圏論的な普遍構成の代表的な例

圏論的な普遍構成は色々な場面で使われますが、代表的・典型的な例を幾つか挙げます。普遍構成と普遍性に関する復習もあります。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} }
\newcommand{\In}{\text{ in }}
\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\u}[1]{\underline{#1}}
\newcommand{\hyp}{\text{－} }
\newcommand{\id}{\mathrm{id} }
%\newcommand{\twoto}{\Rightarrow }
\newcommand{\op}{\mathrm{op} }
\newcommand{\For}{\text{For } }
\newcommand{\Imp}{\Rightarrow }
`$

内容：

米田埋め込みと米田の補題

$`\cat{C}`$ は局所小圏として、$`\cat{C}`$ を前層の圏 $`[\cat{C}^\op , {\bf Set}]`$ に埋め込む米田埋め込み〈Yoneda embedding〉があります。

$`\quad {^\cat{C}よ} : \cat{C} \to [\cat{C}^\op, {\bf Set}] \In {\bf CAT}`$

$`\cat{C}`$ を余前層の圏 $`[\cat{C} , {\bf Set}]`$ に埋め込む反変米田埋め込み〈contravariant Yoneda embedding〉*1は次のように書きます。

$`\quad {^\cat{C}よ^\vee} : \cat{C}^\op \to [\cat{C}, {\bf Set}] \In {\bf CAT}`$

これは、$`\cat{C}`$ をその“余前層＝共変関手”の圏に埋め込む反変関手です（反変・共変がややこしい）。次のようにすれば共変関手となります。（関手に対する $`\hyp^\op`$ については、「状態遷移系としての前層・余前層・プロ関手 // 捻じれ対のテキスト表示と図示」の後半を見てください。）

$`\quad ({^\cat{C}よ^\vee})^\op : \cat{C} \to [\cat{C}, {\bf Set}]^\op \In {\bf CAT}`$

対象 $`A \in |\cat{C}|`$ の米田埋め込みによる値（値は反変関手）は、次のような色々な書き方で書かれます。

1. $`{^\cat{C}よ}^A = よ^A`$
2. $`\cat{C}(\hyp, A)`$
3. $`A^y`$
4. $`h_A`$

対象 $`B \in |\cat{C}|`$ の反変米田埋め込みによる値（値は共変関手）は次のようです。

1. $`{^\cat{C}よ}^\vee_B = よ^\vee_B`$
2. $`\cat{C}(B, \hyp)`$
3. $`y^B`$
4. $`h^B`$

反変バージョン〈前層バージョン〉の米田の補題〈Yoneda lemma〉は次の形に書けます。

$`\quad \mrm{Nat}(よ^A, F) \cong F(A)`$

共変バージョン〈余前層バージョン〉の米田の補題〈Yoneda lemma for covariant functors〉は次の形です。

$`\quad \mrm{Nat}(よ^\vee_B, G) \cong G(B)`$

情報をより詳しく書けば：

$`\quad [\cat{C}^\op, {\bf Set}]({^\cat{C} よ^A}, F) \cong F(A) \In {\bf Set}\\
\quad [\cat{C}, {\bf Set}]({^\cat{C} よ^\vee_B}, G) \cong G(B) \In {\bf Set}
`$

これらの同型を与える写像（米田写像）をどちらも $`{\bf y}`$ で表します（記号のオーバーロード）。

米田の補題については、以下の過去記事で書いています。

• ニンジャ米田の補題と本家・米田の補題
• 米田の補題とストリング図
• 大域米田の補題

表現可能な関手

$`F:\cat{C}^\op\to {\bf Set}`$ を前層（反変関手）として、次のような自然同型（関手圏における同型）が成立するとき、前層 $`F`$ は表現可能〈representable〉であるといいます。

$`\text{For some }A \in |\cat{C}|\\
\quad よ^A \cong F \In [\cat{C}^\op, {\bf Set}]
`$

対象 $`A\in |\cat{C}|`$ を、前層 $`F`$ の表現対象〈representing object〉といいます。表現対象が存在すれば、同型を除いて〈up-to-iso で〉一意的です。次の言い方もします。

