「だいたい圏になる： 概圏」で、概圏〈almost category〉という概念を提案しました。概圏が通常の圏〈局所小圏〉と違う点は：
- [ホムセットのサイズ] ホムセットが小さくなくてもよい。
- [法則の緩さ〈ゆるさ〉] 法則〈公理〉が等式的でなくてもよい。
「概圏の事例（整理して再度）」で挙げた事例や、「フィードバック付きモノイド圏とその周辺」で紹介したダイアレクト構成などを考えると、概圏は必要そうに思えます。
しかし、よく知られた概念の組み合わせにより概圏を置き換えられたらいいな、とは思います。概圏の定義って、気が利いてないもんね。もっと統一的でかっこいい定義を探しましょう。豊穣圏のアイディアを使ってみます。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\twoto}{\Rightarrow }
\newcommand{\In}{\text{ in } }
\newcommand{\Imp}{ \Rightarrow }
\newcommand{\Iff}{\Leftrightarrow }
\newcommand{\hyp}{\text{－} }
%\newcommand{\op}{\mathrm{op} }
\newcommand{\id}{\mathrm{id} }
\newcommand{\dimU}[2]{{#1}\!\updownarrow^{#2}}
\require{color} % 緑色
\newcommand{\Keyword}[1]{ \textcolor{green}{\text{#1}} }%
\newcommand{\For}{\Keyword{For } }%
\newcommand{\Define}{\Keyword{Define } }%
\newcommand{\Subject}{\Keyword{Subject } }%
\newcommand{\Let}{\Keyword{Let } }
`$
内容：
圏の次元について
圏の次元については過去記事で何度か述べています。必ずしも過去記事をたどらなくてもよいようにすぐ後でまとめますが、一応過去記事をリストしておきます。箇条書きの入れ子の意味は、外側の記事から内側の記事が参照されている、ということです。
- 圏の次元調整 （$`\dimU{\cat{C}}{k}`$ という記法を導入）
- 圏の離散化、切り捨て、次元調整 （$`\cat{C}|_{\le k}`$ として、離散化操作と切り捨て操作を導入）
- 負次元の圏と(N, m, n)-圏 （(N, m, n)-圏の概念、この記事が初出）
- ファンタジー： (-1)次元の圏と論理 （「n-圏の(n + 1)-射」をここで書いている）
- 等式的推論と高次圏論 （「すべての圏は無限次元圏である」という考え方）
- n-圏の過剰高次射と反転原理 （「n-圏の(n + 1)-射」などが過剰高次射）
- 過剰高次射を認めるn-圏の便利さ （「n-圏の(n + 1)-射」などのキャンペーン）
- 任意の圏を等式により2-圏とみなす （2-射を使って「圏論に等式的論理をビルトインする」）
自然数に無限大を追加した集合を $`{\bf N}_\infty`$ とします。
$`\quad {\bf N}_{\infty} := {\bf N}\cup \{\infty\} = \{0, 1, 2, \cdots, \infty\}`$
圏（高次圏も含めて「圏」と呼ぶ）の次元を3種類考えます。
- N ： 圏の絶対次元〈absolute dimension〉 ： N ＜ k であるk-射は存在しない。k ≦ N であるk-射は存在する。ただし、N = ∞ なら k ＝ ∞ は除外する（∞-射は存在しない）。
- m ： 圏のホモトピー的次元〈homotopical dimension〉 ： m ＜ k であるk-射は（存在するならば）可逆である。
- n ： 圏の等式的次元〈equational dimension〉 ： m ＜ k であるk-射は（存在するならば）恒等射である。
この3つの次元には、0 ≦ m ≦ n ≦ N ≦ ∞ という制限があります。ホモトピー的次元、等式的次元と呼ぶのは：
- (m + 1)-射は、2つのm-射のあいだのホモトピーと考えられる。(m + 2)-射はホモトピーのあいだのホモトピー、以下同様。
- (n + 1)-射は、2つのn-射のあいだの等式と考えられる。(m + 2)-射は等式のあいだの等式、以下同様。
