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［参照用 記事］

だいたい圏になる： 概圏

雑記／備忘

「スパンの圏って定義できるの？」において、素朴に「スパンを射とみなす」だけでは圏にならないことを注意しました。しかし、“圏もどき”にはなっています。

スパンの圏以外でも、「けっこう圏に近い圏もどき」が出てきます。このとき、何の断りもなく圏扱いしてたりするのですが、それはいかがなもんでしょう？ 明示的に「圏ではない」と言うべきだと思います。圏ではないけど、だいたい圏とみなしていいんだよ、って話です。

「けっこう圏に近い圏もどき」「だいたい圏」*1を、ここでは概圏〈almost category〉と呼んで、（暗黙ではなくて）明示的に扱ってみます。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\twoto}{\Rightarrow }
\newcommand{\In}{\text{ in } }
\newcommand{\Imp}{ \Rightarrow }
\newcommand{\Iff}{\Leftrightarrow }
\newcommand{\hyp}{\text{－} }
%\newcommand{\op}{\mathrm{op} }
\newcommand{\id}{\mathrm{id} }
\require{color} % 緑色
\newcommand{\Keyword}[1]{ \textcolor{green}{\text{#1}} }%
\newcommand{\For}{\Keyword{For } }%
\newcommand{\Define}{\Keyword{Define } }%
\newcommand{\Where}{\Keyword{Where } }%
`$

[追記]
事例の記述がグダグダだったので修正をしました。が、もとの記述も残してあるので読みにくいかも知れません。別な記事として書き直しまた。

[/追記]

内容：

関連記事：

  1. 概圏の事例（整理して再度）
  2. 圏のサイズと緩さと豊穣圏

圏もどきの名前

ちょっと検索してみたのですが：

僕が思っている圏もどき概念には（たぶん）名前がないようなので、とりあえず概圏〈almost category〉としておきます。次節以降で概圏を定義します。

圏の定義（復習）

圏の構成素の記号ラベルを次のようだとします。

  1. $`\mrm{Obj}`$ ： 圏の対象の集合（小さくない集合かも知れない）
  2. $`\mrm{Mor}`$ ： 圏の射の集合（小さくない集合かも知れない）
  3. $`\mrm{dom}`$ ： 射に域を対応させる写像
  4. $`\mrm{cod}`$ ： 射に余域を対応させる写像
  5. $`\mrm{id}`$ ： 対象に恒等射を対応させる写像
  6. $`\mrm{comp}`$ ： 圏の結合演算を与える写像
  7. $`\mrm{assoc}`$ ： 結合演算の結合律
  8. $`\mrm{lunit}`$ ： 結合演算の左単位律
  9. $`\mrm{runit}`$ ： 結合演算の右単位律

実際の圏 $`\cat{C}`$ *2に対する構成素は次のように書くことにします。

  1. $`\mrm{Obj}(\cat{C}) \in |{\bf SET}|`$
  2. $`\mrm{Mor}(\cat{C}) \in |{\bf SET}|`$
  3. $`\mrm{dom}^\cat{C} : \mrm{Mor}(\cat{C}) \to \mrm{Obj}(\cat{C}) \In {\bf SET}`$
  4. $`\mrm{cod}^\cat{C} : \mrm{Mor}(\cat{C}) \to \mrm{Obj}(\cat{C}) \In {\bf SET}`$
  5. $`\mrm{id}^\cat{C} : \mrm{Obj}(\cat{C}) \to \mrm{Mor}(\cat{C}) \In {\bf SET}`$
  6. $`\mrm{comp}^\cat{C} : \mrm{Mor}(\cat{C}) \times \mrm{Mor}(\cat{C}) \supseteq\!\to \mrm{Mor}(\cat{C})\In {\bf SET}`$
  7. $`\mrm{assoc}^\cat{C}`$ （詳細略）
  8. $`\mrm{lunit}^\cat{C}`$ （詳細略）
  9. $`\mrm{runit}^\cat{C}`$ （詳細略）