• 前層 $`F`$ は、対象 $`A`$ により表現される。
• 対象 $`A`$ は、前層 $`F`$ を表現する。

上記の自然同型を与える自然変換を $`\varphi`$ とします。

$`\quad \varphi : よ^A \overset{\cong}{\to} F \In [\cat{C}^\op, {\bf Set}]\\
\text{i.e. } \varphi \in \mrm{Nat}(よ^A, F) \, \land\, \varphi \text{ is iso.}
`$

反変バージョンの米田の補題から、$`\varphi`$ に対応する $`F(A)`$ の要素が唯一つ決まるので、それを $`a`$ とします。自然変換 $`\varphi`$ を表現自然変換〈representing natural transformation〉、$`a \in F(A)`$ を（表現の）普遍元〈universal element〉と呼びます。

以上に出てきた構成素達をまとめた $`(F, A, \varphi, a)`$ をひとつの系〈システム | 構造〉とみなして、前層（反変関手）の表現系〈representation system〉と呼ぶことにします。

$`G:\cat{C}\to {\bf Set}`$ を余前層（共変関手）として、同様なことを考えます。余前層 $`G`$ が余表現可能〈corepresentable〉であるとは次が成立することです。

$`\text{For some }B \in |\cat{C}|\\
\quad よ^\vee_B \cong G \In [\cat{C}, {\bf Set}]
`$

対象 $`B\in |\cat{C}|`$ を、余前層 $`G`$ の余表現対象〈corepresenting object〉といいます。余表現対象が存在すれば、同型を除いて〈up-to-iso で〉一意的です。次の言い方もします。

• 余前層 $`G`$ は、対象 $`B`$ により余表現される。
• 対象 $`B`$ は、余前層 $`G`$ を余表現する。

上記の自然同型を与える自然変換を $`\psi`$ とします。

$`\quad \psi : よ^\vee_B \overset{\cong}{\to} G \In [\cat{C}, {\bf Set}]\\
\text{i.e. } \psi \in \mrm{Nat}(よ^\vee_B, G) \, \land\, \psi \text{ is iso.}
`$

共変バージョンの米田の補題から、$`\psi`$ に対応する $`G(B)`$ の要素が唯一つ決まるので、それを $`b`$ とします。自然変換 $`\psi`$ を余表現自然変換〈corepresenting natural transformation〉、$`b \in G(B)`$ を（余表現の）余普遍元〈couniversal element〉と呼びます。

$`(G, B, \psi, b)`$ を余前層（共変関手）の余表現系〈corepresentation system〉と呼ぶことにします。

余前層（共変関手）の場合は接頭辞「余」を付けましたが、反変も共変も特に区別しないことも多いです。その場合は、余表現＝表現、余表現対象＝表現対象、余表現自然変換＝表現自然変換、余普遍元＝普遍元 です。「余」を付けない方式はちょっと曖昧になります。

この節と同様な内容を以下の過去記事でも書いています。

• 双線形写像集合関手の表現可能性とテンソル積の普遍性
• 表現可能関手と普遍元の例、ラムダ計算から
• 関手の表現可能性と、要素の圏の終対象・始対象
• 圏論の普遍性が難しい理由

普遍構成と普遍性

与えられた前層（反変関手） $`F`$ または余前層（共変関手） $`G`$ に対して、$`F`$ を含む表現系 $`(F, A, \varphi, a)`$、あるいは、$`G`$ を含む余表現系 $`(G, B, \psi, b)`$ を構成することを普遍構成〈universal construction〉と呼びます。

「普遍性〈universal property〉」という言葉は曖昧で、なんだかよく分からないのですが（「圏論の普遍性が難しい理由」参照）、表現系／余表現系が持つ次のような性質を言っているようです。

• 対象 $`A`$／対象 $`B`$ が、前層 $`F`$／余前層 $`G`$ を表現／余表現すること。
• 自然変換 $`\varphi`$／$`\psi`$ が自然同型〈可逆な自然変換〉であること。
• 表現／余表現に対して、普遍元 $`a`$／余普遍元 $`b`$ が一意的に決まること。

いずれにしても、前層 $`F`$ または 余前層 $`G`$ を与えて、うまく普遍構成ができれば、興味深い対象／自然変換／要素である $`(A, \varphi, a)`$／$`(B, \psi, b)`$ が手に入るわけです。