ホモトピー的次元と等式的次元は名目的です。名目的という意味は：
- 圏 $`\cat{C}`$ のホモトピー的次元が m のとき、$`\cat{C}`$ はそのままで、m ＜ m' である m' にホモトピー次元を変更してもよい（m' ≦ n ≦ N は守って）。
- 圏 $`\cat{C}`$ の等式的次元が n のとき、$`\cat{C}`$ はそのままで、n ＜ n' である n' に等式的次元を変更してもよい（m ≦ n' ≦ N は守って）。
ホモトピー的次元と等式的次元は、現状より上げるのは自由です。しかし、ホモトピー的次元／等式的次元を下げる場合は射を捨てる必要があるかもしれません。詳細は「圏の次元調整」を見てください。
名目的であったとしても、すべての圏にホモトピー的次元と等式的次元が決まっているものとします。つまり、実体としては同一の圏であっても、ホモトピー的次元／等式的次元を変更したものは違う圏とみなします。圏の等式的次元を調整〈adjust〉するオペレータが $`\dimU{(\hyp)}{\hyp}`$ です。場合により、次元調整で射が捨てられるかも知れません。
3つの次元を並べて (N, n, m)-圏 $`\cat{C}`$ という言い方をします。この記事では、n-圏は(∞, n, n)-圏のことだとします。任意の次元のk-射が存在しますが、n ＜ k のk-射は恒等射〈等式〉になります。
圏のサイズについて
グロタンディーク宇宙の系列（「最近の型理論： 宇宙・世界・銀河 もう少し」の前半参照）から、デフォルトの宇宙 $`U`$ と、$`U`$ の次の宇宙 $`U'`$ を取り出して考えます。$`U`$ の要素を小さい集合〈small set〉といいます。$`U'`$ の要素を大きい集合〈large set〉といいます。次は成立しています。
$`\quad U \in U'\\
\quad U \subset U'
`$
定義より、「小さい集合は大きい集合です」。自然言語としては奇妙なので、小さくない集合〈真に大きい集合〉だけを「大きい集合」と呼ぶ人もいます。
1-圏 $`\cat{C}`$ が、$`|\cat{C}|`$ も $`\mrm{Mor}(\cat{C})`$ も小さい集合のとき小さい1-圏〈small 1-category〉といいます。$`|\cat{C}|`$ も $`\mrm{Mor}(\cat{C})`$ も大きい集合のとき大きい1-圏〈large 1-category〉といいます。
小さい1-圏を対象とする2-圏（2-射は自然変換）を $`{\bf Cat}`$ と書き、大きい1-圏を対象とする2-圏を $`{\bf CAT}`$ と書きます。
大きい1-圏 $`\cat{C}`$ のすべてのホムセットが小さい集合のとき、局所小1-圏〈locally small 1-category〉といいます。一時的に（ずっと使うつもりはない記法として）、局所小1-圏を対象とする2-圏を $`{\bf LsCAT}`$ とします。次が成立します。
$`\quad {\bf Cat} \subset {\bf LsCAT} \subset {\bf CAT}\\
\quad {\bf Set} \not\in |{\bf Cat}|\\
\quad {\bf Set} \in |{\bf LsCAT}|
`$
モノイド厳密2-圏を使った豊穣圏
モノイド2-圏〈monoidal 2-category〉の一般論は難しいので、厳密2-圏にモノイド構造が載った構造 -- モノイド厳密2-圏だけを考えます。ここで想定している典型的モノイド厳密2-圏は次のものです。
- $`{\bf Cat}`$ にデカルト積を添えたモノイド厳密2-圏 $`({\bf Cat}, \times, {\bf I})`$
- $`({\bf Cat}, \times, {\bf I})`$ の充満部分2-圏である、亜群を対象とするモノイド2-圏 $`({\bf Grpd}, \times, {\bf I})`$
台2-圏を厳密2-圏にしても、モノイド2-圏の定義を書き下すのは面倒なので、ここでは省略します。なお、モノイド2-圏に対する最近の解説に以下の論文があります。
- Title: Monoidal 2-Categories: A Review
- Author: Fatimah Ahmadi
- Pages: 26p
