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参照用 記事

反ラックス・モノイド余モナドの余クライスリ圏 その1

ここ何回かの記事でやりたいことは、「準マルコフ圏を基礎圏とする準マルコフ余モナドがあれば、その余クライスリ圏は再び準マルコフ圏の構造を持つ」ことを示すことです。

が、一度にやろうとすると長くなるので、ここでは、(小さい)モノイド圏を対象として、反ラックス・モノイド関手と反ラックス・モノイド自然変換を1-射/2-射とする厳密2-圏 {\bf MonCat}^\mathrm{oplax} のなかの余モナドの余クライスリ圏について考えることにします。
\newcommand{\I}{ \mathrm{I} }
\newcommand{\id}{\mathrm{id} }
\newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} }
\newcommand{\In}{ \text{ in } }
\newcommand{\oplax}{\mathrm{oplax} }
\newcommand{\hyp}{\text{-} }
\newcommand{\Id}{\mathrm{Id} }

\newcommand{\coM}{\boldsymbol{d} } % comultiplication
\newcommand{\coU}{\boldsymbol{e} } % counit

\newcommand{\u}[1]{ \underline{#1} }
%
\require{color}
\newcommand{\Keyword}[1]{ \textcolor{green}{\text{#1}} }%
\newcommand{\For}{\Keyword{For }  }%
\newcommand{\Declare}{\Keyword{Declare }  }%
\newcommand{\Define}{\Keyword{Define }  }%
\newcommand{\Holds}{\Keyword{Holds }  }%

内容:

記号の約束

{\bf MonCat}^\oplax は、小さいモノイド圏を対象とする厳密2-圏です。1-射/2-射は反ラックス・モノイド関手と反ラックス・モノイド自然変換です。\cat{C} を(小さい)モノイド圏、つまり厳密2-圏 {\bf MonCat}^\oplax の対象だとします。そして、F\cat{C} 上の余モナドとします。このことを、記号の乱用により次のように書きます。

\quad F = (F, \coM, \coU)\\
\quad F = (F, \delta, \varepsilon)

記号の乱用を使わずに書くなら次のようになります。

\quad F \\= 
(\underline{F}, \coM^F, \coU^F)/\cat{C} \\=
\mathrm{Comnd}(\underline{F}, \coM^F, \coU^F)/\cat{C}\\
\:\\
\quad \underline{F} \\= 
(\underline{\underline{F}}, \delta^\underline{F}, \varepsilon^\underline{F}) \\=
\mathrm{OplaxMonFun}(\underline{\underline{F}}, \delta^\underline{F}, \varepsilon^\underline{F})

ここで:

  • \underline{F} は、余モナド F の台反ラックス・モノイド関手
  • \underline{\underline{F}} は、反ラックス・モノイド関手 \underline{F} の台関手

それぞれ次のように読み下します。

  • F は、\cat{C} 上の、構成素 \underline{F}, \coM^F, \coU^F からなる余モナド
  • \underline{F} は、構成素 \underline{\underline{F}}, \delta^\underline{F}, \varepsilon^\underline{F} からなる反ラックス・モノイド関手

以上のように書けば紛れが少ないですが、実際には記号の乱用も遠慮なく使うので注意してください。

モノイド圏 \cat{C} とその上の余モナド F に対して、余クライスリ圏を {_F\cat{C}} と書きます。余クライスリ圏 {_F\cat{C}} における諸々の演算記号にはすべてハットを付けることにします。

  1. \hat{;} : 余クライスリ圏の結合=余クライスリ結合
  2. \hat{\id} : 余クライスリ圏の恒等射=余クライスリ恒等
  3. \hat{\otimes} : 余クライスリ圏のモノイド積=余クライスリ・モノイド積
  4. \hat{\I} : 余クライスリ圏のモノイド単位対象=余クライスリ単位
  5. \hat{\alpha}, \hat{\lambda}, \hat{\rho} : 余クライスリ圏のモノイド構造射(結合律子、左右の単位律子)