普遍構成の事例として、次のようなモノを定義してみます。

1. 終対象と始対象
2. 直積と直和
3. 等化子と余等化子
4. 核と余核
5. 極限と余極限
6. 可換環の局所化
7. モノイドの台集合

次の過去記事でも関連する話題を扱っています。

• アドホック随伴系と自由対象・台対象
• カン拡張の普遍性とは？

終対象と始対象

前層 $`F:\cat{C}^\op \to {\bf Set}`$ を次のように定義します。$`{\bf 1}`$ は特定された単元集合です。

$`\For X \in |\cat{C}|\\
\quad F(X) := {\bf 1} \;\in |{\bf Set}|\\
\For f:X \to Y \In \cat{C}\\
\quad F(f) := (\id_{\bf 1} : {\bf 1} \to {\bf 1} \In{\bf Set})
`$

$`F`$ の表現対象 $`A`$ が在れば、次が成立するはずです。

$`\For X \in |\cat{C}|\\
\quad \cat{C}(X, A)\cong F(X) \In {\bf Set}
`$

$`F(X)`$ の定義から：

$`\For X \in |\cat{C}|\\
\quad \cat{C}(X, A) \cong {\bf 1} \In {\bf Set}
`$

これは次を意味します。

• 任意の対象 $`X \in |\cat{C}|`$ から表現対象 $`A`$ への射は唯一つだけ。

よって、前層 $`F`$ の表現対象 $`A`$ とは、圏 $`\cat{C}`$ の終対象〈{terminal | final} object〉です。終対象を $`1 = 1_\cat{C}`$ と書くことにします。表現自然変換の成分は次のようです。

$`\quad \varphi_X : \cat{C}(X, 1) \overset{\cong}{\to} {\bf 1} \In {\bf Set}`$

$`\varphi`$ を米田写像（米田の補題の同型を与える写像） $`{\bf y}`$ で移すと：

$`\quad a := {\bf y}(\varphi) = \varphi_{ 1}(\id_1) \;\in {\bf 1}`$

$`{\bf 1}`$ が単元集合なので、あまり意味はありませんが、単元集合の唯一の要素が普遍元 $`a`$ です。

余前層 $`G:\cat{C} \to {\bf Set}`$ を $`F`$ と同様に定義します。余表現対象を $`B`$ とすれば：

$`\For X \in |\cat{C}|\\
\quad \cat{C}(B, X) \cong {\bf 1} \In {\bf Set}
`$

余前層 $`G`$ の余表現対象 $`B`$ とは、圏 $`\cat{C}`$ の始対象〈initial object〉です。余表現自然変換と余普遍元は自明です。

直積と直和

$`S, T \in |\cat{C}|`$ を選んで固定して、前層 $`F:\cat{C}^\op \to {\bf Set}`$ を次のように定義します。

$`\For X \in |\cat{C}|\\
\quad F(X) := \cat{C}(X, S)\times \cat{C}(X, T) \;\in |{\bf Set}|\\
\For f:X \to Y \In \cat{C}\\
\quad F(f) := \\
\quad\: ( \cat{C}(f, S)\times \cat{C}(f, T) : \cat{C}(Y, S)\times \cat{C}(Y, T) \to
\cat{C}(X, S)\times \cat{C}(X, T) ) \In{\bf Set}
`$

$`\cat{C}(f, A)`$ については「ホム関手とサンドイッチ結合」を見てください。

$`F`$ の表現対象 $`A`$ が在れば、次が成立するはずです。

$`\For X \in |\cat{C}|\\
\quad \cat{C}(X, A)\cong F(X) \In {\bf Set}
`$

$`F(X)`$ の定義から：

$`\For X \in |\cat{C}|\\
\quad \cat{C}(X, A) \cong \cat{C}(X, S)\times \cat{C}(X, T) \In {\bf Set}
`$

これは次を意味します。

• 任意の対象 $`X \in |\cat{C}|`$ から表現対象 $`A`$ への射と、“$`X`$ から $`S`$ への射”と“$`X`$ から $`T`$ への射”のペアは、一対一に対応する。

