表現可能関手〈representable functor〉に関連して、「普遍性〈universality〉」と「普遍元〈universal object element〉*1」という言葉のハッキリした用法があることを最近知りました。
「普遍性」は、up-to-isoで何かが一意的に決まる状況で漠然と使うことはありましたが、表現可能関手の普遍性はもっとハッキリした定義を持ちます。表現可能関手の普遍元という概念・用語はまったく知りませんでした。
[追記]この記事を書いた後で調べたところ、universality, universal property, universal object, universal element などの言葉の意味と用法は安定しているわけではなくて、広く合意された標準的用法はないようです。「普遍元」という言い方ではなくて「普遍射」「普遍アロー」という言葉で、（特定状況での）普遍元を指していることもあります。というわけけで、これは、「普遍ナントカ」のローカル運用ルールのひとつを紹介する記事だと思って下さい。[/追記]
実例がないと理解しにくいので、有限次元ベクトル空間のテンソル積を事例に、普遍性と普遍元を説明します。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
%\newcommand{\Imp}{ \Rightarrow }
\newcommand{\In}{ \text{ in } }
\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\op}{\mathrm{op}}
\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
\newcommand{\hyp}{\text{－}}
%\newcommand{\Iff}{\Leftrightarrow}
`$
内容：
米田の「よ」
最初に米田埋め込みの記法を決めておきます。「米田埋め込みの書き方（色々ありすぎ）」に書いたように、色々あるのですが、ロージエン〈Fosco Loregian〉とロマン〈Mario Román〉の折衷案のような記法を使うことにします。
| ハイフン記法 | 「よ」記法 |
| $`\cat{C}(\hyp, B)`$ | $`{^\cat{C}よ}^B`$ |
| $`\cat{C}(A, \hyp)`$ | $`{^\cat{C}よ}^\vee_A`$ |
左肩の $`\cat{C}`$ は、文脈から明らかなら省略します。$`よ`$ が米田埋め込みで、$`よ^\vee`$ が余米田埋め込みです。ロマンの記法だと、引数を渡さないかぎり米田埋め込み／余米田埋め込みの区別が付かないので、ロージエン風に右肩に $`\vee`$ を付けて区別します。添字の上下が「h」記法、「y」記法とは逆なので注意してください。
圏 $`\cat{C}`$ の前層の圏を、
$`\quad \cat{C}^\wedge := [\cat{C}^\op, {\bf Set}]`$
と書きます。余前層の圏は、
$`\quad \cat{C}^\vee := [\cat{C}, {\bf Set}]`$
です。反対圏 $`[\cat{C}, {\bf Set}]^\op`$ を $`\cat{C}^\vee`$ とする（そして、それが便利な）場合がありますが、ここでは反対圏にしません。
米田埋め込みと余米田埋め込みは次のプロファイルを持ちます。
$`\quad よ^\hyp : \cat{C} \to \cat{C}^\wedge \In {\bf CAT} \\
\quad よ^\vee_\hyp : \cat{C}^\op \to \cat{C}^\vee \In {\bf CAT}
`$
米田の補題とその共変バージョンは次のように書けます。
$`\text{For }B \in |\cat{C}|\\
\text{For }G : \cat{C}^\op \to {\bf Set} \In {\bf CAT}\\
\quad \cat{C}^\wedge(よ^B, G) \cong G(B) \In {\bf Set}\\
\:\\
\text{For }A \in |\cat{C}|\\
\text{For }F : \cat{C} \to {\bf Set} \In {\bf CAT}\\
\quad \cat{C}^\vee(よ^\vee_A, F) \cong F(A) \In {\bf Set}
`$
この記事では、余米田埋め込みと共変バージョンの米田の補題を使います。米田の補題の同型〈米田同型〉を与える米田写像〈Yoneda map〉には太字の $`{\bf y}`$ を使います。$`{\bf y}`$ は具体的に書き下せます。
$`\quad \cat{C}^\vee(よ^\vee_A, F) \ni \alpha \mapsto {\bf y}(\alpha) = \alpha_A(\id_A) \in F(A)`$
双線形写像集合関手
