丸く収まらなかった基底とフレーム - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

今年の8月に「基底とフレーム、丸く収まる妥協案」という記事を書きました。その記事で、混同されがちな3つの概念を区別して、それぞれに別な名前を与えました。「うまくいった」と思ったのですが、まだ問題がありました。

内容：

定義が狭すぎた
準備
再定義
整理と反省

定義が狭すぎた

「基底とフレーム、丸く収まる妥協案」において、3つの概念に付けた呼び名は、

基底集合
基底フレーム
線形フレーム

でした。一部省略を許すと：

基底集合または基底
基底フレームまたは基底またはフレーム
線形フレームまたはフレーム

省略により呼び名の衝突が起きますが、区別されてない状況が再現するだけだから別にかまわない（区別したいなら省略するな）、という態度。

実際にこの用語法で書いたり話したりしてみたのですが、どうも具合が良くない。基底フレーム、線形フレームの概念が狭すぎるのです。一般性に欠ける、特殊ケースしか扱ってないのです。

準備

A, B などは集合、V, W などはベクトル空間を表します。ベクトル空間Vの台集合はU(V)と書きます。'U'は underlying set の'u'からです。通常、ベクトル空間とその台集合は区別しませんが、区別しないと曖昧さから混乱するリスクがあるので区別します。

圏論の概念を使うことにします； F:Set → Vect は自由ベクトル空間{生成}?関手とします（中括弧と疑問符は、「生成」が省略可能なことを示します）。台集合を対応させるUは忘却関手 U:Vect → Set です。自由ベクトル空間関手Fと忘却関手Uは随伴ペアとなっているので、次のホムセット同型があります。

Vect(F(A), V) $\cong$ Set(A, U(V))

このホムセット同型を与える2つの写像に名前を付けておきます。

線形拡張〈linear extension〉 linExt_A,V:Set(A, U(V)) → Vect(F(A), V)
線形制限〈linear restriction〉 linRestrict_A,V:Vect(F(A), V) → Set(A, U(V))

linExt_A,V と linRestrict_A,V は互いに逆です。

任意の写像 f:A → U(V) in Set に対して、線形写像 linExt_A,V(f):F(A) → V in Vect を構成できます。できた線形写像に linRestrict_A,V を適用すると、もとの写像に戻ります。

linRestrict_A,V(linExt_A,V(f)) = f :A → U(V) in Set

linExt_A,V と linRestrict_A,V は互いに逆だったので、次も成立します。

線形写像 g:F(A) → V in Vect に対して linExt_A,V(linRestrict_A,V(g)) = g :F(A) → V in Vect

B⊆A のとき、包含写像〈inclusion map〉を incl^A_B:B → A in Set と書きます。

再定義

「基底とフレーム、丸く収まる妥協案」と、そこから参照されている関連する記事では、基底集合を基本的概念としています。基底集合は広く知られているお馴染みな概念なので、「基底集合ありき」とするのは当然とも言えます。が、圏論的セッティングで線形代数をするときは「基底集合ありき」から出発するのはなんかシックリ来ない。

ではどうするか？「フレームありき」から出発しましょう。「フレーム」を改めて次のように定義します。新しい定義は以前の「基底フレーム」の定義よりずっと一般的です。

ベクトル空間Vに対して、写像 f:A → U(V) in Set がVのフレーム〈frame〉だとは、linExt_A,V(f):F(A) → V in Vect が線形同型であること。

フレームの定義に先立って、自由ベクトル空間関手 F と線形拡張 linExt_A,V（AとVを動かした全体は自然変換になる）が必要になります。が、どちらも具体的に構成可能です。

さて、基底集合はフレームを使って定義します。

ベクトル空間Vに対して、集合 A⊆U(V) が基底集合〈basis set〉だとは、包含写像 incl^U(V)_A:A → U(V) in Set がフレームであること。

従来の基底集合の定義（線形独立な生成系集合）を知っている場合は、上の定義と従来の定義が同値であることを確認しましょう。従来の定義と新しい定義にくいちがいはありません。

ベクトル空間が有限次元のときを考えましょう。dim(V) = m だとは、Vの基底集合Aの基数〈cardinality | 濃度〉がmであることです。したがって、A $\cong$ {1, ..., m} in Set 。この同型を与える写像（のひとつ）を φ:{1, ..., m} → A （AはVの基底集合）とします。φ;incl^U(V)_A:{1, ..., m} → U(V) in Set がVのフレームになることは、次のことから分かります。

linExt(φ;incl_A) = F(φ);linExt(incl_A) （一部の添字を省略）
F(φ):F({1, ..., m}) → F(A) in Vect は線形同型

一番目は随伴系の反転置に関して一般的に成立する等式*1ですが、直接具体的に計算しても示せます。二番目は、同型射を関手で移せば同型射に移ることから示せます。

これで、典型的なVのフレームが二種類得られました。

A⊆U(V) がVの基底集合のとき、包含写像 incl^U(V)_A はフレームである。
A⊆U(V) がVの基底集合、φ:{1, ..., m} → A が同型写像のとき、φ;inclu^U(V)_A はフレームである。

「基底とフレーム、丸く収まる妥協案」で「基底フレーム」と呼んでいたものは、φ;incl^U(V)_A の形のフレームでした。今回の定義は、この形に限定してないので、域〈domain〉が番号の集合じゃないフレームもあります。例えば、dim(V) = 3 のとき、3つのラテン小文字の集合 {'x', 'y', 'z'} を使ったフレーム e:{'x', 'y', 'z'} → U(V) は世間で普通に使われています。