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参照用 記事

グロタンディーク宇宙って何なんだ?

グロタンディーク宇宙について、どうも僕は曲解していたような気がします。-- 本日も雑感垂れ流し日記。

昨日の「入れ子の宇宙を可能とする公理」で、宇宙公理〈the universe axiom〉を認めてしまえば、グロタンディーク宇宙の無限系列 U0, U1, U2, ... が作れて、「階層的な圏論的宇宙・楽観的暫定版」で述べた願望は、いとも簡単に実現されると書きました。

僕の今までの感覚・感情は、宇宙公理のような強烈でご都合主義的な仮定は出来るなら使いたくない、使うべきではない、というものでした。それを使ってしまえば願望は叶うけど、使うのを躊躇して代替案を期待するような態度でした。しかし、"Universes for category theory"の著者ロー〈Zhen Lin Low〉は、アッサリと当たり前のごとくに宇宙公理を使っています。

昨日の記事を書いた後にザッと調べた感じでは、集合論の方面から宇宙公理に反対している人は見かけません(ザッと見の範囲だからあまり当てにならないが)。グロタンディークは、代数幾何を展開する際にグロタンディーク宇宙を使ってますが、その意味で直接のユーザーと言える代数幾何界隈だと、結果的にZFCを強化してしまうグロタンディーク宇宙を快く思ってない人が少しはいるようです。

圏のサイズ問題に対して、グロタンディーク宇宙以外にも、集合論の枠内で、あるいは集合論以外からの色々なアプローチがあるようです。決定版はないし、一長一短があるでしょうが、サイズ問題解決の道具は幾つもあるので、実用上はあまり困ってない雰囲気。


グロタンディーク宇宙に対する僕の印象を述べます。

ZFC集合論の宇宙(なんらかのモデル)をVとします。集合圏Setを、|Set| = V となるように定義してしまうと、Setをもとに圏論的な構成をしたとき、例えば自己関手圏[Set, Set]を作ったとき、[Set, Set]を置くべき場所が分からんなー、とは思います。

Vよりは小さい宇宙Uがあって、|Set| = U となるように集合圏を定義すれば、色々な圏論的構成をしても、それらの構成物を置くべき場所を大きな宇宙V内に見出すことが出来るだろう、そのためにUを考える -- と僕は考えていました。この考えは、まー間違いではないでしょう。しかし、Uに対してハッキリしたイメージ/実在感が持てないので、Uを必要悪/トリックの道具のように捉えていたのです。

ここで、グロタンディーク宇宙の定義をハッキリと述べましょう。ZFCの宇宙VのサブクラスUがグロタンディーク宇宙だとは:

  1. x∈U, y∈x ならば、 y∈U (∈に関する推移性)
  2. x, y∈U ならば、{x, y}∈U (対の構成に関して閉じている)
  3. x∈U ならば、Pow(x)∈U (ベキ集合に関して閉じている)
  4. I∈U, f:I→U ならば、∪(f)∈U (族の合併に関して閉じている)
  5. UVVの要素)
  6. ω∈U (無限集合を持つ)

∪(f)は、 \bigcup_{i \in I}f(i)の略記です。ωは自然数全体の集合です。

5番目の条件 UV を外せば、V自体がグロタンディーク宇宙になります。しかし、グロタンディーク宇宙は“大き過ぎない”のがミソなので、小ささ〈smallness〉の条件として UV があります。ロー〈Zhen Lin Low〉は、最後の ω∈U を外したモノをプレ宇宙〈pre-universe〉と呼んでいます。空類(空集合)はプレ宇宙になります(虚しい例だけど)。有限集合しか含まないプレ宇宙も作れます。

さて、僕が感覚的・感情的に、あるいは無根拠に違和感を持っていたのは、

  • UV

コレです。グロタンディーク宇宙Uは、外の宇宙からみれば単なる集合です。このことは次のどちらかを意味するでしょう。

  • 圏論に必要な宇宙は、たいして大きくない。
  • 外の宇宙はもの凄く大きい。

直感的な「大きい/大きくない」はまさに感覚的・感情的なんですが、圏論が展開できる宇宙はそれなりに“大きい”気がするので、それを含む外の宇宙Vはもの凄く大きいことになります。このVの大きさが僕のイマジネーションが届かないところで、気味が悪い/怖い/使いたくない感じにつながってるのでしょう。


グロタンディーク宇宙Uを持つような外の宇宙Vはもの凄く大きい、という感覚は、まったくの的外れではありません。ZFC集合論に何らかの公理を加えた集合論をZFC+αと書くことにすると、次の2つは同値です。

  • ZFC+αのモデルVがグロタンディーク宇宙Uを持つ。
  • ZFC+αでは、到達不能基数の存在が示せる。

このことは、1970年前後に既に知られていたようです。

ZFC+αの枠内で考えるなら、グロタンディーク宇宙を認めるかどうかは、到達不能基数を認めるかどうかと同じことです。そしておそらく(僕が感じる雰囲気としては)、「到達不能基数なんてなーんちゃない、全然OKでしょ」らしい。僕が「もの凄く大きい」と感じる拡がりも、専門家にはどうってことない大きさみたい。到達不能基数(のたぐい)は、巨大基数のなかでは下っ端のほうなので、たいして議論にならないのでしょう(たぶん)。

以上は集合論側の話ですが、複数のグロタンディーク宇宙に渡る圏論では、Uに対するSetUCatUに対して何かを証明したとき、別なグロタンディーク宇宙Wに対して同じ定理が成立する保証はないので、やっぱり簡単じゃないです。ある定理が圏論の宇宙(グロタンディーク宇宙)に依存しないことを主張するなら、

という形になり、この全称束縛はいったい何なんだよ? と*1

*1:[追記]「グロタンディーク宇宙は小さい」という事実から、この全称束縛は特に問題ないですね。「宇宙」という言葉から、外に出られない印象を持ってしまうのですが、外からいくらでもイジれるのがグロタンディーク宇宙の特徴。でも、なんか慣れないわ―。[/追記]