檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

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［参照用記事］

バンドルと層の記法まとめ

雑記／備忘参照用

一覧にまとめておきます。随時、修正・追加があるでしょう。 $\newcommand{\hyph}{\mbox{-}} \newcommand{\ul}[1]{ \underline{#1} }$

内容：

圏
関手
バンドルとバンドル射
バンドルの演算
バンドルの移動
セクション
セクション空間と層
層の演算
層の移動

より短い書き方は「バンドルと層の記法速記用」

圏

Man -- （なめらかな）多様体の圏

バンドルの圏：

C-Bdl[-] -- Man上の、ファイバーがCの構造を持つバンドルの、インデックス付き圏
Bdl = Man-Bdl[-] -- Man上の{ファイバー}?バンドルのインデックス付き圏
Vect-Bdl[-] -- Man上のベクトルバンドルのインデックス付き圏
Alg-Bdl[-] -- Man上の代数〈多元環〉バンドルのインデックス付き圏
Grp-Bdl[-] -- Man上の群バンドルのインデックス付き圏
G-Prin-Bdl[-] -- Man上のG-主バンドルのインデックス付き圏
X-Triv-C-Bdl[-] -- Man上の、ファイバーがXである自明バンドルのインデックス付き圏（各圏は単対象）

層の圏：

C-Sh[-] -- Man上の、値がCである層の、インデックス付き圏
Sh[-] = Set-Sh[-] -- Man上の{集合}?層のインデックス付き圏
CRng-Sh[-] -- Man上の可換環層のインデックス付き圏
Mod-Sh[-] -- Man上の加群層のインデックス付き圏
Alg-Sh[-] -- Man上の代数〈多元環〉層のインデックス付き圏
Grp-Sh[-] -- Man上の群層のインデックス付き圏

平坦化した圏：

VectBundle := $\int_{\to\: {\bf Man}}$ Vect-Bdl[-] -- Vect-Bdl[-] の順方向グロタンディーク平坦化圏

関手

接関手：

T : Man→VectBundle

~~ラージサイト~~巨大サイトとしてのMan上の層：

SA = ${\mathscr A}$ = C^∞ = Ω⁰ : Man^op→CRng -- 構造{可換環}?層
Ω = Ω¹ : Man^op→Mod -- {1次の}?微分形式加群層
Ω^● : Man^op→Alg -- 微分形式代数層（掛け算は微分形式の外積）

バンドルとバンドル射

バンドル：

正式： E = (E_tot, N, π_E)
乱用： π_E:E→N または π:E→N
略式： E over N

バンドル射：

正式： f = (f_tot, f_base) : E→F
乱用： f = (f, φ) :E→F または f = (f:E→F, φ:N→M)
略式： (f over φ) :E→F または f:E→F over φ:N→M

バンドルの演算

添字のNは、底空間多様体。

演算名	演算記号	被演算項	演算結果
ファイバー積	$\underset{N}{\times}$	バンドル	バンドル
直和〈ホイットニー和〉	$\underset{N}{\oplus}$	ベクトルバンドル	ベクトルバンドル
テンソル積	$\underset{N}{\otimes}$	ベクトルバンドル	ベクトルバンドル
双対	$(\hyph)^{\underset{N}{\ast}}$	ベクトルバンドル	ベクトルバンドル
外積〈ウェッジ積〉	$\underset{N}{\wedge}$	ベクトルバンドル	ベクトルバンドル
内部ホム	$hom_N(\hyph, \hyph) \:\mbox{or}\: lin_N(\hyph, \hyph)$	ベクトルバンドル	ベクトルバンドル
内部双線形射集合	$bilin_N(\hyph, \hyph)$	ベクトルバンドル	バンドル
内部エンド	$end_N(\hyph)$	ベクトルバンドル	代数バンドル
内部アイソ	$iso_N(\hyph, \hyph)$	ベクトルバンドル	バンドル
内部オート	$aut_N(\hyph) \:\mbox{or}\: gl_N(\hyph)$	ベクトルバンドル	群バンドル
k次外積空間	$\Lambda^k_N(\hyph)$	ベクトルバンドル	ベクトルバンドル
k次テンソル空間	$tens^k_N(\hyph)$	ベクトルバンドル	ベクトルバンドル
外積代数	$\Lambda_N(\hyph)$	ベクトルバンドル	代数バンドル
テンソル代数	$tens_N(\hyph)$	ベクトルバンドル	代数バンドル
フレーム	$frame_N(\hyph)$	ベクトルバンドル	バンドル

バンドルの移動

For F over M, φ:N→M,
φ^#F over N -- 引き戻されたバンドル
For E over N, φ:N→M invertible,
φ_#E = (φ^-1)^#E over M -- 前送りされたバンドル

セクション

s:N→E section
t:N→F section over φ:N→M

セクション空間と層

Γ(E) または Γ_N(E)
Γ_N(F/φ)
Γ_N(U, E) := Γ(E|_U)
Γ_N(-, E) on N -- N上の層

層の演算

原則として、

中置演算子記号は、バンドルと同じ記号を使う。
演算の名前は、バンドルと同じ綴に下線を引く。（書体を変えるのは手書きでは辛いので。）
表にはないが、外部ホムは、語先頭文字を大文字にする。例： $\ul{Iso}_A(\hyph, \hyph)$

例外は、外積空間／外積代数。

添字のAは、加群層の係数可換環層。

演算名	演算記号	被演算項	演算結果
直積	$\times$	集合層	集合層
直和	$\underset{A}{\oplus}$	加群層	加群層
テンソル積	$\underset{A}{\otimes}$	加群層	加群層
双対	$(\hyph)^{\underset{A}{\ast}}$	加群層	加群層
外積	$\underset{A}{\wedge}$	加群層	加群層
内部ホム	$\ul{hom}_A(\hyph, \hyph) \:\mbox{or}\: \ul{lin}_A(\hyph, \hyph)$	加群層	加群層
内部双線形射集合	$\ul{bilin}_A(\hyph, \hyph)$	加群層	集合層
内部エンド	$\ul{end}_A(\hyph)$	加群層	代数層
内部アイソ	$\ul{iso}_A(\hyph, \hyph)$	加群層	集合層
内部オート	$\ul{aut}_A(\hyph) \:\mbox{or}\: \ul{gl}_A(\hyph)$	加群層	群層
k次外積加群	$\Omega^k_A(\hyph)$	加群層	加群層
k次テンソル加群	$\ul{tens}^k_A(\hyph)$	加群層	加群層
外積代数	$\Omega^{\bullet}_A(\hyph)$	加群層	代数層
テンソル代数	$\ul{tens}_A(\hyph)$	加群層	代数層
フレーム	$\ul{frame}_A(\hyph)$	加群層	集合層

層の移動

For B on M, φ:N→M,
φ^-|B on N -- 引き戻された層
For A on N, φ:N→M,
φ_|-A on M -- 前送りされた層