体 $`K`$ 上の有限次元ベクトル空間の圏を $`{\bf FdVect}_K`$ とします。体 $`K`$ は何かに固定する（例えば、$`K = {\bf R}`$）として、以下、下付きの $`K`$ は省略します。
$`A, B\in |{\bf FdVect}|`$ として、関手 $`T_{A,B} : {\bf FdVect} \to {\bf Set}`$ を考えます。
- $`V\in |{\bf FdVect}|`$ に対して、$`T_{A, B}(V)`$ は、双線形写像 $`u:A\times B \to V`$ の全体からなる集合。
- $`f:V \to W \In {\bf FdVect}`$ に対して、$`T_{A, B}(f): T_{A, B}(V)\to T_{A, B}(W) \In {\bf Set}`$ は、$`u\mapsto u;f`$ で定義される“双線形写像の前送り”。
定義から、$`T_{A, B} \in |{\bf FdVect}^\vee| = |[{\bf FdVect}, {\bf Set}]|`$ です*2。
一般に、共変関手〈余前層〉 $`F:\cat{C}\to {\bf Set}`$ が表現可能〈representable〉であるとは、$`\cat{C}`$ の対象 $`R`$ が在って、次が成立することです。
$`\quad よ^\vee_R \cong F \In [\cat{C}, {\bf Set}]`$
$`\cong`$ は関手圏における同型なので、関手の自然同型〈natural isomorphism〉です。自然同型を与える自然変換〈関手圏の同型射 | 可逆自然変換〉を $`\varphi`$ とすれば：
$`\quad \varphi : よ^\vee_R \overset{\cong}{\to} F \In [\cat{C}, {\bf Set}]`$
同じことですが、
$`\quad \varphi :: よ^\vee_R \overset{\cong}{\Rightarrow} F : \cat{C} \to {\bf Set} \In {\bf CAT}`$
$`F`$ が表現可能関手のとき、対象 $`A`$ を表現対象〈representing object〉、自然同型 $`\varphi`$ を普遍性〈universality〉と呼びます。
双線形写像集合関手 $`T_{A,B}`$ に話を戻して、もし $`T_{A, B}`$ が表現対象 $`P \in |{\bf FdVect}|`$ で表現されるなら、次の普遍性 $`\tau`$ があります。
$`\quad \tau : よ^\vee_P \overset{\cong}{\to} T_{A, B} \In [{\bf FdVect}, {\bf Set}] = {\bf FdVect}^\vee`$
ベクトル空間のテンソル積
双線形写像集合関手 $`T_{A,B} ：{\bf FdVect} \to {\bf Set} \In {\bf CAT}`$ は、2つのベクトル空間 $`A, B`$ のテンソル積を定義するセッティングを提供します。$`T_{A,B}`$ の表現対象 $`P`$ と普遍性 $`\tau`$ により、次の同型が誘導されます。
$`\text{For }V \in |{\bf FdVect}|\\
\quad \tau_V : {\bf FdVect}(P, V) \overset{\cong}{\to} T_{A, B}(V) \In {\bf Set}
`$
これは次の1：1対応を与えます。
$`\quad (P\text{ から }V\text{ への線形写像}) \longleftrightarrow (A\times B\text{ から }V\text{ への双線形写像})`$
したがって、ベクトル空間 $`P`$ は、$`A\times B`$ からの双線形写像を線形化する対象であり、テンソル積の定義に合致します。普遍性 $`\tau`$ は、線形写像と双線形写像のあいだの同型を系統的に与えます。
関手〈余前層〉 $`T_{A,B}`$ の表現対象（テンソル積ベクトル空間）と普遍性は、ホントに〈on-the-noseで〉一意的とはかぎりません。$`P', \tau'`$ が別な表現対象と普遍性のとき、次の状態になります。
$`\require{AMScd}
\text{For }V \in |{\bf FdVect}|\\
\begin{CD}
{\bf FdVect}(P, V) @>{\tau_V \;\cong}>> T_{A, B}(V)\\
@. @| \\
{\bf FdVect}(P', V) @>{{\tau'}_V \;\cong}>> T_{A, B}(V)
\end{CD}\\
\In {\bf Set}
`$
図式に登場する射（写像）はすべて可逆なので、次の同型写像が作れます。
$`\text{For }V \in |{\bf FdVect}|\\