表現対象 $`A`$ が何であるかだいたい見当はつくと思いますが、表現自然変換 $`\varphi`$ と普遍元 $`a`$ を計算しましょう。

表現自然変換の成分は次のようです。

$`\quad \varphi_X : \cat{C}(X, A) \overset{\cong}{\to} \cat{C}(X, S)\times \cat{C}(X, T) \In {\bf Set}`$

$`\varphi`$ を米田写像 $`{\bf y}`$ で移すと：

$`\quad a := {\bf y}(\varphi) = \varphi_{A}(\id_A) \;\in \cat{C}(A, S)\times \cat{C}(A, T)`$

$`a`$ はペアなので、次のように書けます。

$`\quad a = (a_1, a_2) \text{ where }a_1 \in \cat{C}(A, S), a_2 \in \cat{C}(A, T)`$

この普遍元 $`a`$ に対して、逆米田写像 $`{\bf y}^{-1}`$ により表現自然変換 $`\varphi`$ が得られます。逆米田写像の計算公式は次です。

$`\For X \in |\cat{C}|\\
\quad \varphi_X = {\bf y}^{-1}(a)_X = \lambda\, u\in \cat{C}(X, A). F(u)(a)`$

$`F(u)(a)`$ を具体的に書けば：

$`\quad F(u) = \cat{C}(u, S)\times \cat{C}(u, T)\\
\quad F(u)( (a_1, a_2) ) = (\cat{C}(u, S) \times \cat{C}(u, T) )( (a_1, a_2) )\\
\quad = ( \cat{C}(u, S)(a_1), \cat{C}(u, T)(a_2) )\\
\quad = ( u;a_1, u; a_2 )
`$

したがって、次のように書けます。

$`\For X \in |\cat{C}|\\
\quad \varphi_X : \cat{C}(X, A) \to \cat{C}(X, S) \times \cat{C}(X, T)\\
\quad \varphi_X(u) = ( u;a_1, u; a_2 ) \;\in \cat{C}(X, S) \times \cat{C}(X, T)
`$

$`a_1, a_2`$ だと“気分が出ない”ですが、次のように書いたらどうでしょう。

$`\quad a_1 = \pi_1 = \pi^{S, T}_1\\
\quad a_2 = \pi_2 = \pi^{S, T}_2
`$

そう、$`\cat{C}(A, S) \times \cat{C}(A, T)`$ のなかの普遍要素 $`(a_1, a_2)`$ は第一射影と第二射影のペア $`(\pi_1, \pi_2)`$ なのです。$`u \leftrightarrow (u;\pi_1, u; \pi_2)`$ という一対一対応は、射 $`u:X \to A`$ を2つの成分 $`(u_1, u_2)`$ に分ける対応だったわけです。

以上に述べたことをまとめると：

• $`u\in \cat{C}(X, A)`$ と $`(u_1, u_2) \in \cat{C}(X, S)\times \cat{C}(X, T)`$ は一対一に対応する。
• その対応は、$`u \mapsto (u;\pi_1, u; \pi_2)`$ で与えられる。$`(\pi_1, \pi_2) \in \cat{C}(A, S)\times \cat{C}(A, T)`$ は表現の普遍元。

これはつまり、設定した前層 $`F = F^{S, T}`$ の表現対象は $`S,T`$ の直積対象〈direct product object〉であり、普遍元 $`(\pi_1, \pi_2)`$ は直積の射影であることになります。

同じ $`S, T \in |\cat{C}|`$ に対して、今度は余前層 $`G:\cat{C} \to {\bf Set}`$ を次のように定義します。

$`\For X \in |\cat{C}|\\
\quad G(X) := \cat{C}(S, X)\times \cat{C}(T, X) \;\in |{\bf Set}|\\
\For f:X \to Y \In \cat{C}\\
\quad G(f) := \\
\quad\: ( \cat{C}(S, f)\times \cat{C}(T, f) : \cat{C}(S, X)\times \cat{C}(T, X) \to
\cat{C}(S, Y)\times \cat{C}(T, Y) ) \In{\bf Set}
`$

前層 $`F`$ の場合と同様な議論をすると、余表現対象 $`B`$ と余表現自然変換 $`\psi`$ と余普遍元 $`b`$ は次のように書けます。

$`\quad \psi_X : \cat{C}(B, X) \overset{\cong}{\to}
\cat{C}(S, X)\times \cat{C}(T, X)\\
\quad b := {\bf y}(\psi) = \psi_B(\id_B) \;\in \cat{C}(S, X)\times \cat{C}(T, X)\\
\quad b = (b_1, b_2) \text{ where }b_1 \in \cat{C}(S, X), b_1 \in \cat{C}(T, X)
`$