- Submitted: 3 Nov 2020 (v1), 17 Nov 2020 (v2)
- URL: https://arxiv.org/abs/2011.02830
$`\cat{V}`$ をモノイド厳密2-圏〈monoidal strit 2-category〉とします。恒等2-射以外の2-射をすべて捨ててしまった $`\dimU{\cat{V}}{1}`$ はモノイド1-圏の構造を持ちます。ホム圏 $`\cat{V}(X, Y)`$ は、1-射を対象として2-射を射とする1-圏構造を持ちます。
モノイド厳密2-圏達の3-圏（3-射は変更〈modification〉）を $`{\bf MonStr2CAT}`$ 、モノイド1-圏達の2-圏（2-射はモノイド自然変換）を $`{\bf MonCAT}`$ とすると、前の段落で言ったことは：
$`\For \cat{V}\in |{\bf MonStr2CAT}|\\
\quad \dimU{\cat{V}}{1} \in |{\bf MonCAT}|\\
\quad \forall X, Y \in |\cat{V}|.\, \cat{V}(X, Y) \in |{\bf CAT}|
`$
$`\cat{V}`$ がモノイド1-圏〈monoidal 1-category〉のときも、1-射のあいだの等号を2-射（恒等2-射）としてモノイド厳密2-圏とみなせます。これは次のように書けます。
$`\For \cat{V}\in |{\bf MonCAT}|\\
\quad \dimU{\cat{V}}{2} \in |{\bf MonStr2CAT}|
`$
以下、$`\cat{V}`$ はモノイド厳密2-圏とします（モノイド1-圏から作ったモノイド厳密2-圏をもちろん含む）。これから、モノイド厳密2-圏 $`\cat{V}`$ を豊穣化ベース圏〈enriching category | base category〉とする豊穣圏を定義します。モノイド厳密2-圏を使っていることから、通常の豊穣圏を少し一般化することになります。
豊穣圏の対象の集合となる $`X \in |{\bf SET}|`$ は固定します。次のような写像を考えます。
$`\quad H : X \times X \to |\cat{V}| \In {\bf SET}\\
\quad \mrm{id} : X \to \mrm{Mor}(\cat{V}) \In {\bf SET}\\
\quad \mrm{comp} : X \times X \times X \to \mrm{Mor}(\cat{V}) \In {\bf SET}
`$
もう少し詳しく書くと：
$`\For a, b\in X\\
\quad H(a, b) \in |\cat{V}|\\
\For a \in X\\
\quad \mrm{id}_a : I \to H(a, a) \In \cat{V}\\
\For a, b, c\in X\\
\quad \mrm{comp}_{a, b, c} : H(a, b) \otimes H(b, c) \to H(a, c) \In \cat{V}
`$
ここで、$`I`$ は $`\cat{V}`$ のモノイド単位で、$`\otimes`$ は $`\cat{V}`$ のモノイド積です。
ここまでの定義は、通常のモノイド1-圏ベースの豊穣圏の定義と何も変わりません。2-圏の2-射を使うのは、圏の代数的法則〈公理〉の記述のときです。それは次節で述べます。
結合法則と単位法則
結合演算 $`\mrm{comp}`$ と恒等 $`\mrm{id}`$ に関する法則は結合法則と左右の単位法則です。それらを次のような形で書きます（対象の添字は省略）。
$`\quad \mrm{assoc} :: \mrm{assocLeft} \twoto \mrm{assocRight} \In \cat{V}\\
\quad \mrm{lunit} :: \mrm{lunitLeft} \twoto \mrm{lunitRight} \In \cat{V}\\
\quad \mrm{runit} :: \mrm{runitLeft} \twoto \mrm{runitRight} \In \cat{V}
`$
それぞれの法則の左辺・右辺は、$`\cat{V}`$ の1-射になりますが、それらは次のように定義します。
$`\For a, b, c, d\in X\\