モノイド圏 \cat{C} の余クライスリ射({_F\cat{C}} の射)の余拡張〈coextension〉{^\#(\hyp)} は次のように定義します。

\For f:F(A) \to B \In \cat{C} \:\text{ i.e. }f:A \to B \In {_F\cat{C}}\\
\Define {^\# f} := \coM_A ; F(f) : F(A) \to F(B) \In \cat{C}

これはモナドにおける“クライスリ射の拡張”の双対概念です。

圏としての余クライスリ圏

余クライスリ圏 {_F\cat{C}} の対象類とホムセットは次のように定義します。


\Define |{_F\cat{C}}| := |\cat{C}|\\
\:\\
\For A, B \in |{_F\cat{C}}| = |\cat{C}|\\
\Define {_F\cat{C}}(A, B) := \cat{C}(F(A), B)

余クライスリ圏の結合〈余クライスリ結合〉と恒等射〈余クライスリ恒等〉は次のようです。


\For f:A \to B, g:B \to C \In {_F\cat{C}}\\
\Define f\hat{;}g := ({^\# f}); g : A \to C \In {_F\cat{C}}\\
\:\\
\For A \in |{_F\cat{C}}|\\
\Define \hat{\id}_A := \coU_A : A \to A  \In {_F\cat{C}}

余クライスリ結合を余拡張を使わずに直接定義すれば:


\For f:A \to B, g:B \to C \In {_F\cat{C}}\\
\Define f\hat{;}g := \coM_A ; F(f); g

(|{_F\cat{C}}|, {_F\cat{C}}(\hyp, \hyp), \hat{;}, \hat{\id}) が圏になることは容易に確認できます。余モナドの余モナド法則が、余クライスリ圏が実際に圏になることを保証しています。モナドに対するクライスリ圏の場合と同じです。

モノイド圏としての余クライスリ圏

次に、余クライスリ圏 {_F\cat{C}} にモノイド構造を入れましょう。対象に対するモノイド積とモノイド単位対象は次のように定義します。

\For A, B\in |{_F\cat{C}}| = |\cat{C}|\\
\Define A\hat{\otimes}B := A\otimes B\\
\:\\
\Define \hat{\I} := \I

射に対するモノイド積は次のようです。

\For f:A \to  A', g:B \to B' \In {_F\cat{C}}\\
\Define f \hat{\otimes } g := \delta_{A, B} ; (f\otimes g)
  : A\hat{\otimes}B \to A'\hat{\otimes}B' \In {_F\cat{C}}

\hat{\alpha} の成分は、次の射達の \cat{C} での結合で定義します。

\require{AMScd}
\For A, B, C \in |{_F\cat{C}}| = |\cat{C}|\\
\:\\
\begin{CD}
F( (A \otimes B) \otimes C) \\
@VV{\delta_{A\otimes B, C}}V \\
F( A \otimes B) \otimes F(C) \\
@VV{\delta_{A, C}\otimes \id_{F(C)}}V \\
(F( A) \otimes F(B)) \otimes F(C) \\
@VV{(\coU_A \otimes \coU_B) \otimes \coU_C}V\\
( A \otimes B) \otimes C \\
@VV{\alpha_{A, B, C}}V\\
 A \otimes (B \otimes C)
\end{CD}\\
\text{in }\cat{C}

\hat{\lambda}, \hat{\rho} の成分は、次の射達の \cat{C} での結合で定義します。


\For A \in |{_F\cat{C}}| = |\cat{C}|\\
\:\\
\begin{CD}
F(\I \otimes A)\\
@VV{\delta_{\I, A}}V \\
F(\I) \otimes F(A)\\
@VV{\coU_\I \otimes \coU_A}V\\
\I \otimes A\\
@VV{\lambda_A}V\\
A
\end{CD}
\\
\text{in }\cat{C}


\For A \in |{_F\cat{C}}| = |\cat{C}|\\
\:\\
\begin{CD}
F(A \otimes \I)\\
@VV{\delta_{A, \I}}V \\
F(A) \otimes F(\I)\\
@VV{\coU_A \otimes \coU_\I}V\\
A  \otimes \I\\
@VV{\rho_A}V\\
A
\end{CD}\\
\text{in }\cat{C}

