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参照用 記事

オプティック界隈の丸付き文字と記号の乱用


\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
\require{enclose}
\newcommand{\act}[1]{ \enclose{circle}{\mathrm{#1}} }
オプティックに関する文書を読んでいると、ラテン文字を丸で囲んだ記号が登場するんですよね。まず、MathJaxでどうやって書いたらいいのだろう? enclose というMathJax拡張があるので、それを使ってみます。

次のようにマクロ〈ユーザー作成コマンド〉を定義しておきます。

\require{enclose}
\newcommand{\act}[1]{ \enclose{circle}{\mathrm{#1}} }

はてなブログはてな記法では、次の形で埋め込みます。

[tex:
\require{enclose}
\newcommand{\act}[1\]{ \enclose{circle}{\mathrm{#1}} }
]

\act{M}レンダリングは次のようになります。

\qquad \act{M}

まん丸じゃないのが気になりますが、まーいいとしましょう。

さて、この丸付き文字 \act{M} は何を表すのかというと、アクテゴリー〈actegory〉を表します。アクテゴリーには次の別名があります。

  1. 加群圏〈module category〉
  2. 圏論的モノイド作用〈categorical monoidal action〉
  3. モノイド作用〈monoidal action〉(圏論的モノイド作用の省略)
  4. 作用〈action〉(モノイド作用の省略)

アクテゴリー(左アクテゴリー)は次の構成素からなります。

  1. モノイド圏 \cat{M} = (\cat{M}, \otimes, I) (記号の乱用、一部の構成素を省略)
  2. \cat{C}
  3. 双関手〈二項関手〉 (\odot):\cat{M}\times \cat{C} \to \cat{C}
  4. 作用の結合律を表す自然変換 \beta = (\beta_{M, N, A})_{M, N\in |\cat{M}|, A \in|\cat{C}|}
  5. 作用の単位律を表す自然変換 \gamma = (\gamma_{A})_{ A\in|\cat{C}|}

法則〈公理〉としては、マックレーンの五角形/三角形法則(の類似物)を要求します。

アクテゴリーをラテン大文字ローマン体〈立体〉 \mathrm{M} で表すとします。アクテゴリーの構成素には、右肩に \mathrm{M} を乗せるとすると、次のように書けます。


\quad \mathrm{M} = (\cat{M}^\mathrm{M}, \cat{C}^\mathrm{M},
  \odot^\mathrm{M}, \beta^\mathrm{M}, \gamma^\mathrm{M})

モノイド作用の本体とも言える双関手〈二項関手〉\odot^\mathrm{M}\act{M} で表すことにします。すると:


\quad \mathrm{M} = (\cat{M}^\mathrm{M}, \cat{C}^\mathrm{M},
  \act{M}, \beta^\mathrm{M}, \gamma^\mathrm{M})

ここから、オプティック界隈特有の記号の乱用をします。

  1. アクテゴリー全体を、演算子記号 \act{M} で表す。
  2. 2つの自然変換 \beta^\mathrm{M}, \gamma^\mathrm{M} を、同じ文字  \phi^\mathrm{M}オーバーロードしてひとつにまとめる。どちらの自然変換であるかは、下付き添字が3つか1つかで区別する。

そうすると:


\quad \act{M} = (\cat{M}^\mathrm{M}, \cat{C}^\mathrm{M},
  \act{M}, \phi^\mathrm{M})

2つのアクテゴリーがあるときは:


\quad \act{M} = (\cat{M}^\mathrm{M}, \cat{C}^\mathrm{M},
  \act{M}, \phi^\mathrm{M})\\
\quad \act{N} = (\cat{M}^\mathrm{N}, \cat{C}^\mathrm{N},
  \act{N}, \phi^\mathrm{N})

しかし実際には次のように書くときが多いです。(他にも色々な書き方のバリエーションがあります。)


\quad \act{M} = (\cat{M}, \cat{C},
  \act{M}, \phi)\\
\quad \act{N} = (\cat{N}, \cat{D},
  \act{N}, \psi)

こういう分野・コミュニティに特有な記号の乱用の習慣は、明示的に説明されないので、解読するまでけっこう時間がかかったりします。集団があれば必ずジャーゴン〈隠語〉が生まれるので仕方ない現象だけど、めんどくせーよ、ホント


[追記]丸付き文字を中置演算子記号として使うときは、次のようにするほうがいいですね。

\require{enclose}
\newcommand{\actop}[1]{ \mathop{\scriptstyle \enclose{circle}{\mathrm{#1}}} }

レンダリングは次のようになります。


\newcommand{\actop}[1]{ \mathop{\scriptstyle \enclose{circle}{\mathrm{#1}}} }

\qquad A \actop{M} B

まん丸じゃないのはどうにもならないなー。位置が下すぎるけど調整してないです。
[/追記]