\quad {\bf FdVect}(P, V) \overset{\cong}{\to} {\bf FdVect}(P', V) \In {\bf Set}
`$
これは、可逆自然変換の成分と解釈できるので、全体として次の自然同型になります。
$`\quad {\bf FdVect}(P, \hyp) \overset{\cong}{\to} {\bf FdVect}(P', \hyp) \In {\bf FdVect}^\vee`$
米田の補題（余米田埋め込みの存在）から、
$`\quad {\bf FdVect}^\vee(よ^\vee_P, よ^\vee_{P'}) \cong {\bf FdVect}(P, P') \In {\bf Set}`$
なので、$`よ^\vee_P \cong よ^\vee_{P'}`$ から $`P \cong P'`$ が導けます。これは、$`A, B`$ のテンソル積ベクトル空間（$`T_{A, B}`$ の表現対象）が存在するならup-to-isoで一意的であることです。
$`A, B`$ のテンソル積ベクトル空間が実際に存在することを示すには、具体的に構成します。
普遍元としての構造射
一般に、関手（余前層） $`F: \cat{C} \to {\bf Set}`$ が表現可能である“証拠”は、表現対象と普遍性のペア $`(R, \varphi)`$ で与えられます。普遍性 $`\varphi`$ は自然同型〈可逆自然変換〉でした。
$`\quad \varphi : よ^\vee_R \overset{\cong}{\to} F \In \cat{C}^\vee`$
米田の補題から、次の同型があります。
$`\quad {\bf y} : \cat{C}^\vee(よ^\vee_R, F) \overset{\cong}{\to} F(R) \In {\bf Set}`$
したがって、$`{\bf y}(\varphi) \in F(R)`$ が決まります。具体的な表示は：
$`\quad {\bf y}(\varphi) = \varphi_R(\id_R)`$
$`\varphi_R(\id_R) \in F(R)`$ を、表現可能関手（の表現）の普遍元〈universal object element〉といいます。普遍元は、普遍性（と呼ばれる自然同型）の米田写像 $`{\bf y}`$ を通じた対応物です。普遍性が自然変換であったのに対して、普遍元はより具体的な要素です。ペア $`(R, \varphi)`$ の代わりにペア $`(R, \varphi_R(\id_R))`$ としても同じ情報を表します。
一般論を、関手（余前層） $`T_{A, B}`$ の場合に適用します。双線形写像集合関手 $`T_{A,B}`$ が、表現対象・普遍性ペア $`(P, \tau)`$ で表現されているとして、その普遍元は、次の米田写像で求めます。
$`\quad {\bf y} : {\bf FdVect}^\vee(よ^\vee_P, T_{A, B}) \overset{\cong}{\to} T_{A,B}(P) \In {\bf Set}\\
\quad {\bf y}(\tau) = \tau_P(\id_P) \in T_{A,B}(P)
`$
いま、普遍元を $`t \in T_{A,B}(P)`$ とすると、$`T_{A, B}`$ の定義から、$`t`$ は次のような双線形写像です。
$`\quad t:A\times B \to P`$
双線形写像 $`t`$ の線形化 $`P \to P \In {\bf FdVect}`$ は恒等線形写像となります。
普遍元である双線形写像 $`t`$ の正体は、テンソル積の構造射です。テンソル積の構造射もテンソル積と呼ばれて、記号も $`\otimes`$ と書かれたりしますが、テンソル積ベクトル空間とは別物です。
双線形写像集合関手 $`T_{A, B}`$ の表現対象・普遍元ペア $`(P, t)`$ を、通常の記法で書くと：
- $`P = A\otimes B`$ ： ベクトル空間 $`A`$ と $`B`$ のテンソル積ベクトル空間
- $`t = (\otimes) : A\times B \to A\otimes B`$ ： “テンソル積” と呼ばれる双線形写像
以上で、テンソル積ベクトル空間とテンソル積双線形写像のペアが、双線形写像集合関手を表現する表現対象・普遍元ペアであることが分かりました。
普遍元の生成力と米田の補題
ベクトル空間のテンソル積の場合、双線形写像 $`t:A\times B \to A\otimes B`$ が普遍元と呼ばれる事情は、双線形写像 $`t`$ だけあればこと足りる -- ということでしょう。他のあらゆる双線形写像は、唯ひとつの $`t`$ から生成可能です。
実際、任意の双線形写像 $`u:A\times B \to V`$ は、以下の図式が可換になる線形写像 $`f`$ から定義可能です。
$`\xymatrix{
A\times B \ar[r]^{t} \ar[d]_{u}