余表現自然変換 $`\psi`$ の具体的な表示は：

$`\For X \in |\cat{C}|\\
\quad \psi_X : \cat{C}(B, X) \to \cat{C}(S, X) \times \cat{C}(T, X)\\
\quad \psi_X(u) = ( b_1; u, b_2; u ) \;\in \cat{C}(S, X) \times \cat{C}(T, X)
`$

$`b_1, b_2`$ は直和の入射〈余射影〉となります。

$`\quad b_1 = \iota_1 = \iota^{S, T}_1\\
\quad b_1 = \iota_2 = \iota^{S, T}_2
`$

設定した余前層 $`G=G^{S,T}`$ の余表現対象は $`S,T`$ の直和対象〈direct sum object〉であり、余普遍元 $`(\iota_1, \iota_2)`$ は直和の入射〈余射影〉であることになります。

等化子と余等化子

$`S, T \in |\cat{C}|`$ と $`i, j: S\to T \In \cat{C}`$ を選んで固定して、前層 $`F:\cat{C}^\op \to {\bf Set}`$ を次のように定義します。

$`\For X \in |\cat{C}|\\
\quad F(X) := \{ g \in \cat{C}(X, S) \mid g;i = g;j \} \;\in |{\bf Set}|\\
\For f:X \to Y \In \cat{C}\\
\quad F(f) := \lambda\, h \in F(Y).(\, f;h \; \in F(X)\,)
`$

図式で描くと：

$`\quad \xymatrix{
X \ar[dr]^{F(f)(h)} \ar[d]_{f}
& {}
& {}
\\
Y \ar[r]^{h}
& S \ar@/^/[r]^{i} \ar@/_/[r]_{j}
& T
}\\
\quad \text{commutative except } i = j\\
\quad \In \cat{C}
`$

念のために言うと、$`i, j`$ は任意です。文字の“雰囲気”からモノ射と感じる人がいるかも知れませんが、そんな条件はないです。

上の定義が well-defined であるためには、$`h\in F(Y) \Imp f;h \in F(X)`$ が必要ですが、それはすぐに分かるでしょう。

$`F`$ の表現対象 $`A`$ が在れば、次が成立するはずです。

$`\For X \in |\cat{C}|\\
\quad \cat{C}(X, A)\cong F(X) \In {\bf Set}
`$

$`F(X)`$ の定義から：

$`\For X \in |\cat{C}|\\
\quad \cat{C}(X, A) \cong \{ g \in \cat{C}(X, S) \mid g;i = g;j \}\In {\bf Set}
`$

これは次を意味します。

• 任意の対象 $`X \in |\cat{C}|`$ から表現対象 $`A`$ への射と、$`X`$ から $`S`$ への射であって「$`g;i = g;j`$」を満たすものは、一対一に対応する。

表現自然変換 $`\varphi`$ と普遍元 $`a`$ を計算しましょう。表現自然変換の成分は次のようです。

$`\quad \varphi_X : \cat{C}(X, A) \to \{ g \in \cat{C}(X, S) \mid g;i = g;j \} \In {\bf Set}`$

$`\varphi`$ を米田写像 $`{\bf y}`$ で移すと：

$`\quad a := {\bf y}(\varphi) = \varphi_{A}(\id_A) \;\in \{ g \in \cat{C}(A, S) \mid g;i = g;j \}`$

この場合の表現対象は $`i, j`$ の等化子〈equalizer | 等値核 | イコライザー〉で、普遍元は等化子から $`S`$ への射です。表現対象を $`\mrm{Eq}(i, j)`$ 、普遍元を $`\mrm{eq}_{i, j}`$ と書くことにします。

