両側アクテゴリーとその準同型射 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

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$\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\u}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\In}{\text{ in } } \newcommand{\oast}{\circledast} \newcommand{\id}{\mathrm{id} } \newcommand{\bs}[1]{\boldsymbol{#1} } \require{color} \newcommand{\Keyword}[1]{ \textcolor{green}{\text{#1}} }% \newcommand{\For}{\Keyword{For } }%$ 「オプティック界隈の丸付き文字と記号の乱用」でも触れたように、オプティックではアクテゴリーをよく使います。ほとんどの場合、左アクテゴリーを使っているようですが、右アクテゴリー、両側アクテゴリーも含めて整理してみます。

内容：

律子＝法則射
左アクテゴリー
両側アクテゴリー
記法の簡略化
テンソル強度と強関手
両側強関手
アクテゴリーの圏

律子＝法則射

モノイド圏 $\cat{C}$ においては、モノイド積の結合律が等号で成立するとは限りません。等号〈恒等射〉の代わりに同型射〈可逆射〉を使います。

$\quad \alpha_{A, B, C}:(A\otimes B)\otimes C \to A\otimes (B\otimes C) \In \cat{C}$

3つの添字を持つ同型射の族（自然変換） $\alpha$ を結合律子〈associator〉と呼びます。

ナントカ律〈ナントカ法則〉の等号を置き換える同型射を次のように呼びます（「律子からカタストロフへ」へ参照。

法則	同型射
結合律	associator
左単位律	left unitor
右単位律	right unitor
交替律	interchangor
ニョロニョロ法則	snakeorator

英語では語尾を'or'にするルールのようです。この'or'に相当する日本語として「律子〈りつし〉」を使ってきました。意味的に、律＝法則、子＝射なので、次の正規表現の呼び名を許すことにします*1。

{律 | 法則}{子 | 射}

例えば、「律射」「法則子」でもかまいません。「法則射〈law morphism〉」が使いやすそうですね。

法則射が満たすべき等式的法則（法則の法則）は一貫性条件〈coherence condition〉と呼びます。モノイド圏に対するマックレーンの五角形／三角形法則は（公理として要請される）一貫性条件の例です。

等号〈恒等射〉で与えられる法則を厳密法則〈strict law〉といいます。等号を、恒等射とは限らない射に置き換えることを法則の弱化〈weakening〉といいます。どの程度弱めるかの程度には次があります。

タイト〈tight〉法則：等号を同型射〈可逆射〉に置き換えた法則
ラックス〈lax〉法則：等号を同型とは限らない射に置き換えた法則
反ラックス〈oplax〉法則：等号を、ラックス法則と逆向きの射に置き換えた法則

「タイト〈tight〉」の代わりに「強〈strong〉」を使うことが多いですが、テンソル強度を扱うときに酷く混乱するので、タイトの意味で「強」は使いません。

これから定義する圏論的構造は、厳密法則を弱化した律子〈法則射〉と一貫性条件により記述します。弱化のやり方や一貫性条件の探し方の方法論はないので、現状ではアナロジーや勘に頼る部分が大きいです。

左アクテゴリー

$\cat{M}$ をモノイド圏とします。記号の乱用も省略もなしでモノイド圏の構成素を書けば：

$\quad \cat{M} = (\u{\cat{M}}, \otimes, I, \alpha, \lambda, \rho)$

$\u{\cat{M}}$ はモノイド圏の台圏〈underlying category〉です。次のように記号の乱用と省略をします。

$\cat{M} = (\cat{M}, \otimes, I)$
$\cat{M} = (\cat{M}, \otimes)$

モノイド圏 $\cat{M}$ 上の左アクテゴリー〈left actegory | 左加群圏 | left module category〉は、左加群の圏論化〈categorification〉です。左アクテゴリーの構成素は：

モノイド圏 $\cat{M} = (\cat{M}, \otimes)$
圏 $\cat{C}$
双関手〈二項関手〉 $(\odot): \cat{M}\times \cat{C} \to \cat{C}$
法則射の族（自然変換）、すぐ下に説明

法則射〈律子〉は次の等式的法則を弱化したものです。

左作用結合律： $(M\otimes M')\odot A = M \odot (M'\odot A)$
左作用単位律： $I \odot A = A$

「オプティック界隈の丸付き文字と記号の乱用」で述べたように、2つの法則の法則射〈律子〉を同じ記号 $\phi$ でオーバーロードする習慣がありますが、分かりにくいので単位律子にはダッシュ〈プライム〉を付けることにします。