& A\otimes B \ar[ld]^{f}
\\
V
&{}
}`$
上の図式が可換だとは、等式 $`u = t;f`$ が成立することなので、$`u`$ は線形写像 $`f`$ を $`t`$ で引き戻して得られます。$`t`$ のプレ結合による引き戻しを $`t^*`$ と書くことにすると：
$`\text{For }V \in |{\bf FdVect}|\\
\quad t^* : {\bf FdVect}(A\otimes B, V) \overset{\cong}{\to} T_{A, B}(V) \In {\bf Set}
`$
唯ひとつの双線形写像 $`t`$ さえあれば、その他の双線形写像はすべからく線形写像で代用できます。普遍元 $`t`$ が他の双線形写像達を生成するメカニズムは“プレ結合による引き戻し”ですが、このメカニズムは米田の補題から出てきます。
米田の補題の同型〈米田同型〉を与える写像〈米田写像〉は、順方向・逆方向とも具体的に書き下すことができます。具体的な表示は次のようです。
順方向： $`\cat{C}^\vee(よ^\vee_R, F)\ni \alpha \mapsto a \in F(R)\text{ i.e. }a = {\bf y}(\alpha)`$
$`\text{For given }\alpha : よ^\vee_R \to F \In \cat{C}^\vee = [\cat{C}, {\bf Set}]\\
\quad \alpha_R : よ^\vee_R(R) = \cat{C}(R, R) \to F(R) \In {\bf Set}\\
\quad a := \alpha_R(\id_R) \in F(R)
`$
逆方向： $`F(R) \ni x \mapsto \xi \in \cat{C}^\vee(よ^\vee_R, F)\text{ i.e. }\xi = {\bf y}^{-1}(x)`$
$`\text{For given } x \in F(R)\\
\quad \xi : よ^\vee_R \to F \In \cat{C}^\vee = [\cat{C}, {\bf Set}]\\
\quad \text{For }A \in |\cat{C}|\\
\quad \xi_A : よ^\vee_R(A) =\cat{C}(R, A) \to F(A) \In {\bf Set}\\
\quad \text{For }f \in \cat{C}(R, A)\\
\quad \xi_A(f : R\to A) := F(f)(x) \in F(A)
`$
テンソル積を定義するための双線形写像集合関手 $`T_{A, B}`$ に一般論を適用しましょう。順方向は、普遍元 $`t`$ を求めるために使いました。逆方向の記述は以下のようになります。
逆方向： $`T_{A,B}(A\otimes B) \ni s \mapsto \sigma \in {\bf FdVect}^\vee(よ^\vee_{A\otimes B}, T_{A,B})\text{ i.e. }\sigma = {\bf y}^{-1}(s)`$
$`\text{For given } s \in T_{A,B}(A\otimes B)\\
\quad \sigma : よ^\vee_{A\otimes B} \to T_{A,B} \In {\bf FdVect}^\vee = [{\bf FdVect}, {\bf Set}]\\
\quad \text{For }V \in |{\bf FdVect}|\\
\quad \sigma_V : よ^\vee_{A\otimes B}(V) = {\bf FdVect}(A\otimes B, V) \to T_{A,B}(V) \In {\bf Set}\\
\quad \text{For }f \in {\bf FdVect}(A\otimes B, V)\\
\quad \sigma_V(f : A\otimes B \to V) := T_{A, B}(f)(s) \in T_{A,B}(V)
`$
テンソル積の構造射 $`t`$ とは限らない任意の双線形写像 $`s:A\times B \to A\otimes B`$ を取ったとき、$`s`$ は、自然変換 $`\sigma : よ^\vee_{A\otimes B} \to T_{A,B}`$ を決めます。その自然変換の成分の具体的な表示は、$`f \mapsto T_{A, B}(f)(s)`$ で与えられますが、関手〈余前層〉 $`T_{A,B}`$ の定義から、
$`\quad f \mapsto T_{A, B}(f)(s) = s;f = s^*(f)`$
つまり、線形写像 $`f`$ に対する $`s`$ の“プレ結合による引き戻し”です。
特に $`s = t`$ としたときも同じことですから、普遍元である双線形写像 $`t`$ が他の双線形写像を生成するメカニズムは、線形写像 $`f`$ に対する $`t`$ の“プレ結合による引き戻し”です。
