準マルコフ圏からなる2-圏 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

昨日、ドクトリンの話をしたので、ドクトリン概念（ただし安直な定義）を使って、準マルコフ圏について説明します。すべての準マルコフ圏を集めた類（大きいかも知れない集合）に2-圏*1の構造を入れます。

[追記 date="翌日"]準マルコフ圏の定義で、対称 $\sigma$ を入れ忘れていたところがあったので追加しました。また、反ラックス・モノイド関手に関する記述が不適切なところがあったので、そこには追記でコメントして修正しました。[/追記] $\newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} } \newcommand{\I}{ \mathrm{I} } \newcommand{\MonCat}{ \mathrm{MonCat} } \newcommand{\MarkovCat}{ \mathrm{MrakovCat} } \newcommand{\In}{ \text{ in } } \newcommand{\oplax}{\text{oplax} } % \require{color} \newcommand{\Keyword}[1]{ \textcolor{green}{\text{#1}} }% \newcommand{\For}{\Keyword{For } }% \newcommand{\Holds}{\Keyword{Holds } }%$

内容：

絵図は描かないので…
準マルコフ圏
反ラックス対称モノイド関手
準マルコフ関手
何に使う？

シリーズ目次（リンク集）：

関連する記事：

絵図は描かないので…

この記事の話はストリング図／ストライプ図で記述し考えるのが便利です。つうか、ストリング図／ストライプ図なしで理解するのはすごく辛いと思います。

だがしかし、僕がストリング図／ストライプ図を描く気力がないので、MathJax で容易に書けるテキスト数式で記述します。毎度愚痴っていることですが、ストリング図／ストライプ図を手軽に描けるツール／環境がないのがホーントに困ってる。ハァー（ため息）。

ストリング図／ストライプ図を含む絵図の描き方については、以下の過去記事を参照してください。これらの過去記事では、手描きの絵を添えています。

ストリング図／ストライプ図を使った説明の事例は：

準マルコフ圏

モノイド圏を、記号の乱用を使って次のように書きます。

$\quad \cat{C} = (\cat{C}, \otimes, \I, \alpha, \lambda, \rho)$

左辺の $\cat{C}$ はモノイド圏で、右辺の $\cat{C}$ はモノイド圏の台圏〈underlying category〉です。また、この書き方はモノイド圏の構成素〈constituent | stuff〉を列挙しているだけで、モノイド圏の法則（マックレーンの五角形等式など）は省略しています。

記号の乱用や省略に伴う混乱を少なくするために、必要があれば次のような書き方も使うことにします。

$\quad \cat{C} = \MonCat(\cat{C}, \otimes, \I, \alpha, \lambda, \rho)$

記号の乱用をしないならば：

$\quad \cat{C} = \MonCat(\underline{\cat{C}}, \otimes_{\cat{C}}, \I_{\cat{C}}, \alpha^{\cat{C}}, \lambda^{\cat{C}}, \rho^{\cat{C}})$

$\alpha, \lambda, \rho$ に付いている $\cat{C}$ が上付きなのは、下付きが別な用途で使われるからです。この書き方は次のように読みます。

構成素 $\underline{\cat{C}}, \otimes_{\cat{C}}, \I_{\cat{C}}, \alpha^{\cat{C}}, \lambda^{\cat{C}}, \rho^{\cat{C}}$ からなるモノイド圏

さて、 $\cat{C}$ がマルコフ圏であることは同様に次のように書けます。

$\quad \cat{C} = \MarkovCat(\cat{C}, \sigma, \Delta, !)$

今度は、右辺の $\cat{C}$ は台モノイド圏〈underlying monoidal category〉です。 $\sigma$ は対称射〈symmetry {morphism}?〉の族、 $\Delta$ は対角射〈{diagonal | copy} {morphism}?〉の族、 $!$ は破棄射〈discarder | {discarding | delete} {morphism}?〉の族です。

右辺の $\cat{C}$ を単なる圏だとするなら、次のような書き方になります。

$\quad \cat{C} = \MarkovCat(\cat{C}, \otimes, \I, \alpha, \lambda, \rho, \sigma, \Delta, !)$