$`\mrm{comp}^\cat{C}`$ は部分写像（記号 '$`\supseteq\!\to`$' を使った）ですが、ホムセットごとの写像の族〈ファミリー〉として書けば：

$`\For A, B, C\in \mrm{Obj}(\cat{C})\\
\quad {\mrm{comp}^\cat{C}}_{A, B, C} : \cat{C}(A,B)\times \cat{C}(B, C) \to \cat{C}(A, C) \In {\bf Set}`$

この定義が小さい集合達の集合圏 $`{\bf Set}`$ 内でなされているのは、圏 $`\cat{C}`$ を局所小〈locally small〉と仮定しているからです。

結合律、左単位律、右単位律の詳細は省略しますが、等式で定義されています。つまり、これらの法則〈律〉は等式的法則です。

概圏の定義

概圏〈almost category〉も、圏と同様に次の構成素を持ちます。

  1. $`\mrm{Obj}`$
  2. $`\mrm{Mor}`$
  3. $`\mrm{dom}`$
  4. $`\mrm{cod}`$
  5. $`\mrm{id}`$

これだけの構成素があれば、$`\cat{C}`$ のホムセットが定義できます。

$`\For A, B\in \mrm{Obj}(\cat{C})\\
\Define \cat{C}(A, B) := \{f \in \mrm{Mor}(\cat{C}) \mid \mrm{dom}^\cat{C}(f) = A \land \mrm{cod}^\cat{C}(f) = B \}
`$

このとき、ホムセットは小さいという条件は外します。つまり、概圏は局所小であることを要求しません。

概圏の結合演算 $`\mrm{comp}^\cat{C}`$ をホムセットごとの写像の族〈ファミリー〉として書けば：

$`\For A, B, C\in \mrm{Obj}(\cat{C})\\
\quad {\mrm{comp}^\cat{C}}_{A, B, C} : \cat{C}(A,B)\times \cat{C}(B, C) \to \cat{C}(A, C) \In {\bf SET}`$

局所小の条件を外しているので、環境となる圏は小さくない集合も含む $`{\bf SET}`$ です。$`\mrm{comp}^\cat{C}`$ の図式順中置演算子記号は '$`;`$' を使います。

概圏では、結合演算（と恒等射）に関する法則が等式として成立するとは限りません。この状況を定式化するために、各ホムセットごとに同値関係を要求します。$`\sim_{A, B}`$ がホムセット $`\cat{C}(A, B)`$ 上の同値関係だとします。この同値関係は、結合演算と協調します。つまり、次が成立します。

$`\For A, B, C \in \mrm{Obj}(\cat{C})\\
\For f, f' \in \cat{C}(A, B)\\
\For g, g' \in \cat{C}(B, C)\\
\quad f \sim_{A, B} f' \Imp f;g \sim_{A, C} f';g\\
\quad g \sim_{B, C} g' \Imp f;g \sim_{A, C} f;g'`$

上の条件を満たす同値関係を合同〈congruence〉といいます。特に明示する必要がなければ、$`\sim_{A, B}`$ の下付き $`A, B`$ は省略します。

さて、概圏における結合律、左単位律、右単位律は、等号ではなくて合同 $`\sim`$ によって記述されます。

$`\For f: A\to B, g: B \to C, h: C\to D \In \cat{C}\\
\quad (f;g);h \sim f;(g;h)\\
\For f: A\to B \In \cat{C}\\
\quad \id_A ; f \sim f\\
\quad f; \id_B \sim f
`$

概圏の要点は：

  1. ホムセットは小さくなくてもよい。
  2. ホムセットごとに同値関係を持つ。
  3. その同値関係は結合に対して合同になる。
  4. 法則は等式的でなくてもよくて、等号を合同に置き換えて成立する。