$`\quad \mrm{eq}_{i, j} : \mrm{Eq}(i, j) \to S \In \cat{C}`$

$`\mrm{Eq}(i, j), \mrm{eq}_{i, j}`$ の特徴は上に述べたとおりです。

同じ $`S, T, i, j`$ に対して、今度は余前層 $`G: \cat{C} \to {\bf Set}`$ を次のように定義します。

$`\For X \in |\cat{C}|\\
\quad G(X) := \{ g \in \cat{C}(T, X) \mid i;g = j;g \} \;\in |{\bf Set}|\\
\For f:X \to Y \In \cat{C}\\
\quad G(f) := \lambda\, h \in G(X).(\, h;f \; \in G(Y)\,)
`$

図式で描くと：

$`\quad \xymatrix{
S \ar@/^/[r]^{i} \ar@/_/[r]_{j}
& T \ar[r]^{h} \ar[rd]_{G(f)(h)}
& X \ar[d]^{f}
\\
{}
& {}
& Y
}\\
\quad \text{commutative except } i = j\\
\quad \In \cat{C}
`$

等化子と同様な（しかし双対な）議論により、余前層 $`G`$ の余表現対象である、$`i, j`$ の余等化子〈coequalizer | 余等値核 | コイコライザー〉と、普遍元である“$`T`$ から余等化子への射”が得られます。余表現対象を $`\mrm{Coeq}(i, j)`$ 、余普遍元を $`\mrm{coeq}_{i, j}`$ と書くことにします。

$`\quad \mrm{coeq}_{i, j} : T \to \mrm{Coeq}(i, j) \In \cat{C}`$

余等化子は、等化子と双対的な特徴付けを持ちます。集合圏における余等化子〈コイコライザー〉の具体的な作り方は次で述べています。

• プロ関手のコエンド同値関係 // コイコライザー
• コイコライザーの同値関係をより具体的に

核と余核

適当な体 $`K`$ を選んで、$`K`$-ベクトル空間の圏 $`{\bf Vect}_K`$ を考えます。以下、スカラー体 $`K`$ は省略して、$`{\bf Vect} = {\bf Vect}_K`$ とします。

$`S, T \in |{\bf Vect}|`$ と $`k: S \to T \In {\bf Vect}`$ を選んで固定して、前層 $`F:
{\bf Vect}^\op \to {\bf Set}`$ を次のように定義します。

$`\For X \in |{\bf Vect}|\\
\quad F(X) := \{ g \in {\bf Vect}(X, S) \mid g;k= 0 \} \;\in |{\bf Set}|\\
\For f:X \to Y \In {\bf Vect}\\
\quad F(f) := \lambda\, h \in F(Y).(\, f;h \; \in F(X)\,)
`$

図式で描くと：

$`\quad \xymatrix{
X \ar[dr]^{F(f)(h)} \ar[d]_{f}
& {}
& {}
\\
Y \ar[r]^{h}
& S \ar[r]^{k}
& T
}\\
\quad \text{commutative in } {\bf Vect}
`$

上の定義が well-defined であるためには、$`h\in F(Y) \Imp f;h \in F(X)`$ が必要ですが、それはすぐに分かるでしょう。この定義は、実質的に等化子〈イコライザー〉の定義と同じです。等式 $`g;i = g;j`$ は、引き算を使えば $`g;(i - j) = 0`$ と書けます。$`k := i - j`$ と置けば上の定義になります。

$`F`$ の表現対象 $`A`$ が在れば、次が成立するはずです。

$`\For X \in |{\bf Vect}|\\
\quad {\bf Vect}(X, A) \cong F(X) \In {\bf Set}
`$

$`F(X)`$ の定義から：

$`\For X \in |{\bf Vect}|\\
\quad {\bf Vect}(X, A) \cong \{ g \in \cat{C}(X, S) \mid g;k = 0 \}\In {\bf Set}
`$

これは次を意味します。

• 任意の対象〈ベクトル空間〉 $`X \in |{\bf Vect}|`$ から表現対象 $`A`$ への射〈線形写像〉と、$`X`$ から $`S`$ への射であって「$`g;k = 0`$」を満たすものは、一対一に対応する。

表現自然変換 $`\varphi`$ と普遍元 $`a`$ を計算しましょう。表現自然変換の成分は次のようです。

$`\quad \varphi_X : {\bf Vect}(X, A) \overset{\cong}{\to} \{ g \in \cat{C}(X, S) \mid g;k = 0 \} \In {\bf Set}`$