\Let \mrm{assocLeft}_{a, b, c, d} := \\
\quad (\mrm{comp}_{a, b, c} \otimes \id_{H(c, d)} );
\mrm{comp}_{a, c, d} \\
\quad : (H(a, b)\otimes H(b, c))\otimes H(c, d) \to H(a, d) \In \cat{V}\\
\Let \mrm{assocRight}_{a, b, c, d} := \\
\quad \alpha_{H(a, b), H(b, c), H(c, d)} ;
(\id_{H(a, b)} \otimes \mrm{comp}_{b, c, d} );
\mrm{comp}_{a, b, d} \\
\quad : (H(a, b)\otimes H(b, c))\otimes H(c, d) \to H(a, d) \In \cat{V}\\
`$
$`\For a, b\in X\\
\Let \mrm{lunitLeft}_{a, b} := (\mrm{id}_a \otimes \id_{H(a, b)}) ; \mrm{comp}_{a, a, b} : I\otimes H(a, b) \to H(a, b) \In \cat{V}\\
\Let \mrm{lunitRight} := \lambda_{H(a, b)} : I\otimes H(a, b) \to H(a, b) \In \cat{V}\\
\:\\
\Let \mrm{runitLeft}_{a, b} := ( \id_{H(a, b)} \otimes \mrm{id}_b) ; \mrm{comp}_{a, b, b} : H(a, b) \otimes I \to H(a, b) \In \cat{V}\\
\Let \mrm{runitRight} := \rho_{H(a, b)} : H(a, b) \otimes I \to H(a, b) \In \cat{V}
`$
結合法則と左右の単位法則を与えるのは $`\cat{V}`$ の2-射です。これらの2-射は可逆だとします。可逆性を仮定せずにラックス法則〈lax law〉／反ラックス法則〈oplax law〉を考えることもありますが、今はやめときます。可逆な2-射で法則が与えられているとき、その法則をタイト法則〈tight law〉と呼ぶことにします。2-射が恒等2-射（1-射のあいだの等式）のときは特に厳密法則〈strict law〉です。
法則が厳密法則のときは、それ以上の制約はありませんが、厳密〈等式的〉とは限らないタイト法則では、法則を制約するメタ法則（高次な法則）が存在します。タイトな結合法則／単位法則に対するメタ法則といえば、マックレーンの五角形等式〈pentagon identity〉と三角形等式〈triangle identity〉だろうと予想ができます（経験則ですが）。
五角形等式と三角形等式は、$`\cat{V}`$ の3-射として与えられます。
$`\quad \mrm{Pentagon} ::: \mrm{PentagonLeft} \Rrightarrow \mrm{PentagonRight} \In \cat{V}\\
\quad \mrm{Triangle} ::: \mrm{TriangleLeft} \Rrightarrow \mrm{TriangleRight} \In \cat{V}
`$
2-圏である $`\cat{V}`$ の3-射とは2-射のあいだの等式なので、次のように書いても同じです。
$`\quad \mrm{Pentagon} ::: \mrm{PentagonLeft} = \mrm{PentagonRight} \In \cat{V}\\
\quad \mrm{Triangle} ::: \mrm{TriangleLeft} = \mrm{TriangleRight} \In \cat{V}
`$
五角形等式と三角形等式は、モノイド圏の五角形等式と三角形等式を参考にすれば書き下すことができます。法則〈2-射〉が厳密なときは、メタ法則〈3-射〉は不要です*1。
2-圏による豊穣圏
前節で定義した構造が$`\cat{V}`$-豊穣圏〈$`\cat{V}`$-enriched category〉です。結合法則と左右の単位法則〈2-射〉が厳密〈恒等2-射〉でないときは、通常の豊穣圏より一般化された概念になっています。$`\cat{V}`$-豊穣圏の構成素〈constituent〉をもう一度列挙しておきます。
