コジュール接続の一般射は一般的だった

昨日の記事「コジュール接続の圏 その2」で：

ちょっと思いついたこと（一般射という概念）があるんで、それのメモみたいなもんです。

---

一般射〈generic morphism〉 一般的（過ぎるかも）

実際、コジュール接続のあいだの一般射という概念は一般的でした。用途によっては一般的過ぎてつまらないかも知れません。ここでの一般的とは次の意味です。

• X, Y がコジュール接続のとき、任意のイントラベース・ベクトルバンドル射（条件は付けない） X→Y は、XからYへの一般射を（標準的に）定義する。

別な言い方をすると、

• 圏 KoszConn^gen[M] から圏 VectBdl[M] への忘却関手は充満忠実である。

これを示すには、昨日の記事で述べた“fに沿った微分射”に関して少し調べます。

設定として、Mは（なめらかな）多様体で、R-可換環（R-ベクトル空間である可換環）の層 Φ = Φ_M = C^∞_M(-) と、Φ-加群の層 Ω = Ω_M は通常通り、d:Φ→Ω は標準的な外微分とします。

X, Y はΦ-加群（の層）だとします。とりあえず今は、X, Y がベクトルバンドルのセクション空間でなくてもかまいません。f:X→Y はΦ-加群射だとして、D:X→YΩ がf-微分射〈f-derivative morphism〉であることは、昨日の記事で定義したとおり -- 変形したライプニッツ法則を要求します。（層のあいだの射＝自然変換の成分は上付き添字で書くとします。）

• For U∈Open(M), a∈Φ(U), x∈X(U)
  D^U(x・a) = (D^Ux)・a + f(x)d^Ua

X→YΩ の形のf-微分射の全体を Der^f(X, YΩ) とします。Der^f(X, YΩ) は、Φ-加群にもR-ベクトル空間にもなりませんが、次の性質を持ちます。（ΦまたはRによるスカラー倍演算'・'は左も右も許します。）

1. D, D'∈Der^f(X, YΩ) なら、差 D' - D はΦ-加群射である。
2. 実数 t に対して、t・D + (1-t)・D' はf-微分射である。

Xがベクトルバンドルから作られた加群（X = Γ(E)）で、f = id_X の場合は、f-微分射は共変微分になります。次の命題達は定義からただちに同値です。

1. ∇はベクトルバンドルEの共変微分である。
2. ∇∈CovDer(E)
3. ∇∈Der^id_X(X, XΩ) （X = Γ(E)）

以下、E, F はM上のベクトルバンドルで、X = Γ(E), Y = Γ(F) 、f:X→Y はΦ-加群射であるとします。fid_Ω:XΩ→YΩ を、f¹:XΩ→YΩ と略記します。このとき：

1. ∇∈CovDer(E) ならば、f¹∇ ∈Der^f(X, YΩ)
2. ∇'∈CovDer(F) ならば、∇'f ∈Der^f(X, YΩ)

これらは直接計算で示せます。f¹∇ も ∇'f も Der^f(X, XΩ) に入るので、差を取ることができて、先の「f-微分射の差はΦ-加群射である」から、差 f¹∇ - ∇'f はΦ-加群射になります。

これらの事実から、次が成立します。

• KoszConn^gen[M]((E, ∇), (F, ∇')) VectBdl[M](E, F)
• (f, A) ←→ f

右から左への対応は、f := (f)_*, A := f¹∇ - ∇'f と定義します。

ちょっと別な話題； 任意のベクトルバンドルE上に共変微分が存在するので、Eごとに共変微分を超越的に選ぶ操作を S(E) = (E, ∇), ∇∈CovDer(E) とします。1：1の対応〈全単射〉 VectBdl[M](E, F)→KoszConn^gen[m](S(E), S(F)) が存在するので、Sは関手 S:VectBdl[M]→KoszConn^gen[M] とみなせます。

忘却関手を U:KoszConn^gen[M]→VectBdl[M] 、関手の図式順結合記号を'＊'として S＊U = Id が成立するので、SはUのセクション関手になります。忘却関手のセクション関手の空間 SectFunctor(U) = Γ(U) を調べるのは面白いかも知れません。