$`\varphi`$ を米田写像 $`{\bf y}`$ で移すと：

$`\quad a := {\bf y}(\varphi) = \varphi_{A}(\id_A) \;\in \{ g \in \cat{C}(A, S) \mid g;k = 0 \}`$

この場合の表現対象は $`k`$ の核〈kernel〉で、普遍元は核から $`S`$ への射です。表現対象を $`\mrm{Ker}(k)`$ 、普遍元を $`\mrm{ker}_{k}`$ と書くことにします。

$`\quad \mrm{ker}_k : \mrm{Ker}(f) \to S \In {\bf Vect}`$

$`\mrm{Ker}(k), \mrm{ker}_{k}`$ の特徴は上に述べたとおりですが、核の具体的な作り方は線形代数で習うことです。

同じ $`S, T, k`$ に対して、今度は余前層 $`G: {\bf Vect} \to {\bf Set}`$ を次のように定義します。

$`\For X \in |{\bf Vect}|\\
\quad G(X) := \{ g \in {\bf Vect}(T, X) \mid k;g = 0 \} \;\in |{\bf Set}|\\
\For f:X \to Y \In \cat{C}\\
\quad G(f) := \lambda\, h \in G(X).(\, h;f \; \in G(Y)\,)
`$

図式で描くと：

$`\quad \xymatrix{
S \ar[r]^{k}
& T \ar[r]^{h} \ar[rd]_{G(f)(h)}
& X \ar[d]^{f}
\\
{}
& {}
& Y
\\
}\\
\quad \text{commutative in }{\bf Vect}
`$

核と同様な（しかし双対な）議論により、余前層 $`G`$ の余表現対象である、$`k`$ の余核〈cokernel〉と、余普遍元である“$`T`$ から余核への射”が得られます。余表現対象を $`\mrm{Coker}(k)`$ 、余普遍元を $`\mrm{coker}_{k}`$ と書くことにします。

$`\quad \mrm{coker}_{k} : T \to \mrm{Coker}(k) \In {\bf Vect}`$

余核の具体的な作り方も線形代数で習うでしょう。

極限と余極限

今まで出てきた終対象／直積／等化子／核は、いずれも極限の特殊ケースです。始対象／直和／余等化子／余核は余極限の特殊ケースです。

$`\cat{S}`$ を小さい圏として、$`D:\cat{S} \to \cat{C}`$ を関手〈図式〉とします。$`D`$ の極限／余極限を定義します。なお、極限／余極限については次の過去記事でも書いています。

• 圏論の極限を具体的に
• ファイバー積と余ファイバー和〈融合和〉

関手〈図式〉 $`D:\cat{S} \to \cat{C}`$ に対して、前層 $`F: \cat{C}^\op \to {\bf Set}`$ を次のように定義します（すぐ下に追加説明あり）。

$`\For X \in |\cat{C}|\\
\quad F(X) := \mrm{Nat}(\mrm{K}^X, D)\;\in |{\bf Set}|\\
\For f:X \to Y \In \cat{C}\\
\quad F(f) := \lambda\, \beta \in F(Y).(\, \mrm{K}^f ; \beta \; \in F(X)\,)
`$

上に出てくる $`\mrm{K}^X`$ は $`\cat{S}`$ 上の定数値関手です。

$`\For Z \in |\cat{S}|\\
\quad \mrm{K}^X(Z) := X\;\in |\cat{C}|\\
\For p:Z \to W \In \cat{S}\\
\quad \mrm{K}^X(p) := (\id_X : X \to X \In \cat{C}\,)
`$

$`\mrm{K}^f`$ は、$`f:X \to Y`$ から決まる“定数値関手 $`\mrm{K}^X`$ から定数値関手 $`\mrm{K}^Y`$ への自然変換”です。$`\mrm{K}^f ; \beta`$ は自然変換の縦結合で、$`\beta`$ を引き戻すことになります。

$`\mrm{Nat}(\mrm{K}^X, D)`$ は自然変換の集合ですが、過去記事では $`\mrm{ConeSet}_D(X)`$ と書いていたものです -- $`D`$ を底面、$`X`$ を頂点とする（圏論の意味での）錐体〈cone〉達の集合です。