左作用結合律子： $\phi_{M, M', A} : (M\otimes M')\odot A \to M \odot (M'\odot A)$
左作用単位律子： $\phi'_{A} : I \odot A \to A$

通常、これらの律子は同型射〈可逆射〉と仮定されます。つまり、法則はタイト法則に弱化します。が、ラックス法則／反ラックス法則も必要になる可能性があります*2。

左アクテゴリーを記号の乱用と省略により書くときは：

$\cat{C} = (\cat{M}, \cat{C}, \odot, \phi)$
$\cat{C} = (\cat{M}, \cat{C}, \odot)$
$\cat{C} = (\cat{M}, \cat{C})$
$\cat{C} = (\cat{C}, \odot)$ （ $\cat{M}$ が事前に了解されているとき）

ここでは、「オプティック界隈の丸付き文字と記号の乱用」の丸付き文字記法は使いません。

左アクテゴリーは、モノイド圏と同様に、左作用 $\odot$ と律子 $\phi, \phi'$ に関してマックレーンの五角形／三角形法則（一貫性条件の等式的公理）を満たす必要があります。それについては次の記事を参照してください。

モノイド圏と加群圏に関するフォークロアとマックレーン五角形・三角形

両側アクテゴリー

右アクテゴリー〈right actegory〉は、左アクテゴリーの“左”を“右”に変えるだけなので特に問題はないでしょう。左作用と右作用の両方を持つ両側アクテゴリー〈biactegory | 両側加群圏 | bimodule category〉を定義します。

両側アクテゴリーの構成素は：

モノイド圏 $\cat{M} = (\cat{M}, \otimes)$
モノイド圏 $\cat{N} = (\cat{N}, \otimes)$ （記号 $\otimes$ はオーバーロード）
圏 $\cat{C}$
左アクテゴリー構造 $(\cat{M}, \cat{C}, \odot, \phi)$
右アクテゴリー構造 $(\cat{N}, \cat{C}, \oast, \psi)$
法則射の族、すぐ下に説明

両側アクテゴリーの場合は、次の法則の弱化を要請します。

平衡性〈balancedness〉： $(M\odot A )\oast N = M\odot (A \oast N)$ （ある種の結合法則）

平衡性に対応するタイト〈可逆〉な律子を $\beta$ とします。

平衡性の律子： $\beta_{M, A, N}: (M\odot A )\oast N \to M\odot (A \oast N)$

平衡性の律子に関する一貫性条件を考えなくてはなりません。一貫性条件を書き出す系統的な方法はないので試行錯誤になるのですが、マックレーンの五角形法則を真似すれば次の等式的法則でしょう。

$\forall\, M', M\in |\cat{M}|,\; A\in |\cat{C}|,\; N\in |\cat{N}|.\\ \:\\ \xymatrix@C-5.3pc@R+2pc { {} &{} &{(M'\otimes M)\odot(A\oast N)}\ar[drr]^{\tau2} &{} &{} \\ {( (M'\otimes M)\odot A)\oast N}\ar[urr]^{\tau1} \ar[dr]_{\omega1} &{} &{} &{} &{M'\odot (M\odot (A\oast N)) } \\ {} &{( M'\odot(M\odot A))\oast N }\ar[rr]_{\omega2} &{} &{M'\odot ( (M\odot A)\oast N)}\ar[ur]_{\omega3} &{} \\ }\\ \text{commutative in }\cat{C}$

図式内に出現している射は：

$\tau1 := \beta_{M'\otimes N, A, N}$
$\tau2 := \phi_{M', N, A\oast N}$
$\omega1 := \phi_{M', M, A}\oast \id_N$
$\omega2 := \beta_{M', M\odot A, N}$
$\omega3 := \id_M\odot \beta_{M, A, N}$

以上は左作用に関する五角形ですが、右作用に関しても同様な五角形を書けます。これは割愛します。

次に、三角形法則は次のようになるでしょう。

$\forall\, A\in |\cat{C}|,\; N\in |\cat{N}|.\\ \:\\ \xymatrix@C-2pc@R+1pc{ {} &{I\odot (A\oast N)} \ar[dr]^{\tau2} &{} \\ {(I\odot A)\oast N } \ar[ur]^{\tau1} \ar[rr]_{\omega} &{} &{A \oast N} }\\ \text{commutative in }\cat{C}$

