セクション空間関手がとても便利な理由 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

多様体M上のベクトルバンドルEに対して、そのセクション空間を対応させる関手 E $\mapsto$ Γ_M(E) がメチャクチャに便利です。なんで、こんなにも便利なんだろう？と考えてみました。

マクロレベルで（多様体の圏、ベクトルバンドルの圏、可換環の圏、加群の圏、それら全体として）見ると：

Γは、2つのインデックス付き圏のあいだのインデックス付き関手になっている。

ミクロレベルで（単一の多様体Mに注目して）見ると：

Γ_Mは、2つのコンパクト閉圏のあいだのコンパクト閉関手である。
Γ_Mは、自明スカラーバンドルで表現される、表現可能共変関手である。

これらの事実を、取り急ぎ記しておきます。

内容：

インデックス付き圏とインデックス付き関手
セクション空間関手の場合
コンパクト閉構造
セクション空間関手の表現対象

インデックス付き圏とインデックス付き関手

インデックス付き圏〈indexed category〉は、適当な圏 I から、圏の圏 CAT への反変関手です。I をインデキシング圏〈indexing category〉と呼びますが、ここではベース圏〈base category〉という言葉を使います。

インデックス付き圏を“圏の族”のように考えて、(C[i])_i∈I と書くことがあります。が、僕はこの書き方が好きじゃないので C:I^op→CAT とします。ただし、C だけだと単一の圏と区別がつかないので、C[-] と書いてインデックス付き圏であることを明示しましょう。

C[-], D[-]:I^op→CAT を、同一のベース圏 I 上の2つのインデックス付き圏だとして、反変関手とみた C[-], D[-] のあいだの自然変換を、インデックス付き圏のあいだのイントラ・インデックス付き関手〈intra-indexed functor〉と呼びましょう。「イントラ」を付けたのは、同一のベース圏で考えるからです。

イントラ・インデックス付き関手 Ψ:C[-]→D[-] の実体は自然変換 Ψ::C[-]⇒D[-]:I^op→CAT なので、次の自然性の条件を満たします。

$\require{AMScd} \newcommand{\cat}[1]{{\mathcal {#1}}} \newcommand{\hyph}{\mbox{-}} \mbox{For}\: \phi:i \to j \:\:\mbox{in}\: \cat{I} \\ \begin{CD} \cat{C}[i] @>{\Psi_i}>> \cat{D}[i] \\ @A{\cat{C}[\phi]}AA @AA{\cat{D}[\phi]}A \\ \cat{C}[j] @>{\Psi_j}>> \cat{D}[j] \end{CD}$

E[-] が別（かも知れない）のベース圏 J 上のインデックス付き圏だとします。C[-] から E[-] へのインデックス付き関手〈indexed functor〉とは、共変関手 Φ:I→J と、イントラ・インデックス付き関手 Γ:C[-]→E[Φ(-)] のベア (Φ, Γ) のことです。

インデックス付き関手 (Φ, Γ) のイントラ部分 Γ の実体も当然に自然変換ですから、次の自然性の条件を満たします。

$\mbox{For}\: \phi:i \to j \:\:\mbox{in}\: \cat{I} \\ \begin{CD} \cat{C}[i] @>{\Gamma_i}>> \cat{E}[\Phi(i)] \\ @A{\cat{C}[\phi]}AA @AA{\cat{E}[\Phi(\phi)]}A \\ \cat{C}[j] @>{\Gamma_j}>> \cat{E}[\Phi(j)] \end{CD}$

ベース圏のあいだの関手 Φ:I→J を、インデックス付き関手のベース関手〈base functor〉と呼びます。

E[-] が反変関手ではなくて共変関手 E[-]:J→CAT のときは余インデックス付き圏〈coindexed category〉と呼びます。E[-] が余インデックス付き圏でも、ベース関手Φが反変関手なら辻褄があって、C[-] から E[-] へのインデックス付き関手が定義できます。この場合は、反変ベース関手を持つインデックス付き関手〈indexed functor with contravariant base functor〉と呼ぶことにします。

