一覧にまとめておきます。随時、修正・追加があるでしょう。
内容:
- より短い書き方は「バンドルと層の記法 速記用」
圏
- Man -- (なめらかな)多様体の圏
バンドルの圏:
- C-Bdl[-] -- Man上の、ファイバーがCの構造を持つバンドルの、インデックス付き圏
- Bdl = Man-Bdl[-] -- Man上の{ファイバー}?バンドルのインデックス付き圏
- Vect-Bdl[-] -- Man上のベクトルバンドルのインデックス付き圏
- Alg-Bdl[-] -- Man上の代数〈多元環〉バンドルのインデックス付き圏
- Grp-Bdl[-] -- Man上の群バンドルのインデックス付き圏
- G-Prin-Bdl[-] -- Man上のG-主バンドルのインデックス付き圏
- X-Triv-C-Bdl[-] -- Man上の、ファイバーがXである自明バンドルのインデックス付き圏(各圏は単対象)
層の圏:
- C-Sh[-] -- Man上の、値がCである層の、インデックス付き圏
- Sh[-] = Set-Sh[-] -- Man上の{集合}?層のインデックス付き圏
- CRng-Sh[-] -- Man上の可換環層のインデックス付き圏
- Mod-Sh[-] -- Man上の加群層のインデックス付き圏
- Alg-Sh[-] -- Man上の代数〈多元環〉層のインデックス付き圏
- Grp-Sh[-] -- Man上の群層のインデックス付き圏
平坦化した圏:
- VectBundle :=
Vect-Bdl[-] -- Vect-Bdl[-] の順方向グロタンディーク平坦化圏
バンドルとバンドル射
バンドル:
- 正式: E = (Etot, N, πE)
- 乱用: πE:E→N または π:E→N
- 略式: E over N
バンドル射:
- 正式: f = (ftot, fbase) : E→F
- 乱用: f = (f, φ) :E→F または f = (f:E→F, φ:N→M)
- 略式: (f over φ) :E→F または f:E→F over φ:N→M
バンドルの演算
添字のNは、底空間多様体。
演算名 | 演算記号 | 被演算項 | 演算結果 |
---|---|---|---|
ファイバー積 | |
バンドル | バンドル |
直和〈ホイットニー和〉 | |
ベクトルバンドル | ベクトルバンドル |
テンソル積 | |
ベクトルバンドル | ベクトルバンドル |
双対 | |
ベクトルバンドル | ベクトルバンドル |
外積〈ウェッジ積〉 | |
ベクトルバンドル | ベクトルバンドル |
内部ホム | |
ベクトルバンドル | ベクトルバンドル |
内部双線形射集合 | |
ベクトルバンドル | バンドル |
内部エンド | |
ベクトルバンドル | 代数バンドル |
内部アイソ | |
ベクトルバンドル | バンドル |
内部オート | |
ベクトルバンドル | 群バンドル |
k次外積空間 | |
ベクトルバンドル | ベクトルバンドル |
k次テンソル空間 | |
ベクトルバンドル | ベクトルバンドル |
外積代数 | |
ベクトルバンドル | 代数バンドル |
テンソル代数 | |
ベクトルバンドル | 代数バンドル |
フレーム | |
ベクトルバンドル | バンドル |
バンドルの移動
- For F over M, φ:N→M,
φ#F over N -- 引き戻されたバンドル - For E over N, φ:N→M invertible,
φ#E = (φ-1)#E over M -- 前送りされたバンドル
セクション
- s:N→E section
- t:N→F section over φ:N→M
セクション空間と層
- Γ(E) または ΓN(E)
- ΓN(F/φ)
- ΓN(U, E) := Γ(E|U)
- ΓN(-, E) on N -- N上の層
層の演算
原則として、
- 中置演算子記号は、バンドルと同じ記号を使う。
- 演算の名前は、バンドルと同じ綴に下線を引く。(書体を変えるのは手書きでは辛いので。)
- 表にはないが、外部ホムは、語先頭文字を大文字にする。例:
演算名 | 演算記号 | 被演算項 | 演算結果 |
---|---|---|---|
直積 | |
集合層 | 集合層 |
直和 | |
加群層 | 加群層 |
テンソル積 | |
加群層 | 加群層 |
双対 | |
加群層 | 加群層 |
外積 | |
加群層 | 加群層 |
内部ホム | |
加群層 | 加群層 |
内部双線形射集合 | |
加群層 | 集合層 |
内部エンド | |
加群層 | 代数層 |
内部アイソ | |
加群層 | 集合層 |
内部オート | |
加群層 | 群層 |
k次外積加群 | |
加群層 | 加群層 |
k次テンソル加群 | |
加群層 | 加群層 |
外積代数 | |
加群層 | 代数層 |
テンソル代数 | |
加群層 | 代数層 |
フレーム | |
加群層 | 集合層 |
層の移動
- For B on M, φ:N→M,
φ-|B on N -- 引き戻された層 - For A on N, φ:N→M,
φ|-A on M -- 前送りされた層