これで、({_F\cat{C}}, \hat{\otimes}, \hat{\I}, \hat{\alpha}, \hat{\lambda}, \hat{\rho}) は定義できました。しかし、これらの構成素達がモノイド圏になるには次の条件が必要です。

  1. (\hat{\otimes}):{_F\cat{C}}\times {_F\cat{C}} \to {_F\cat{C}} が、双関手になっている。
  2. \hat{\alpha},\hat{\lambda}, \hat{\rho} が、マックレーンの五角形/三角形法則(モノイド圏の一貫性制約)を満たす。

双関手性は次節以降で示します。マックレーンの五角形/三角形法則についてはこの記事では積み残しになってしまいました。次の記事ですね。

モノイド積の交替律

モノイド積の双関手性(の一部)は、次の交替律〈interchange law〉の形で述べられます。

\For f:A \to A', f':A' \to A'' \In {_F\cat{C}}\\
\For g:B \to B', g':B' \to B'' \In {_F\cat{C}}\\
\Holds (f \hat{\otimes} g)\hat{;} (f' \hat{\otimes} g') =
       (f\hat{;}f') \hat{\otimes} (g\hat{;}g')

さて、これから上記の交替律を証明します。「準マルコフ余モナドの計算と記述の方法」で述べたように、ストリング図/ストライプ図のよる計算を、2次元的テキスト表示で(かなり苦しいのだけど)なんとか伝えようと思います。計算はモノイド圏 \cat{C} のなかで行います。

等式の左辺 (f \hat{\otimes} g)\hat{;} (f' \hat{\otimes} g') は、\cat{C} のなかで次のように表示できます。これは、\hat{\otimes},\; \hat{;}定義を使って展開しています。


\begin{array}{c}
\begin{bmatrix}
F(A\otimes B)\\
\coM_{A\otimes B}\\
F^2(A\otimes B)
\end{bmatrix}\\

F{
  \begin{bmatrix}
    &F(A \otimes B)& \\
        &\delta_{A,B}& \\
    F(A) &|& F(B)\\
    f    &|&   g\\
    A'   &|&   B'\\
  \end{bmatrix}
 }\\

\begin{bmatrix}
  &F(A'\otimes B')& \\
      &\delta_{A',B'}& \\
 F(A') &|& F(B')\\
 f'    &|& g'\\
 A''   &|& B''\\
\end{bmatrix}
\end{array}

縦方向の繋ぎ目部分を短縮します。書き方を短くしているだけ。


\begin{array}{c}
\begin{bmatrix}
F(A\otimes B)\\
\coM_{A\otimes B}\\
\end{bmatrix}\\

F{
  \begin{bmatrix}
    &F(A \otimes B)& \\
        &\delta_{A,B}& \\
    F(A) &|& F(B)\\
    f    &|&   g\\
    A'   &|&   B'\\
  \end{bmatrix}
 }\\

\begin{bmatrix}
      &\delta_{A',B'}& \\
 F(A') &|& F(B')\\
 f'    &|& g'\\
 A''   &|& B''\\
\end{bmatrix}
\end{array}

ひとつの行列にまとめます。


\begin{bmatrix}
    &F(A\otimes B)& \\
    &\coM_{A\otimes B}&\\

    &F\Big( F(A \otimes B) \Big) & \\
    &F\Big(  \delta_{A,B} \Big) & \\
    &F\Big( F(A) \mid F(B) \Big)& \\
    &F\Big( f \mid   g \Big)&\\
    &F\Big(A' \mid  B' \Big)&\\
    &\delta_{A',B'}& \\
    F(A') &|& F(B')\\