概圏の事例 1： スパンの圏

冒頭で触れたスパンの圏（集合が対象）は概圏の事例になります。この事例は「スパンの圏って定義できるの？」で扱っています。要点だけ再掲します。

スパンの圏（と呼ぶが、圏ではなくて概圏） $`{\bf Span}`$ の対象の集合（小さくない集合）は $`|{\bf Set}|`$ です。ホムセットも小さくない集合になります。（$`\mrm{Obj}(\hyp)`$ と $`|\hyp|`$ は同じです。）

$`\For A, B \in |{\bf Span}| = |{\bf Set}|\\
\Define {\bf Span}(A, B) :=
\sum_{X\in |{\bf Set}|} {\bf Set}(X, A) \times {\bf Set}(X, B)`$

これは、小さくない集合〈真に大きい集合〉 $`|{\bf Set}|`$ に渡る集合達の総直和です。集合族〈ファミリー〉の総直和はシグマ型と呼ぶので、これは“大きなシグマ型”と言えます。

$`{\bf Span}(A, B)`$ の要素 $`S`$ は $`S = (X, (f, g))`$ のように、スパンの頭部〈head〉と左右の脚〈legs〉の組として書きます。頭部や脚については「スパンの圏って定義できるの？」を見てください。

[追記]
上の定義は修正しました。

最初、$`{\bf Span}(A, B)`$ の定義は、

$`\quad \{ (f, g) \in \mrm{Mor}({\bf Set})^2 \mid
\exists X\in |{\bf Set}|.\, f\in {\bf Set}(X, A) \land g \in {\bf Set}(X, B) \}`$

でした。スパンの頭部 $`X`$ が存在記号のなかにあると、スパンから頭部を一意に取り出せることが保証できないので、この定義はよくありません。集合族の総直和〈シグマ型〉を使う定義に修正しました。

集合族の総直和〈シグマ型〉の要素は、依存ペア $`(X, (f, g))`$ として書くので、要素の書き方も $`(f, g)`$ から $`(X, (f, g))`$ に変更しました。
[/追記]

射の結合はファイバー積を使って定義します（詳細は「スパンの圏って定義できるの？」）。ファイバー積は一意には決まりませんが、そのなかからひとつだけ選択する関数が $`\mrm{comp}^{\bf Span}`$ です。

2つのスパン $`S, S'`$ が同値であることは次のように定義します。

$`\For A, B \in |{\bf Span}|\\
\For S = (X, (f,g)), S'= (X', (f', g'))\in {\bf Span}(A, B)\\
\Define S \sim_{A, B} S' :\Iff \\
\quad \exists \varphi \in \mrm{Isomor}({\bf Set}).\\
\qquad \varphi : X \to X' \In {\bf Set}\\
\qquad \land\; \varphi ; f' = f\\
\qquad \land\; \varphi ; g' = g
`$

ここで、$`\mrm{Isomor}({\bf Set})`$ は集合圏の同型射の集合です。つまりスパンが同値であるとは、2つのスパンの頭部〈heads〉が（集合として）同型なときです。この同値関係が合同であることは確認できます。スパンの結合が、上で定義した合同に関して結合律と左右の単位律を満たすこともファイバー積の性質から示せます。

[追記]
上の定義は修正しました。

最初、同型射 $`\varphi`$ の存在しか明示してなかったのですが、スパンの脚〈leg〉と $`\varphi`$ の（図式で描けば）可換性が要求されます。この可換性を暗黙に仮定していて、明示的に書いてませんでした。

「2つのスパンの頭部〈heads〉が（集合として）同型」という日本語文はもとのままです。不正確ですが、自然言語の説明は補助的なのでいいとします。
[/追記]

概圏の事例 2： 環境付き射の圏

$`\cat{C} = (\cat{C}, \otimes, I, \alpha, \lambda, \rho)`$ （記号の乱用）を局所小モノイド圏とします。対称性はなくてかまいません。モノイド圏 $`\cat{C}`$ から新しい概圏 $`\cat{D}`$ を作りましょう。