$\tau1 := \beta_{I, A, N}$
$\tau2 := \phi'_{A\oast N}$
$\omega := \phi'_{A}\oast \id_N$

右作用に関する三角形法則は割愛します。

両側アクテゴリーを記号の乱用と省略により書くときは：

$\cat{C} = ( \cat{M}, \cat{N}, \cat{C}, \odot, \phi, \oast, \psi)$
$\cat{C} = (\cat{M}, \cat{N}, \cat{C}, \odot, \oast)$
$\cat{C} = (\cat{M}, \cat{N}, \cat{C})$
$\cat{C} = (\cat{C}, \odot, \oast)$ （ $\cat{M}, \cat{N}$ が事前に了解されているとき）

記法の簡略化

記述・計算が素早く行えるように記法を簡略化します。

圏の対象を小文字で表す： $M', M, A$ 簡略化→ $m', m, a$
モノイド積を併置で表す： $M'\otimes M$ 簡略化→ $m'm$
左右の作用をドットで表す： $(M \odot A) \oast N$ 簡略化→ $(m\cdot a)\cdot n$
単位対象を数字の 1 で表す： $I$ 簡略化→ $1$

例えば、先の五角形／三角形法則は次のように書けます。

$\forall\, m', m\in |\cat{M}|,\; a\in |\cat{C}|,\; n\in |\cat{N}|.\\ \:\\ \xymatrix@C-3pc@R+2pc { {} &{} &{(m' m)\cdot (a\cdot n)}\ar[drr] &{} &{} \\ {( (m' m)\cdot a)\cdot n}\ar[urr] \ar[dr] &{} &{} &{} &{m'\cdot (m \cdot (a \cdot n)) } \\ {} &{( m'\cdot(m \cdot a))\cdot n }\ar[rr] &{} &{m'\cdot ( (m\cdot a)\cdot n)}\ar[ur] &{} \\ }\\ \text{commutative in }\cat{C}\\$

$\forall\, a\in |\cat{C}|,\; n\in |\cat{N}|.\\ \:\\ \xymatrix@C-1pc@R+1pc{ {} &{1 \cdot (a\cdot n)} \ar[dr] &{} \\ {(1 \cdot a)\cdot n } \ar[ur] \ar[rr] &{} &{a \cdot n} }\\ \text{commutative in }\cat{C}$

テンソル強度と強関手

ここから先は、前節で述べた簡略記法を使います。

$(\cat{M}, \cat{C}), (\cat{M}, \cat{D})$ を左アクテゴリーとします。関手 $F:\cat{C} \to \cat{D}$ が左アクテゴリーの準同型射になる条件として、次の等式の弱化を考えます。

$\For m \in |\cat{M}|, a\in \cat{C}\\ \quad m\cdot F(a) = F(m\cdot a) \In \cat{D}$

この等式の弱化の律子〈法則射〉を左テンソル強度〈left tensorial strength〉または単に左強度〈left strength〉と呼びます。ここでは、左強度を太字の $\bs{l}$ で表します。

$\For m \in |\cat{M}|, a\in \cat{C}\\ \quad \bs{l}_{m, a}: m\cdot F(a) \to F(m\cdot a) \In \cat{D}$

$\bs{l}$ が関手 $F$ に対する左強度である条件（一貫性条件）は次のとおりです。可換図式ではピンと来ないかも知れないので、ストライプ図を描くことをオススメします*3。

$\require{AMScd} \forall\, m', m\in \cat{M},\, a\in \cat{C}.\\ \begin{CD} (m'm)\cdot F(a) @>{\bs{l}_{m'm, a} }>> F( (m'm) \cdot a)\\ @V{\phi_{m, m', F(a)}}VV @VV{F(\phi_{m',m, a} )}V\\ m'\cdot ( m\cdot F(a) ) @. F(m'\cdot (m\cdot a) )\\ @V{\id_{m'} \cdot \bs{l}_{m, a} }VV @|\\ m' \cdot F(m\cdot a) @>{\bs{l}_{m', m\cdot a} }>> F(m'\cdot (m\cdot a) ) \end{CD}\\ \text{commutative in }\cat{D}\\$

$\forall\, a\in \cat{C}.\\ \begin{CD} 1\cdot F(a) @>{\bs{l}_{1,a} }>> F(1\cdot a)\\ @V{\phi'_{F(a)} }VV @VV{F(\phi'_a) }V\\ F(a) @= F(a) \end{CD}\\ \text{commutative in }\cat{D}$

