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参照用 記事

参照用

オーバーロード解決のために、振り仮名風アノテーション

ここ数年、オーバーロード(言葉・記号の多義的使用)の問題にひどく悩まされています。僕ひとりの問題というよりは、コミュニケーションの障害となるので困っているのです。言葉・記号をオーバーロードしてしまうと、オーバーロード解決(曖昧性をなくして…

ベクトル空間上の複素密度 4: フレームとコフレームの相反性

4月7日の記事「ベクトル空間上の複素密度 3: 反対主等質集合と反傾主等質集合」の最後で: このテの話をしているのは、ベクトル空間Vのフレーム集合 Frame(V) と、双対空間V*のフレーム集合 Frame(V*) の関係をハッキリさせるためです。これら2つのフレーム…

はてなブログで貧相なペースティング図

内容: 幾つかの事例 描き方のルール TeXソースとマクロ 幾つかの事例「MathJaxで可換図式」で述べたように、はてなブログでは、四角いレイアウトの可換図式しか描けません(素晴らしい描画能力を持つXyJaxは使えないので)。マックレーンの五角形も、五角形…

モノイド対象と単体的対象

「複体、複体、複体 … なんとかしてくれ!」を書いているときにふと思ったことがあるんですが、横道にそれるので書きませんでした。そのことをこの記事で書きます。ふと思ったこととは、「圏C内のモノイド対象と、圏C内の単体的対象は酷似した概念だなー」。…

バンドルと層の記法 まとめ

一覧にまとめておきます。随時、修正・追加があるでしょう。内容: 圏 関手 バンドルとバンドル射 バンドルの演算 バンドルの移動 セクション セクション空間と層 層の演算 層の移動 より短い書き方は「バンドルと層の記法 速記用」 圏 Man -- (なめらかな…

用語のバリエーション記述のための正規表現

専門用語においても、同義語・類義語、表記のゆれなどは相当にあります。「こんな言い方もある、あんな言い方もある」と列挙していると、ときに長大なリストになってしまうことがあります。列挙する代わりに正規表現を使うとコンパクトに記述できます。正規…

構造とその素材の書き表し方

構造、例えばモノイドを書き表すとき、どう書くか? 省略や記号の乱用も含めたルールをどうするか? 毎回悩みます。ある程度の方針を決めたいと思います。内容: 素材だけの指標 説明的な名前 インスタンスの書き方 追記 (翌日): もっとバリエーション さら…

ベクトルバンドル射の逆写像: 記法の整理をかねて

一昨日の記事「接ベクトル場の定義:補遺」の続きをちょっと書こうかと思ったら、記号の説明がけっこうめんどくさいことに気づきました。とりあえず、後で参照できるように記法を整理しておくことにします。記法は、過去の記事(↓)とできるだけ(完全に、では…

リー微分は共変微分か? -- 代数的に考えれば

[追記 date="2019-11-05"]この記事のなかで「リー微分も共変微分の一種だ」と書いてますが、それは間違いです。リー微分は共変微分ではありません。現時点では記事本文を修正してません(そのままです)が、なぜ間違いなのかの理由は次の記事に書いてありま…

共変外微分の系列

「主バンドルの基本的なこと (1/2)」で、ファイバーバンドルとそのセクションの定義をしたので、それを使って共変外微分の系列を導入できますね。 という記法の意味を説明します。内容: ファイバーバンドルのセクションの復習 ド・ラーム複体 共変微分の復…

主バンドルの基本的なこと (1/2)

次の記事で触れたマーシュの論説を、何人かでゆるゆると読んでいこうかと思ってます。 多様体上のベクトルバンドルの接続と平行移動 微分幾何からゲージ理論へ 必要に応じて、他の資料も参照します。 微分幾何の教科書はインターネット上に溢れている なお、…

古典的微分幾何・ベクトル解析のモダン化: 因習的微分幾何とその構造

久々の「モダン化」シリーズの記事です。以下のエントリーがシリーズのハブになっています。 古典的微分幾何・ベクトル解析のモダン化: ラムダ記法の利用 モダンの反対語として、「因習的」を使うことにします。モダンではない、因習的微分幾何のどこが何故…

最近のモナド論の概観と注意事項 1/2

モナドの理論を高次圏論を使って定式化すると、だいぶスッキリします。しかし、ベースになる高次圏論の概念・用語・記法が安定してないので、解説を読むのに苦労します。解説の解説(ガイダンス)があるといいような気がするので、ザッと書いてみます。落と…

高次圏の反対圏をどう書くか

圏Cに対して、反対圏Copは一種しかないですが、高次圏の反対圏はイッパイ作れます。2次元の圏の場合でも、結合は2種類あるので、反転する/しないの組み合わせは4通りあります。 番号 第一の結合 第二の結合 1 反転しない 反転しない 2 反転する 反転しない …

上付き・下付き添字をマジに考えたら頭痛がした

先日の記事「古典的微分幾何・ベクトル解析のモダン化: ダイレクトインデックス記法」で、上付き・下付き添字の説明をしたのですが、説明の対象である上付き・下付き添字以外に、上付き・下付き添字の記法を大量に使っている事実に気が付きました。随分とひ…