 f'    &|& g'\\
 A''   &|& B''\\
\end{bmatrix}

ここまでは、テキスト表示の書き方・レイアウトを変えているだけで何も行ってません。

\delta自然性から\delta_{A', B'} を“上に移動”します。f,\, g が“下に移動”したとも言えます。


\begin{bmatrix}
    &F(A\otimes B)& \\
    &\coM_{A\otimes B}&\\

    &F\Big( F(A \otimes B) \Big) & \\
    &F\Big(  \delta_{A,B} \Big) & \\
    &F\Big( F(A) \mid F(B) \Big)& \\
      &\delta_{F(A),F(B)}& \\
    F^2(A)    &|& F^2(B) \\
    F(f)    &|& F(g) \\
    F(A')   &|& F(B') \\

      f'    &|& g'\\
      A''   &|& B''\\
\end{bmatrix}

縦方向に3つの部分に分けます(これも書き方・レイアウト変更)。


\begin{array}{c}
\begin{bmatrix}
    &F(A\otimes B)& \\
    &\coM_{A\otimes B}&\\
\end{bmatrix}\\

\begin{bmatrix}
    &F^2\Big( A \otimes B\Big) & \\
    &F\Big(  \delta_{A,B} \Big) & \\
    &F\Big( F(A) \mid F(B) \Big)& \\
      &\delta_{F(A),F(B)}& \\
    F^2(A)    &|& F^2(B) \\
\end{bmatrix}\\

\begin{bmatrix}
    F(f)    &|& F(g) \\
    F(A')   &|& F(B') \\

      f'    &|& g'\\
      A''   &|& B''\\
\end{bmatrix}
\end{array}

まんなかの部分は、反ラックス・モノイド関手の二乗の定義から {\delta^2}_{A, B}:F^2(A\otimes B) \to F^2(A)\otimes F^2(B) なので、


\begin{bmatrix}
    &F(A\otimes B)& \\
    &\coM_{A\otimes B}&\\

    &F^2( A \otimes B) & \\
      &{\delta^2}_{A,B}& \\
    F^2(A)    &|& F^2(B) \\

    F(f)    &|& F(g) \\
    F(A')   &|& F(B') \\

      f'    &|& g'\\
      A''   &|& B''\\
\end{bmatrix}

\coM\delta^2協調するので\coM を“下げて左右に分け”ます。\delta^2 は入れ替わりに上に“上がり”ます。


\begin{bmatrix}
    &F(A\otimes B)& \\
     &{\delta}_{A,B}& \\
  F(A)    &|&   F(B) \\
 \coM_{A} &|& \coM_{ B}\\
  F^2(A)  &|& F^2(B)\\

    F(f)    &|& F(g) \\
    F(A')   &|& F(B') \\

      f'    &|& g'\\
      A''   &|& B''\\
\end{bmatrix}

余クライスリ結合 \hat{;}定義により


\begin{bmatrix}
    &F(A\otimes B)& \\
     &{\delta}_{A,B}& \\
  F(A)    &|&   F(B) \\
  f\hat{;}f' &|& g\hat{;}g' \\
      A''   &|& B''\\
\end{bmatrix}

これは、\hat{\otimes}定義から (f\hat{;}f') \hat{\otimes} (g\hat{;}g') に他ならないので交替律が証明できました。

モノイド積と恒等射

モノイド積の双関手性の残りの部分は、次の法則です*1


\For A, B\in |{_F\cat{C}}|\\
\Holds \hat{\id}_A \hat{\otimes} \hat{\id}_B = \hat{\id}_{A \hat{\otimes} B}

これは、余モナド F = (F, \coM, \coU) の余単位 \coU が反ラックス・モノイド関手の余乗法 \delta と協調することを言っているので、特に証明すべきことはありません。が、記号の乱用をしていると分かりにくい事実なので、説明を付け加えます。

モナド一時的に太字で \boldsymbol{F} と書くことにして、\boldsymbol{F} = (F, \coM, \coU) とします。F は台反ラックス・モノイド関手ですが、これは次のように書きます。

\quad F = (\underline{F}, \delta^F, \varepsilon^F)

こう書けば、\boldsymbol{F}, F, \underline{F} が完全に区別できます。ただし、冒頭に出した書き方(アンダーラインを2本引く)とは違うので注意してください。

