多様体上の関数、微分形式、接ベクトル場などの書き方 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

なにかについて伝える・語るとき、書き方・言い方を決めておかないと、行き違いや混乱が起きて苦労します。なので、記事タイトルにあるモノ達の「書き方」を決めておきます。

扱うモノは、バンドルのセクション空間から派生するモノ達だけです。つまり、バンドルのセクション空間に対する幾つかの略記法を決めます。決めておきたい理由は、様々なバンドルの様々なセクション空間がとても重要で頻出するからです。

内容：

バンドルの局所セクションの集合
Γに関する省略規則
Ωの定義と省略規則
ΦとΞ
層としてのセクション空間

バンドルの局所セクションの集合

（なめらかな）多様体を M, N などで表します。E, F などは多様体上のファイバーバンドルですが、ベクトルバンドルに限定はしません（ベクトルバンドルを扱うことが圧倒的に多いですが）。記号の乱用で次のような書き方をします。

E = (E, |E|, π)

ここで、|E| はバンドルEの底空間を表します。|E| = M と分かっているときは、

E = (E, M, π)

と書きます。

EはM上のバンドルで、U⊆M は開集合とします。このとき、U上で定義されたEの局所セクションの集合を次のように書きます。

Γ_M(U, E)

この集合の定義は：

s∈Γ_M(U, E) :⇔ sは U→E というなめらかな写像、かつ s;π = id_U

s;π に出てくるπは、正確にはUの逆像に制限した π|_π^-1(U) です。

実は、もし略記を使わないなら、書き方の約束はこれで終わりです。これから出てくる書き方は、Γ_M(U, E) に対する略記の仕方を約束してます。

Γに関する省略規則

左辺が右辺の略記であることを、 $\stackrel{abb}{:=}$ で表すことにします。abb は abbreviation からです。

Γ(U, E) $\stackrel{abb}{:=}$ Γ_|E|(U, E)
Γ_M(E) $\stackrel{abb}{:=}$ Γ_M(M, E)
Γ(E) $\stackrel{abb}{:=}$ Γ_|E|(|E|, E)

Γにとって、バンドルEは必須の情報なので、Eを省略することはありません*1。

下付きの底空間が省略されても、バンドルEから底空間は決まる。
第一引数の開集合Uが省略された場合は、Uは多様体全体（これも開集合）だと約束する。
底空間も開集合も省略された場合は、上の2つの規則から補える。

注意すべきは、Γの引数が1つのときは、第二引数のバンドルが明示されている、と考えることです。

Ωの定義と省略規則

Ω^kを次のように定義します。ここのEはベクトルバンドルです。

Ω^k_M(U, E) := Γ_M(U, E $\otimes_M$ (Λ^k(T^*M)))

ここで、T^*M は、Mの余接ベクトルバンドルで、Λ^k は外積に関するk乗操作です。次のことに注意しましょう。

Λ¹(T^*M) $\cong$ T^*M
Λ⁰(T^*M) $\cong$ R_M

ここで、R_M は、Rをファイバーとする自明バンドルです。通常、上の同型はイコールとみなしてしまいます。

さて、Ωに関する省略規則です。

Ω_M(U, E) $\stackrel{abb}{:=}$ Ω¹_M(U, E)
Ω^k(U, E) $\stackrel{abb}{:=}$ Ω^k_|E|(U, E)
Ω^k_M(U) $\stackrel{abb}{:=}$ Ω^k_M(U, R_M)

Γの場合とは違って、ベクトルバンドルEを省略可能です。省略したときは、自明バンドル R_M だと解釈します。Ωの引数が1つのときは、第一引数の開集合が明示されている、と考えます。Γとは省略規則が違います。

ただし、これとは異なる省略規則（Γと同じ省略規則）を採用して、

Ω^k_M(E) $\stackrel{abb}{:=}$ Ω^k_M(M, E)

とすることもあります。僕がこの規則を採用しない理由は、一番よく使う自明バンドル R_M のときに省略ができないからです。

次のような省略もできます。

Ω(U, E) $\stackrel{abb}{:=}$ Ω¹_|E|(U, E)
Ω_M(U) $\stackrel{abb}{:=}$ Ω¹_M(U, R_M)
Ω^k(U) $\stackrel{abb}{:=}$ Ω^k_M(U, R_M) （Mは事前に了解されている）
Ω(U) $\stackrel{abb}{:=}$ Ω¹_M(U, R_M) （Mは事前に了解されている）

特に Ω(M) は、大域的に定義された1次微分形式の空間になります。

Ω(M) $\stackrel{abb}{:=}$ Ω¹_M(M, R_M)

究極の略記として、Mが了解されている前提で：

Ω $\stackrel{abb}{:=}$ Ω(M)

ΦとΞ

ΓとΩは、広く合意されよく使われている記号です。それに対して、ΦとΞは僕の個人的な使用です。

Φ_M(U) := Γ_M(U, R_M)
Ξ_M(U) := Γ_M(U, TM)

Φは通常、C^∞で表します。 ${\mathcal A}$ , $\mathcal{F}$ なども使いますが標準的ではないです。Ξは通常、 $\mathcal{X}$ で表します。 ${\mathcal A}, \mathcal{F}, \mathcal{X}$ など、スクリプト体（でいいのか？）を使うのは僕は好きじゃないです*2。