指数関手と構文論・意味論

論理やプログラミング言語の構文論と意味論の枠組みとして、指数関手が使えるだろう/使いたい、と思っています。そのなかで、高次圏(少なくとも厳密2-圏)やカン拡張も必要となります。内容: 動機:構文論・意味論の記述 指数関数とその用語法 指数関数か…

カン拡張のために、柱の絵を描く

この記事は、ゆっくりと具体的にカン拡張へと近づいて行こう、という試みの一環です。カン拡張の説明に、ペースティング図やストリング図は必須ですが、もっと“写実的”な描画法として、点と矢印が錯綜する空間内に描出される“柱”の絵を描いてみます。内容: …

カン拡張における上下左右: 入門の前に整理すべきこと

随伴とその絵算についてかなり詳しく説明しました。 圏論の随伴をちゃんと抑えよう 圏論の随伴をちゃんと抑えよう: お絵描き完全解説 この勢いでカン拡張の説明もいけるかな、と思ったんですが、カン拡張はやっぱり難しい。難しいつうか、上下左右がさらに…

圏論の随伴をちゃんと抑えよう

「テキスト記法を図式順で書くか反図式順で書くか?」「ストリング図の上下左右方向をどうするか?」などの過剰なバラエティ(あるいは混乱)が、圏論の学習を困難にしている要因のひとつだろう、という話は何度も何度も何度も書きました。最近の記事を2つだ…

高次圏: 用語法と文脈(主に2次元)

高次圏論〈higher category theory〉に興味はあるし、必要性も感じているのですが、難しくてよく分からん、の状態が何年も続いています。高次圏に関してちゃんとした事をちゃんと書くのは僕には荷が重いので、思い付きをダラダラ書くことにします。そういう…

有界な圏論的宇宙と圏論的パス式

集合論でも圏論でも、宇宙は無限の彼方へと拡がっています。でも、適当な場所で限界を設けて、その限界の内側だけで十分なことが多い気がします。そのような狭い世界のなかでは、ファイルシステムやWebと同様に、パスにより実体を指し示すことができます。昨…

双対や随伴に強くなるためのトレーニング

最初に言っておくと、これはマジな話です。ジョーダンやネタじゃないです。絵やテキストにおける、上下左右のひっくり返し/裏返しに慣れないと、双対や随伴の理解は困難です。いやっ、ホントに。内容: 絵図とテキストにおける向き 平面における向きの変換 …

数学記号とか特殊な文字のUnicode

はてなダイアリーだと、TeX記法で数学記号を表します。例えば、テンソル積の記号だと [tex:\otimes] と書きます。TeX記法はサーバー側で処理されて次のような画像に置換されます。(最近だと、MathJaxを使ったクライアント側レンダリングが多いですね。) <img src="http://d.hatena.ne.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?\otimes" class="tex" alt="¥otimes"> …

モナド論をヒントに圏論をする(弱2-圏の割と詳しい説明付き)

お正月に考えてみたことを記します。書くのにけっこう時間がかかりました。長いです。圏の基本事項を学んだ後にモナドの概念が導入されます。しかし、モナド概念を使って圏を調べるということも出来そうです。「圏論 → モナド論 → 圏論」という循環が生じま…

スパンの圏と行列の圏

最近気付いたことを大雑把に記します。細部は記述していません。ファイバー積(引き戻し、pullback)が存在する圏Cに対して、スパンの圏Span(C)が定義できます。特にCが集合圏Setである場合を考えます。Span(Set)の話ですね。Span(Set)のなかに、関係圏Relを…

モノイド圏の単位対象の定義について: これ難しいやん

(C, , I) をモノイド圏とします。α, λ, ρをそれぞれ、結合律子、左単位律子、右単位律子とします(律子(りつし)に関しては「律子からカタストロフへ」を参照してください)。λ, ρに関する等式的法則を書き並べてみます。ただし、αによる括弧の組み換えは省…

律子からカタストロフへ

最近、「律子」という言葉を使っています。「りつこ」じゃなくて「りつし」です。英語の接尾辞「-or」の訳語のつもり。では、その「-or」とは何でしょうか。M = (M, ×, i) をモノイドとすると、次の法則が成立します。 (a×b)×c = a×(b×c) ― 結合律(associat…

関手と自然変換の計算に出てくる演算子記号とか

「モノイド自然変換としての積分: 大雑把に」にて: 勘違いや抜けがあるかも知れませんが、修正をしても大筋はたぶん維持できるでしょう。もう少し確認して、“時間と気力があるときに”具体的な構成法を書くつもりです。 この件は書くつもりでいますが、一度…

モノイド関手/ラックス・モノイド関手とその実例

モノイド圏のあいだの関手で、モノイド構造を考慮したものとしてモノイド関手(monoidal functor)やラックス・モノイド関手(lax monoidal functor)があります。その定義と幾つかの実例を挙げます。この記事のもともとの動機は、“直積をモノイド積とした集…

絵算の描画方向を示すために旗を使うことにした

僕が「お絵描き圏論」とか言い出したのは2005年初頭なので、12年(=干支の一回り)もたってしまいました。その当時はまとまったお絵描きテキストもなかったのですが、最近だとマースデンの解説もあるし、描画と証明を支援するソフトウェアGlobularもありま…