マルコフ圏では、半デカルト性が仮定されています。モノイド圏が半デカルト〈semi Cartesian〉だとは次が成立することです。

単位対象は終対象である。

次の命題でも同じことです。

すべての射は破棄可能〈discardable | deletable〉である。

論理式で書くならば：

$\forall f:A \to B \In \cat{C}.f;!_B = \,!_A$

マルコフ圏から半デカルト性の仮定を取り除いた圏の種別（つまりドクトリン）を“準マルコフ”〈quasi-Markov〉（ $\mathrm{QMarkov}$ ）と呼ぶことにします。

ここまでに出てきたドクトリン（圏の種別）の階層構造は次のようになります*2
。

昨日の記事と違うのは、破線の矢印があることです。実線の矢印では、下位（矢印の根本）種別の圏に構成素〈constituent | stuff〉が追加されるのに対して、破線の矢印では条件〈property | axiom | law〉が追加されるだけです。その追加された条件が先に出した「単位対象は終対象である」または「すべての射は破棄可能である」です。

確率の議論をするときは半デカルト性が必須ですが、半デカルト性を除いた準マルコフ圏で十分、あるいはより便利なときもあるので、ここでは準マルコフ圏を相手にします。

反ラックス対称モノイド関手

すべての準マルコフ圏の集まりを考えるとして、そのあいだの射、つまり関手をどのように定義すべきでしょうか？これは目的により決まることで、絶対的定義があるわけではありません。今回は、反ラックス・モノイド関手を準マルコフ圏のあいだの関手に選びます。

準マルコフ圏の下部構造〈台構造〉は対称モノイド圏で、対称モノイド圏の下部構造〈台構造〉はモノイド圏です。そのことが、前節のドクトリン階層構造図で示されています。下部構造（前節の図では上にあるが）から順に関手（圏のあいだの準同型射）の概念を積み上げていきましょう。圏のサイズの問題を避けたいので、出てくる圏はすべて小圏〈small category〉とします。

[追記]ここから、この節の残りの部分で、反ラックス・モノイド関手が余モノイドであるという記述があったのですが、それは言い過ぎで間違いなので、余モノイド類似物という表現に改めました。[/追記]

まず、 ${\bf MonCat}^{\oplax}$ を、モノイド圏を対象として、反ラックス・モノイド関手を射として、反ラックス・モノイド自然変換を2-射とする2-圏とします。射〈1-射〉である反ラックス・モノイド関手は、（記号の乱用で） $F = (F, \delta, \varepsilon)$ と書けます。これは、関手と自然変換から構成される余モノイド類似物〈comonoid-like object〉です。そして、反ラックス・モノイド自然変換は、余モノイド類似物のあいだの準同型射です。

ちなみに、ラックス・モノイド関手を射とする2-圏のホム圏も同様で、関手と自然変換から構成されるモノイド類似物〈monoid-like object〉と、そのあいだの準同型射の圏です。

次の2つの命題は同じことです。

$F : \cat{C} \to \cat{D} \In {\bf MonCat}^\oplax$
$F \in |{\bf MonCat}^\oplax(\cat{C}, \cat{D})|$

$F = (F, \delta, \varepsilon)$ と書いたときの $\delta$ は余モノイド類似物の余乗法〈comultiplication〉、 $\varepsilon$ は余単位〈counit〉です。反ラックス関手を、関手を台〈underlying thing〉とする代数系と捉える観点が重要です。

さて、対称モノイド圏のあいだの準同型射は、タイト・モノイド関手（ラックスかつ反ラックスなモノイド関手）を台としてうまく定義できます。反ラックス関手をベースにすると満足な定義はできません。

が、ここでは不満足な定義でもいいとしましょう。次の条件が成立する〈holds〉とき、反ラックス・モノイド関手 $F = (F, \delta, \varepsilon)$ は反ラックス対称モノイド関手〈oplax symmetric monoidal functor〉と呼びます。

