「双線形写像集合関手の表現可能性とテンソル積の普遍性」で、ベクトル空間のテンソル積を事例として、表現可能関手と普遍元の話をしました。テンソル積より簡単でお馴染みな例がありますね。デカルト圏における指数対象〈exponential object〉です。これは、ラムダ計算の圏論的な定式化で使うものです。
用語と記法は、「双線形写像集合関手の表現可能性とテンソル積の普遍性」で定義したものをそのまま使います。（[追記]「普遍ナントカ」という言葉に関しては、「双線形写像集合関手の表現可能性とテンソル積の普遍性」の冒頭追記を参照してください。[/追記]）$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
%\newcommand{\Imp}{ \Rightarrow }
\newcommand{\In}{ \text{ in } }
\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\op}{\mathrm{op}}
\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
\newcommand{\hyp}{\text{－}}
%\newcommand{\Iff}{\Leftrightarrow}
`$
内容：
反変関手の表現可能性と指数対象
$`\cat{C}`$ をデカルト圏とします（より一般的なモノイド圏でも同じ議論ができます）。2つの（同一でもかまわない）対象 $`A, B\in |\cat{C}|`$ を選んで次の反変関手を考えます。
$`\quad E_{A, B} := \cat{C}(\hyp \times A, B) : \cat{C}^\op \to {\bf Set} \In {\bf CAT}`$
もし、この関手が表現可能で、$`R`$ が表現対象なら、次の同型が成立します。
$`\text{For }X \in |\cat{C}|\\
\quad E_{A,B}(X) = \cat{C}(X \times A, B) \cong \cat{C}(X, R) \In {\bf Set}`$
カリー同型（カリー化／反カリー化）を考えると、表現対象 $`R`$ は指数対象 $`B^A`$ となるはずです。つまり、反変関手〈前層〉 $`E_{A,B}`$ の表現を考えることは、$`A, B`$ の指数対象を定義するセッティングを与えます。
反変関手 $`E_{A,B}`$ に対する表現対象・普遍性ペアを $`(R, \gamma)`$ とします。次の自然同型があることになります。
$`\quad \gamma : よ^R \overset{\cong}{\to} E_{A, B} \In [\cat{C}^\op, {\bf Set}] = \cat{C}^\wedge`$
$`R = B^A`$ と書いてみれば、普遍性 $`\gamma`$ が反カリー化で、普遍性の逆 $`\gamma^{-1}`$ がカリー化になります。
$`\text{For }X \in |\cat{C}|\\
\quad \gamma_X : よ^R(X) = \cat{C}(X, B^A) \overset{\cong}{\to} \cat{C}(X\times A, B) = E_{A, B}(X)\\
\quad \gamma^{-1}_X : E_{A, B}(X) = \cat{C}(X\times A, B) \overset{\cong}{\to} \cat{C}(X, B^A) = よ^R(X)
`$
“指数対象 ＝ 反変関手 $`E_{A, B}`$ の表現対象”が存在するかどうかは、個別のケースによりけりです。
普遍元とベータ等式
反変関手 $`E_{A, B}`$ の表現〈表現対象・普遍性ペア〉 $`(R, \gamma)`$ から普遍元を得るには、米田写像による $`\id_R`$ の値を計算すればいいのでした。
$`\quad {\bf y}: \cat{C}^\wedge(よ^R, E_{A, B}) \overset{\cong}{\to} E_{A,B}(R) \In {\bf Set}\\
\quad {\bf y}(\gamma) = \gamma_R(\id_R) \in E_{A, B}(R) = \cat{C}(R\times A, B)
`$
普遍元 $`\gamma_R(\id_R)`$ は、反カリー化 $`\gamma`$ による $`\id_R = \id_{B^A}`$ に対する値です。これは、（後知恵から）実は評価射です。
$`\quad \gamma_R(\id_R) = \gamma_{B^A}(\id_{B^A}) = \mrm{eval}_{A, B} : B^A \times A \to B \In \cat{C}`$
同じことですが、
$`\quad \gamma_R(\id_R) = \gamma_{B^A}(\id_{B^A}) = \mrm{eval}_{A, B}\in \cat{C}(B^A \times A , B) = E_{A, B}(B^A)`$
$`R = B^A`$ と書いて、反変関手〈前層〉 $`E_{A, B}`$ の表現を表現対象・普遍元ペアで表すと $`(B^A, \mrm{eval}_{A, B})`$ となります。
反変関手 $`E_{A, B}`$ の値である集合 $`E_{A, B}(X)`$ の要素は、普遍元と $`\cat{C}`$ の射を組み合わせて書けるはずです。$`E_{A, B}(X) = \cat{C}(X\times A, B)`$ の要素 $`u`$ は“二変数関数”ですが、カリー化で得られる“高階関数” $`\gamma^{-1}(u) \in \cat{C}(X, B^A)`$ と普遍元である評価射 $`\mrm{eval}_{A, B}`$ で再現できます。そのことは次のように書けます。
$`\quad u = (\gamma^{-1}(u) \times \id_A) ; \mrm{eval}_{A, B} : X\times A \to B \In \cat{C}`$
これは、ラムダ計算におけるベータ等式です。
逆米田写像
「双線形写像集合関手の表現可能性とテンソル積の普遍性」と同様に、米田写像 $`{\bf y}`$ の逆についても見ておきましょう。
$`\quad {\bf y}^{-1} : E_{A,B}(B^A) \overset{\cong}{\to} \cat{C}^\wedge(よ^{B^A}, E_{A, B}) \In {\bf Set}`$
あるいは、$`\cat{C}^\wedge`$ を（自然変換の集合なので） $`\mrm{Nat}`$ と書いて：
$`\quad {\bf y}^{-1} : \cat{C}(B^A\times A, B) \overset{\cong}{\to} \mrm{Nat}(
\cat{C}(\hyp, {B^A}), \cat{C}(\hyp \times A, B) ) \In {\bf Set}`$
評価射 $`\mrm{eval}_{A, B}`$ とは限らない任意の射 $`a: B^A\times A \to B`$ は、自然変換 $`{\bf y}^{-1}(a) = \alpha : よ^{B^A} \to E_{A, B}`$ を決めます。その自然変換の$`X`$-成分 $`\alpha_X`$ の具体的な表示は次で与えられます。
$`\quad よ^{B^A}(X) = \cat{C}(X, B^A) \ni f \mapsto \\
\qquad E_{A, B}(f)(a) = \cat{C}(f\times A, B)(a) = (f\times \id_A); a \in \cat{C}(X\times A, B)
= E_{A, B}(X)
`$
短く書けば：
$`\quad \alpha_X(f) = (f \times \id_A); a`$
$`a`$ として特に評価射 $`\mrm{eval}_{A, B}`$ を取ったときが反カリー化 $`\gamma`$ です。
$`\quad \gamma_X(f) = (f \times \id_A); \mrm{eval}_{A, B}`$
