, fbase) : E→F
  • 乱用: f = (f, φ) :E→F または f = (f:E→F, φ:N→M)
  • 略式: (f over φ) :E→F または f:E→F over φ:N→M
バンドルの演算

添字のNは、底空間多様体

演算名 演算記号 被演算項 演算結果
ファイバー積  \underset{N}{\times} バンドル バンドル
直和〈ホイットニー和〉  \underset{N}{\oplus} ベクトルバンドル ベクトルバンドル
テンソル  \underset{N}{\otimes} ベクトルバンドル ベクトルバンドル
双対  (\hyph)^{\underset{N}{\ast}} ベクトルバンドル ベクトルバンドル
外積〈ウェッジ積〉  \underset{N}{\wedge} ベクトルバンドル ベクトルバンドル
内部ホム  hom_N(\hyph, \hyph) \:\mbox{or}\: lin_N(\hyph, \hyph) ベクトルバンドル ベクトルバンドル
内部双線形射集合  bilin_N(\hyph, \hyph) ベクトルバンドル バンドル
内部エンド  end_N(\hyph) ベクトルバンドル 代数バンドル
内部アイソ  iso_N(\hyph, \hyph) ベクトルバンドル バンドル
内部オート  aut_N(\hyph) \:\mbox{or}\: gl_N(\hyph) ベクトルバンドル 群バンドル
k次外積空間  \Lambda^k_N(\hyph) ベクトルバンドル ベクトルバンドル
k次テンソル空間  tens^k_N(\hyph) ベクトルバンドル ベクトルバンドル
外積代数  \Lambda_N(\hyph) ベクトルバンドル 代数バンドル
テンソル代数  tens_N(\hyph) ベクトルバンドル 代数バンドル
フレーム  frame_N(\hyph) ベクトルバンドル バンドル
バンドルの移動
  • For F over M, φ:N→M,
    φ#F over N -- 引き戻されたバンドル
  • For E over N, φ:N→M invertible,
    φ#E = (φ-1)#E over M -- 前送りされたバンドル
セクション
  • s:N→E section
  • t:N→F section over φ:N→M
セクション空間と層
  • Γ(E) または ΓN(E)
  • ΓN(F/φ)
  • ΓN(U, E) := Γ(E|U)
  • ΓN(-, E) on N -- N上の層
層の演算

原則として、

  1. 中置演算子記号は、バンドルと同じ記号を使う。
  2. 演算の名前は、バンドルと同じ綴に下線を引く。(書体を変えるのは手書きでは辛いので。)
  3. 表にはないが、外部ホムは、語先頭文字を大文字にする。例: \ul{Iso}_A(\hyph, \hyph)

例外は、外積空間/外積代数

添字のAは、加群層の係数可換環層。

演算名 演算記号 被演算項 演算結果
直積  \times 集合層 集合層
直和  \underset{A}{\oplus} 加群 加群
テンソル  \underset{A}{\otimes} 加群 加群
双対  (\hyph)^{\underset{A}{\ast}} 加群 加群
外積  \underset{A}{\wedge} 加群 加群
内部ホム  \ul{hom}_A(\hyph, \hyph) \:\mbox{or}\: \ul{lin}_A(\hyph, \hyph) 加群 加群
内部双線形射集合  \ul{bilin}_A(\hyph, \hyph) 加群 集合層
内部エンド  \ul{end}_A(\hyph) 加群 代数層
内部アイソ  \ul{iso}_A(\hyph, \hyph) 加群 集合層
内部オート  \ul{aut}_A(\hyph) \:\mbox{or}\: \ul{gl}_A(\hyph) 加群 群層
k次外積加群  \Omega^k_A(\hyph) 加群 加群
k次テンソル加群  \ul{tens}^k_A(\hyph) 加群 加群
外積代数  \Omega^{\bullet}_A(\hyph) 加群 代数層
テンソル代数  \ul{tens}_A(\hyph) 加群 代数層
フレーム  \ul{frame}_A(\hyph) 加群 集合層
層の移動
  • For B on M, φ:N→M,
    φ-|B on N -- 引き戻された層
  • For A on N, φ:N→M,
    φ|-A on M -- 前送りされた層