$`|\cat{D}| := |\cat{C}|`$ として、ホムセットは次のように定義します。

$`\For A, B \in |\cat{D}|\\
\Define \cat{D}(A, B) :=
\sum_{S\in |\cat{C}|} \cat{C}(S\otimes A, B)
`$

$`F \in \cat{D}(A, B)`$ に対して、定義のなかの $`S\in |\cat{C}|`$ は一意に決まるので、$`F = (S, f)`$ という書き方を採用します。$`S`$ を、射 $`F`$ の左環境対象〈left environment object〉と呼び、$`\cat{D}`$ の射を左環境付き射〈morphism with left environment〉と呼びます。右環境付き射も同様に定義できます。環境対象は、引数〈argument〉以外に与えられるパラメータだと考えることができます。

[追記]
上の定義は修正しました。

最初、$`\cat{D}(A, B)`$ の定義は、

$`\quad \{ f \in \mrm{Mor}(\cat{C}) \mid \exists S \in |\cat{C}|.\, f:S\otimes A \to B \In \cat{C} \}`$

でした。環境対象 $`S`$ が存在記号のなかにあると、環境付き射から環境対象を一意に取り出せることが保証できないので、この定義はよくありません。集合族の総直和〈シグマ型〉を使う定義に修正しました。

下の同値の定義も修正しています。
[/追記]

2つの左環境付き射 $`(S, f), (T, g)`$ が同値であることは次のように定義します。

$`\For A, B \in \cat{D}\\
\For (S, f), (T, g) \in \cat{D}(A, B)\\
\Define (S, f) \sim_{A, B} (T, g) :\Iff \\
\quad \exists \varphi \in \mrm{Isomor}(\cat{C}).\\
\qquad \varphi : S \to T \In \cat{C}\\
\qquad \land\; f = (\varphi\otimes \id_A); g
`$

左環境付き射の結合と恒等左環境付き射は次のように定義します。

$`\For (S, f):A \to B, (T, g): B \to C \In \cat{D}\\
\Define (S, f);(T,g) := (T\otimes S, h ) \\
\Where h := (\, \alpha_{T, S, A} ;(\id_T \otimes f); g : (T\otimes S) \otimes A \to C \In \cat{C}
\,)\\
\For A \in |\cat{D}|\\
\Define \id_A = (I, h)\\
\Where h := (\, \lambda_A : I \otimes A \to A \In \cat{C}\,)
`$

$`\cat{C}`$ が小さい圏でないなら、$`\cat{D}`$ のホムセットは小さくはありません。また、$`\cat{C}`$ が厳密モノイド圏でないなら、結合と恒等の法則は厳密には（等式的には）成立しません。

概圏の事例 3： 状態付き射の圏

$`\cat{C} = (\cat{C}, \otimes, I, \alpha, \lambda, \rho, \sigma)`$ （記号の乱用）を局所小対称モノイド圏とします。対称モノイド圏 $`\cat{C}`$ から新しい概圏 $`\cat{D}`$ を作りましょう。

$`|\cat{D}| := |\cat{C}|`$ として、ホムセットは次のように定義します。

$`\For A, B \in |\cat{D}|\\
\Define \cat{D}(A, B) :=
\sum_{S \in |\cat{C}|} \cat{C}(S \otimes A, S \otimes B)
`$

$`F \in \cat{D}(A, B)`$ に対して、定義のなかの $`S\in |\cat{C}|`$ は一意に決まるので、$`F = (S, f)`$ という書き方を採用します。前節の環境付き射と似てますが、今度は $`S`$ が域にも余域にも（モノイド積の意味で）掛け算されます。

$`S`$ を、射 $`F`$ の状態対象〈state object〉と呼び、$`\cat{D}`$ の射を状態付き射〈morphism with state〉と呼びます。左状態対象と右状態対象の区別はあります。が、$`\cat{C}`$ が対称モノイド圏なので、左状態対象と右状態対象を交換することができます。よって、左右の区別に神経質になる必要はありません。状態対象は、引数〈argument〉以外に与えられる状態空間だと考えることができます。