セクション空間関手の場合

前節のインデックス付き関手の設定で、次のように置きます。反変ベース関手を持つインデックス付き関手の場合です。

ベース圏 I = Man = (なめらか多様体の圏)
ベース圏 J = CRng = (可換環の圏)
インデックス付き圏 C[-] = VectBdl[-] = (ベクトルバンドルの圏)
余インデックス付き圏 E[-] = Mod[-] = (加群の圏)
インデックス付き関手の反変ベース関手 Φ(-) = C^∞(-) = (多様体上の関数の可換環)
インデックス付き関手のイントラ部分（のM-成分） (Γ_M(-):VectBdl[M]→Mod[Φ(M)]) = (M上のベクトルバンドルのセクション空間)

次の自然性の条件を満たします。なお、可換環の射 f:A→B に対する Mod[f] はテンソル積による係数域の拡大（共変的なベース環取り替え）です。

$\newcommand{Cat}[1]{{\bf #1}} \mbox{For}\: \phi:M \to N \:\:\mbox{in}\: \Cat{Man} \\ \begin{CD} \Cat{VectBdl}[M] @>{\Gamma_M}>> \Cat{Mod}[\Phi(M)] \\ @A{\Cat{VectBdl}[\phi]}AA @AA{\Cat{Mod}[\Phi(\phi)]}A \\ \Cat{VectBdl}[N] @>{\Gamma_N}>> \Cat{Mod}[\Phi(N)] \end{CD}$

上の図式で使った記法は首尾一貫してますが、実際に使われる記法は少し異なっています。例えば：

ベクトルバンドルの引き戻しを φ^* と書く。
関数の引き戻しも φ^* と書く。
R-加群の圏を R-Mod と書く。
可換環のあいだの写像 f による加群の前送り（係数域の拡大）を f_* と書く。

すると、図式は次のようになります。

$\mbox{For}\: \phi:M \to N \:\:\mbox{in}\: \Cat{Man} \\ \begin{CD} \Cat{VectBdl}[M] @>{\Gamma_M}>> \Phi(M)\hyph\Cat{Mod} \\ @A{\phi^\ast}AA @AA{\Cat{(\phi^\ast)_\ast}}A \\ \Cat{VectBdl}[N] @>{\Gamma_N}>> \Phi(N)\hyph\Cat{Mod} \end{CD}$

しかし、何でもかんでも上付き・下付きのアスタリスクで書くのは混乱のもと（「微分幾何で上付き・下付きアスタリスクを使い過ぎるのはよくない」参照）なので、ほどほどにしたほうがいいです。

コンパクト閉構造

対称モノイド圏 C = (C, $\otimes$ , 1, α, λ, ρ, σ) がコンパクト閉構造〈compact closed structure〉を持つとは、次のような追加の構成素を備え、追加の法則を満たしていることです。

双対性 ((-)^*, η, ε) 。(-)^* は、対象にその双対対象を対応させる写像で、ηは双対の単位、εは双対の余単位〈エバル〉です。
内部ホム hom(-, -) を持つが、その内部ホムは双対とモノイド積を使って hom(A, B) = B $\otimes$ A^* と書ける。

コンパクト閉構造を持つ対称モノイド圏を、対称コンパクト閉圏〈symmetric compact closed category〉と呼びます。

前節で登場した VectBdl[M] （Mは多様体）も Mod[A] （Aは可換環）も対称コンパクト閉圏になります。めぼしい構成素を並べて表にすれば：

一般論	VectBdl[M]	Mod[A]
$\otimes$	$\otimes_M$	$\otimes_A$
1	R_M	A
(-)^*	$(\hyph)^{\underset{M}{\ast}}$	$(\hyph)^{\underset{A}{\ast}}$
hom(-, -)	hom_M(-, -)	hom_A(-, -)

インデックス付き関手 (Φ, Γ) のM-成分 Γ_M:VectBdl[M]→Mod[Φ(M)] は、コンパクト閉圏のあいだの関手であり、コンパクト閉構造を保ちます。

セクション空間関手の表現対象

圏 VectBdl[M] のホムセット VectBdl[M](E, F) は、Φ(M)-加群とみなせます。ファイバーごとに足し算とスカラー倍を定義すればいいのです。そうすると、圏 VectBdl[M] は、対象モノイド圏 Mod[Φ(M)] = (Mod[Φ(M)], $\otimes$ _Φ(M), Φ(M), α, λ, ρ, σ) で豊饒化された圏になります。

このセッティングのもとでは、関手 Γ_M:VectBdl[M]→Mod[Φ(M)] が表現可能か？という問が意味を持ちます。これは、適当なベクトルバンドル S により、Γ_M(-) $\cong$ VectBdl[M](S, -) と書けるだろうか？という問です。