「マリオス微分幾何とカルタン接続」の続きです。リー型群層〈group sheaf of Lie-type〉は、リー群が持つ構造の一部を代数的に取り出して層の世界で定式化したものです。モーレー／カルタン微分は、群に値を取る関数の対数微分を、やはり層の世界で公理化し…

2019年にマリオス〈Anastasios Mallios〉の抽象微分幾何（以下、マリオス微分幾何）について紹介したことがあります。 マリオスの抽象微分多様体 抽象微分多様体、もうチョット 抽象微分多様体、さらに：共変微分のアフィン構造 その後もたまにマリオス達の…

多様体上で何かを計算するときに、開被覆族に載った層係数のコチェーン〈チェック・コチェーン〉が出てきます。これは記法として便利です。便利なので、条件をゆるめてもっと広く使ってもいい気がします。 開集合の族が被覆になってなくてもいいとする。 係…

1年3ヶ月ほど前に書いた「コジュール接続の圏」に次のように書いています。 先週ボンヤリと考えていたことがあったんですが、ちょっと面倒になってきて気力萎え。だけど、いつかまた興味と気力が湧いたときに参照できるようにメモ書きを残しておきます。 こ…

「ド・ラーム・コホモロジーはホモトピー不変量だ」と言われます。これはいったいどういう意味なんでしょう？ 「ホモトピー」が色々な意味で使われ過ぎていて何だかヨクワカリマセン。事情をハッキリさせましょう。※ 言葉と表記に関する注意： 英単語の語尾…

去年の春に書いた次の記事で、 接バンドルのホロノーム座標 ホロノーム座標 補遺：バンドル座標 数理物理学者サルダナシヴィリ〈Gennadi Sardanashvily〉が使っている座標記法を紹介しました。サルダナシヴィリのオリジナルの記法では3種類の座標があり、そ…

基礎圏〈台圏〉を指定しないすべてのモナド達の圏をMnd、すべての随伴系〈adjunction | adjoint system〉達の圏をAdjと書くことは多いですが、MndやAdjが何を意味するかは人によりバラバラです。バラバラなのはしょうがないのですが、様々な定義を記述したり…

次元の概念は思いのほか難しくて、あまり理解されてないのかも知れませんね。特に0次元が鬼門のようです。離散キューブという概念を導入する過程のなかで0次元の話をします。(-1)次元は、空集合に対する次元の候補です（空集合の次元は幾つかの考え方があり…

モナド達が作る圏（実際は2-圏）の上に、とあるモナドが載っています。ストリート・モナド〈Street monad〉っていうモナドです。ストリート・モナドは我々が普段扱っているモナド達より上のレベルに居るモナドの典型例ですね。ストリート随伴系〈Street adju…

随伴系〈adjunction | adjoint system〉があるとモナドを作れます。逆に、モナドを随伴系に分解〈resolution〉して調べたいことがあります。となると、ある特定のモナドに対して、随伴系への分解はどのくらいあるのだろう？ と知りたくなるのが人情です。モ…

「最急降下法機械学習の圏 // 使えるのか？」で言及した、単一ニューラルネットの形状の圏 SNNS （the category of Single Neural Network Shapes）からパラメータ付き関数の圏 Para(AES) への実現関手〈実装関手〉について説明します。何はともあれ、しりと…

フォング／スピヴァック／トゥイーラス*1の次の論文が面白そうなので話題にします。 Title: Backprop as Functor: A compositional perspective on supervised learning Authors: Brendan Fong, David I. Spivak, Rémy Tuyéras Submitted: 28 Nov 2017 (v1),…