$\For \cat{C} = (\cat{C}, \sigma), \cat{D} = (\cat{D}, \sigma) \in |{\bf SymMonCat}|\\ \For F = (F, \delta, \varepsilon) : \cat{C} \to \cat{D} \In {\bf MonCat}^\oplax\\ \Holds\\ \quad \forall A, B\in |\cat{C}|.\\ \qquad F(\sigma_{A, B});\delta_{B, A} = \delta_{A, B};\sigma_{F(A), F(B)} \;:\; F(A\otimes B) \to F(B)\otimes F(A)$

2-圏 ${\bf SymMonCat}^\oplax$ の射〈1-射〉は、今述べた反ラックス対称モノイド関手とします。2-圏 ${\bf SymMonCat}^\oplax$ の2-射は、反ラックス・モノイド自然変換とします（特に対称性への考慮は入りません）。

以上で、2-圏 ${\bf SymMonCat}^\oplax$ が定義できました。反ラックス対称モノイド関手の定義がぎごちない〈clumsy〉ことは注意してください。これらの定義をストライプ図で描くと直感的な理解が得られるでしょう。

準マルコフ関手

いよいよ、準マルコフ圏を対象とする2-圏 ${\bf QMarkovCat}^\oplax$ を定義します。この2-圏の射〈1-射〉は反ラックス準マルコフ関手〈oplax quasi-Markov functor〉です。反ラックス準マルコフ関手は、反ラックス対称モノイド関手に条件を付けたものです。その条件は次のものです。

$\For \cat{C} = (\cat{C}, \Delta, !), \cat{D} = (\cat{D}, \Delta, !) \in |{\bf QMarkovCat}|\\ \For F = (F, \delta, \varepsilon) : \cat{C} \to \cat{D} \In {\bf SymMonCat}^\oplax\\ \Holds\\ \quad \forall A\in |\cat{C}|.\\ \qquad F(\Delta_A);\delta_{A, A} = \delta_{F(A)}\;:\; F(A) \to F(A)\times F(A)\\ \Holds\\ \quad \forall A\in |\cat{C}|.\\ \qquad F(!_A);\varepsilon = \, !_{F(A)}\;:\; F(A) \to \I$

準マルコフ圏のあいだの準同型射としては、反ラックス準マルコフ関手が自然なものだと思えるので、反ラックス準マルコフ関手を単に準マルコフ関手〈quasi-Markov functor〉と呼ぶことにします。

${\bf QMarkovCat}^\oplax$ の2-射は、反ラックス・モノイド自然変換とします。

これで、2-圏 ${\bf QMarkovCat}^\oplax$ の定義は完了です。とはいえ、2-圏としての様々な条件のチェックは割愛しているので、細部の確認は必要ですが。

何に使う？

${\bf QMarkovCat}^\oplax$ と同様にして、マルコフ圏を対象とする2-圏 ${\bf MarkovCat}^\oplax$ も構成できます。あるいはまた、条件化可能マルコフ圏を対象とする2-圏 ${\bf ConditMarkovCat}^\oplax$ も構成できます。

単一の準マルコフ圏／マルコフ圏／条件化可能マルコフ圏だけではなくて、同時にたくさんの準マルコフ圏／マルコフ圏／条件化可能マルコフ圏を考えたいときがあります。例えば、マルコフ圏の2-圏に値を持つインデックス付き圏〈indexed category〉とかです。

$\quad \cat{F}: \cat{D}^{op} \to {\bf MarkovCat}^\oplax$

準マルコフ圏／マルコフ圏／条件化可能マルコフ圏などを応用に使おうとすると、それに伴うインデックス付き圏やファイバー付き圏〈{fibred | fibered} category〉が出てきてしまいます。インデックス付き圏／ファイバー付き圏を取り扱うには、それに先だって構造付き圏の2-圏を定義する必要があります。

今回の2-圏の定義は、インデックス付き圏／ファイバー付き圏を使うための事前の準備です。

*1:圏の2-圏では、射〈1-射〉は関手なので、横結合は厳密〈strict〉になり、厳密2-圏となります。この記事で出てくる2-圏はすべて厳密2-圏〈strict 2-category〉です。

*2:graphviz online のURL は https://bit.ly/3u5v1pU