- 集合 $`X`$
- 写像（対象＝0-射の族） $`H`$
- 1-射の族 $`\mrm{comp}`$
- 1-射の族 $`\mrm{id}`$
- 結合法則（2-射の族） $`\mrm{assoc}`$
- 左単位法則（2-射の族） $`\mrm{lunit}`$
- 右単位法則（2-射の族） $`\mrm{runit}`$
- 五角形等式（3-射の族） $`\mrm{Pentagon}`$
- 三角形等式（3-射の族） $`\mrm{Triangle}`$
$`\cat{X}, \cat{Y}`$ が2つの$`\cat{V}`$-豊穣圏のとき、そのあいだの$`\cat{V}`$-豊穣関手を定義する必要があります。通常の豊穣関手とモノイド関手の定義を参考にすれば定義できそうです。さらに、2つの$`\cat{V}`$-豊穣関手のあいだの$`\cat{V}`$-豊穣自然変換も必要です。
首尾よく$`\cat{V}`$-豊穣関手と$`\cat{V}`$-自然変換が定義できれば、$`\cat{V}`$-豊穣圏を対象とする2-圏を構成できます。この2-圏を（構成できたとして） $`\cat{V}\text{-}{\bf CAT}`$ と書きます。サイズが小さいときは $`\cat{V}\text{-}{\bf Cat}`$ です。
確認すべきことがたくさんあって、$`\cat{V}\text{-}{\bf CAT}`$ の構成には手間がかかりそうですが、「たぶんできる」で先に進みます。
概圏の再定義
この記事の目的は概圏の再定義です。概圏を定義するということは、通常の1-圏の定義に次の情報を追加することです。
- サイズの情報： 対象の集合、射の集合のサイズだけではなくて、ホムセットのサイズも明示する。
- 緩さ〈ゆるさ〉の情報： 必ずしも厳密な法則に限定せずに、緩い法則も認める。どのように緩いかを明示する。
前節の $`\cat{V}\text{-}{\bf CAT}`$ の $`\cat{V}`$ を変えることによって、これらの情報を明示できます。
まず、局所小圏達の2-圏は次のように書けます。
$`\quad {\bf LsCAT} := {\bf Set}\text{-}{\bf CAT}`$
ここで、$`{\bf Set} = ({\bf Set}, \times, {\bf 1})`$ という記号の乱用をしていて、$`{\bf Set}`$ は集合の直積をモノイド積とするモノイド圏としての集合圏です。
ホムシング〈hom-thing〉が単なる集合ではなくて小さな亜群になっている場合、亜群豊穣圏は次のように書けます。
$`\quad {\bf Grpd}\text{-}{\bf CAT}`$
ここで、$`{\bf Grpd}`$ は、モノイド厳密2-圏 $`{\bf Cat} = ({\bf Cat}, \times, {\bf I})`$ の充満部分厳密2-圏としての亜群のモノイド厳密2-圏です。この場合 $`{\bf Grpd}`$ に非自明な〈恒等以外の〉2-射があるので、法則が厳密とは限りません。
亜集合〈setoid | セットイド〉は亜群の特別なもの（やせた亜群）と考えられるので、亜集合の全体はモノイド2-圏を形成します。よって、次のような亜集合豊穣圏を考えることができます。
$`\quad {\bf Setoid}\text{-}{\bf CAT}`$
ここまで、ホムシングは小さい構造（台集合が小さい構造）としてきましたが、大きなホムシングも許すとしましょう。すると、おおきな亜集合で豊穣化された圏を考えることができて、これが概圏になります。
$`\quad {\bf AlmostCAT} := {\bf SETOID}\text{-}{\bf CAT}`$
つまり、概圏は$`\cat{V}`$-豊穣圏の特別な場合として定義できます。
モノイド厳密2-圏 $`\cat{V}`$ による豊穣圏の議論は組み合わせ的に煩雑ですが、概圏をうまいこと吸収してくれるので、$`\cat{V}`$-豊穣圏は有用なものだと思います*2。
*1:法則が非厳密タイトな場合、メタ法則の使い所がどこなのか？ 僕はイマイチ分かってません。
*2:「2-豊饒圏」「2-豊饒圏と繰り返し豊饒圏」で、通常の豊穣圏の一般化をしてますが、今回の話とはちょっと別です。統合できる可能性もありますが。