$\bs{l}_{m, a}$ が同型射ならタイト左強度〈tight left strength〉、同型射とは限らないときはラックス左強度〈lax left strength〉と呼びます。反ラックス左強度〈oplax left strength〉は次のプロファイルを持ちます。

$\For m \in |\cat{M}|, a\in \cat{C}\\ \quad \bs{l}_{m, a}: F(m\cdot a) \to m\cdot F(a) \In \cat{D}$

“左”を“右”に置き換えることにより次の概念が定義できます。

右テンソル強度〈right tensor strength〉
右強度〈right strength〉
タイト右強度〈tight right strength〉
ラックス右強度〈lax right strength〉
反ラックス右強度〈oplax right strength〉

強度を備えた関手を強関手〈strong functor〉と呼びます。左右の別をちゃんと述べるならば：

が左アクテゴリーのとき、関手と左強度の組を左強関手〈left strong functor〉と呼ぶ。左強度の“弱さ”により次のように分類：
- タイト左強関手〈tight left strong functor〉
- ラックス左強関手〈lax left strong functor〉
- 反ラックス左強関手〈oplax left strong functor〉
が右アクテゴリーのとき、関手と右強度の組を右強関手〈right strong functor〉と呼ぶ。右強度の“弱さ”により次のように分類：
- タイト右強関手〈tight right strong functor〉
- ラックス右強関手〈lax rightt strong functor〉
- 反ラックス右強関手〈oplax right strong functor〉

両側強関手

次の状況を考えます。

$\cat{M}, \cat{N}$ がモノイド圏
$(\cat{M}, \cat{N}, \cat{C}), (\cat{M}, \cat{N}, \cat{D})$ は2つの両側アクテゴリー
$F:\cat{C} \to \cat{D}$ は関手
$(F, \bs{l})$ の左強関手
$(F, \bs{r})$ の右強関手

さらに以下の条件（一貫性条件）を満たすなら、 $(F, \bs{l}, \bs{r})$ は両側強関手〈bistrong functor〉と呼びます。（この条件もストライプ図描画を推奨。）

$\forall\, m\in |\cat{M}|, a\in |\cat{C}|, n\in |\cat{N}|. \\ \begin{CD} (m\cdot F(a))\cdot n @>{\bs{l}_{m, a}\cdot \id_n }>> F(m\cdot a)\cdot n\\ @V{\beta_{m, F(a), n} }VV @VV{\bs{r}_{m\cdot a, n} }V\\ m\cdot (F(a)\cdot n) @. F( (m\cdot a) \cdot n)\\ @V{\id_m\cdot \bs{r}_{a, n} }VV @VV{F(\beta_{m, a, n}) }V\\ m\cdot F(a\cdot n) @>{\bs{l}_{m, a\cdot n} }>> F(m\cdot(a\cdot n) ) \end{CD}\\ \text{commutative in }\cat{D}$

両側強関手を構成する左右の強度の“弱さ”は揃っているとします。左がタイト強度で、右がラックス強度とかはなし*4です。左右強度の“弱さ”により両側強関手は次のように分類します。

タイト両側強関手〈tight bistrong functor〉
ラックス両側強関手〈lax bistrong functor〉
反ラックス両側関手〈oplax bistrong functor〉

両側強関手は、両側アクテゴリーのあいだの準同型射です。

アクテゴリーの圏

以上で、次の概念が定義できました。

左アクテゴリーと左強関手（タイト／ラックス／反ラックス）
右アクテゴリーと右強関手（タイト／ラックス／反ラックス）
両側アクテゴリーと両側強関手（タイト／ラックス／反ラックス）

アクテゴリーと強関手は圏を形成します。ほんとに圏になることを確認するのはけっこう面倒ですが、がんばって組み合わせ的議論をします。

$\cat{M}, \cat{N}$ をモノイド圏として、次のようなアクテゴリーの圏が作れます。

$\cat{M}\text{-}{\bf LActeg}^\Box\: \text{ where }\Box \in \{\mathrm{tight},\mathrm{lax}, \mathrm{oplax} \}$
$\cat{N}\text{-}{\bf RActeg}^\Box\: \text{ where }\Box \in \{\mathrm{tight},\mathrm{lax}, \mathrm{oplax} \}$
$(\cat{M}, \cat{N})\text{-}{\bf BiActeg}^\Box\: \text{ where }\Box \in \{\mathrm{tight},\mathrm{lax}, \mathrm{oplax} \}$