前節で出てきた反ラックス・モノイド関手の二乗 F^2 = (F^2, \delta^2, \varepsilon^2) は次のように書けます。

\quad F^2 = (\underline{F}^2, \delta^{F^2}, \varepsilon^{F^2})

モノイド圏 \cat{C} の恒等関手を反ラックス・モノイド関手とみなしたものを \Id = \Id_{\cat{C}} と書くことにします。

\quad \Id = (\underline{\Id}, \delta^\Id, \varepsilon^\Id)

\delta^\Id, \varepsilon^\Id  の実体は恒等関手の恒等自然変換です。

モナド \boldsymbol{F} の余単位は次の自然変換です。

\quad \coU: \underline{F} \Rightarrow \underline{\Id} :\cat{C} \to \cat{C}
 \In {\bf Cat}

その成分は:


\quad \coU_{A\otimes B}: \underline{F}(A\otimes B) \to \underline{\Id}(A\otimes B) \In \cat{C} \\
\quad \coU_{A}: \underline{F}(A) \to \underline{\Id}(A) \In \cat{C} \\
\quad \coU_{B}: \underline{F}(B) \to \underline{\Id}(B) \In \cat{C}

一方、反ラックス・モノイド関手としての F,\;\Id の余乗法の成分は次のように書けます。


\quad {\delta^F}_{A, B}: \underline{F}(A \otimes B) \to \underline{F}(A)\otimes \underline{F}(B) \In \cat{C}\\
\quad {\delta^\Id}_{A, B}: \underline{\Id}(A \otimes B) \to \underline{\Id}(A)\otimes \underline{\Id}(B) \In \cat{C}

モナドの余単位 \coU が反ラックス・モノイド関手の余乗法と協調するとは次の図式が可換になることです。


\forall A, B \in |\cat{C}|\\
\begin{CD}
\u{F}(A\otimes B)     @>{\coU_{A\otimes B} }>>       \u{\Id}(A\otimes B)\\
@V{ {\delta^F}_{A, B} }VV                            @VV{ {\delta^\Id}_{A, B} }V\\
\u{F}(A)\otimes \u{F}(B) @>{\coU_A \otimes \coU_B}>> \u{\Id}(A)\otimes \u{\Id}(B)
\end{CD}\\
\text{commutative in }\cat{C}

行列形式記法の等式で書くならば:


\begin{bmatrix}
 &\u{F}(A \otimes B)& \\
   & \delta^F & \\
\u{F}(A)   &|& \u{F}(B) \\
\coU_A     &|& \coU_B \\
\u{\Id}(A) &|& \u{\Id}(B) \\
\end{bmatrix}
   =
\begin{bmatrix}
 & \u{F}(A \otimes B)& \\
  &\coU_{A\otimes B}& \\
 & \u{\Id}(A \otimes B) & \\
     &\delta^\Id& \\
 \u{\Id}(A) &|& \u{\Id}(B)\\
\end{bmatrix}

\Id を取り外すと:


\begin{bmatrix}
 &\u{F}(A \otimes B)& \\
   & \delta^F & \\
\u{F}(A)   &|& \u{F}(B) \\
\coU_A     &|& \coU_B \\
         A &|& B \\
\end{bmatrix}
   =
\begin{bmatrix}
 & \u{F}(A \otimes B)& \\
  &\coU_{A\otimes B}& \\
   & A \otimes B & \\
     &\delta^\Id& \\
     A &|& B\\
\end{bmatrix}

これは、\hat{\id}_A \hat{\otimes} \hat{\id}_B = \hat{\id}_{A \hat{\otimes} B} を意味します。

残り

以上で、余モナド F = (F, \coM, \coU) から定義したモノイド積 \hat{\otimes} が双関手になることは示せました。しかし、\hat{\alpha}, \hat{\lambda}, \hat{\rho} に関する五角形/三角形法則が残っています。五角形/三角形法則を示してはじめて ({_F \cat{C}}, \hat{\otimes}, \hat{\I}, \hat{\alpha}, \hat{\lambda}, \hat{\rho}) がモノイド圏であると言えます。

*1:これも交替律〈interchange law〉と呼ぶこともあります。