[追記]
上の定義は修正しました。

最初、$`\cat{D}(A, B)`$ の定義は、

$`\quad \{ f \in \mrm{Mor}(\cat{C}) \mid \exists S \in |\cat{C}|.\, f:S\otimes A \to S\otimes B \In \cat{C} \}`$

でした。状態対象 $`S`$ が存在記号のなかにあると、状態付き射から状態対象を一意に取り出せることが保証できないので、この定義はよくありません。集合族の総直和〈シグマ型〉を使う定義に修正しました。

下の同値の定義も修正しています。
[/追記]

2つの状態付き射 $`(S, f), (T, g)`$ が同値であることは次のように定義します。

$`\For A, B \in \cat{D}\\
\For (S, f), (T, g) \in \cat{D}(A, B)\\
\Define (S, f) \sim_{A, B} (T, g) :\Iff \\
\quad \exists \varphi \in \mrm{Isomor}(\cat{C}).\\
\qquad \varphi : S \to T \In \cat{C}\\
\qquad \land\; f = (\varphi \otimes \id_A); g ; (\varphi^{-1} \otimes \id_B)
`$

状態付き射の結合と恒等状態付き射は次のように定義します。一見複雑そうですが、ストリング図で見ればそうでもありません（というか、ストリング図描かないと間違えます）。

$`\For (S, f):A \to B, (T, g): B \to C \In \cat{D}\\
\Define (S, f);(T, g) := (T\otimes S, h )\\
\Where h := (\, \\
\quad \alpha_{T, S, A}; (\id_T \otimes f);(\id_T \otimes \sigma_{S, B}); (\alpha_{T,B,S})^{-1} ;
(g \otimes \id_S); \alpha_{T, C, S} ;
(\id_T \otimes \sigma_{C, S}) ; (\alpha_{T, S, C})^{-1} \\
\quad : (T\otimes S)\otimes A \to (T\otimes S)\otimes C \\
\In \cat{C} \,)\\
\For A \in |\cat{D}|\\
\Define \id_A := (I, h)\\
\Where h := (\, \id_I \otimes \id_A : I \otimes A \to I \otimes A \In \cat{C}\,)
`$

$`\cat{C}`$ から $`\cat{D}`$ を作る行為は、ダイアレクト構成〈dialect construction〉と呼ばれる構成法の一部です。

概圏について色々

概圏にもモノイド構造を定義することができます。事例に挙げた（集合を対象とする）スパンの圏、（左または右）環境付き射の圏、状態付き射の圏では、もとになった圏のモノイド構造を使ってモノイド構造を入れることができます。つまり、モノイド概圏〈monoidal almost category〉という概念が定義可能です。

2つの概圏のあいだに“関手もどき”を定義できます。概関手〈almost functor〉とでも呼べばいいでしょうか。概圏上のモノイド積は、二項概関手として定義できるでしょう。

概圏のホムセットには同値関係が載っているので、ホムセットごとに商集合を作れます。同値関係が合同になっているので、ホムセットの商集合達に結合演算を定義することができます。そうして作られる厳密な（等式的法則を満たす）概圏を商概圏〈quotient almost category〉と呼びましょう。商概圏はもはや圏と呼んでもいいのですが、局所小になることは保証できません。もし局所小になれば、どこに出しても恥ずかしくない圏になります。

概圏は、亜集合〈セットイド | setoid〉で豊穣化された圏類似構造と言えます。亜集合の一般化として亜群〈groupoid〉があります。となると、亜群で豊穣化して概圏を一般化することができます。が、それはもう(∞, 1)-圏だと言ってもいいので、概圏の話は結局(∞, 1)-圏の議論に吸収されるのかも知れません。

*1:代替圏ではありません。代替圏は「モナド論をヒントに圏論をする（弱2-圏の割と詳しい説明付き）」に出てきます。

*2:圏を定義する指標に対するモデルが実際の圏です。