$`F`$ の表現対象 $`A`$ が在れば、次が成立するはずです。

$`\For X \in \cat{C}\\
\quad \cat{C}(X, A) \cong F(X) \In {\bf Set}
`$

$`F(X)`$ の定義から：

$`\For X \in |\cat{C}|\\
\quad \cat{C}(X, A) \cong \mrm{Nat}(\mrm{K}^X, D) \In {\bf Set}
`$

これは次を意味します。

• 任意の対象 $`X \in |\cat{C}|`$ から表現対象 $`A`$ への射と、“$`D`$ を底面、$`X`$ を頂点とする錐体”は、一対一に対応する。

表現自然変換 $`\varphi`$ と普遍元 $`a`$ を計算しましょう。表現自然変換の成分は次のようです。

$`\quad \varphi_X : \cat{C}(X, A) \overset{\cong}{\to} \mrm{Nat}(\mrm{K}^X, D)\In {\bf Set}`$

$`\varphi`$ を米田写像 $`{\bf y}`$ で移すと：

$`\quad a := {\bf y}(\varphi) = \varphi_{A}(\id_A) \;\in \mrm{Nat}(\mrm{K}^X, D)\In {\bf Set}`$

この場合の表現対象は図式 $`D`$ の極限〈limit〉で、普遍元は極限錐です。表現対象を $`\mrm{lim}_\cat{S}\, D`$ 、普遍元を $`\mrm{Lim}_\cat{S}\, D`$ と書きます。今までの記法と一貫してませんが、習慣や行きがかりがあるので致し方ないのです。「極限」が極限対象（表現対象）を意味するのか、極限錐〈普遍元〉を意味するのか曖昧なときもあります。

極限錐は、底面が $`D`$ である錐体の圏の終対象になっています。これは、極限に限らず一般的な現象です。次の記事を参照してください。

• 関手の表現可能性と、要素の圏の終対象・始対象

同じ図式 $`D:\cat{S} \to \cat{C}`$ に対して、今度は余前層 $`G: \cat{C} \to {\bf Set}`$ を次のように定義します。

$`\For X \in |\cat{C}|\\
\quad G(X) := \mrm{Nat}(D, \mrm{K}^X) \;\in |{\bf Set}|\\
\For f:X \to Y \In \cat{C}\\
\quad G(f) := \lambda\, \alpha \in F(X).(\, \alpha ; \mrm{K}^f \; \in F(Y)\,)
`$

極限と同様な（しかし双対な）議論により、余前層 $`G`$ の余表現対象である、$`D`$ の余極限〈colimit〉と、余普遍元である余極限余錐が得られます。余表現対象を $`\mrm{colim}_\cat{S}\, D`$ 、余普遍元を $`\mrm{Colim}_\cat{S}\, D`$ と書きます。

可換環の局所化

$`R`$ を可換環とします。より詳しく書けば：

$`\quad R = (\u{R}, +, 0, \cdot, 1)`$

$`\u{R}`$ は台集合〈underlying set〉です。可換環は乗法単位元 $`1`$ を持つとします。可換環の乗法モノイドは次のように書きます。

$`\quad \mrm{MulMon}(R) := (\u{R}, \cdot, 1)`$

これは、可換環から足し算を忘れて掛け算を残した構造です。

可換環の乗法モノイドに含まれる最大の群を次のように書きます。

$`\quad \mrm{MulGrp}(R) = R_\times := (\u{R_\times}, \cdot, 1)`$

$`\u{R_\times}`$ は、可逆な要素〈単元〉からなる部分集合です。

$`S \subseteq \mrm{MulMon}(R)`$ を、$`R`$ の乗法モノイドの部分モノイドとします。

$`\quad S = (\u{S}, \cdot, 1)`$

$`R, \mrm{MulMon}(R), R_\times, S`$ に共通する記号 '$`\cdot`$'、'$`1`$' はオーバーロードします。また、代数系とその台集合を同じ記号で表す“記号の乱用”も使います。

先に言っておくと、可換環 $`R`$ の部分乗法モノイド $`S`$ による局所化とは、$`S`$ の要素をすべて可逆元〈単元〉として持つような可換環を作ることです。こう言っただけではハッキリしないので、普遍構成により目的の可換環を定義・特徴付けします。

可換環 $`R`$ と部分乗法モノイド $`S`$ に対して、余前層 $`G`$ を次のように定義します。$`{\bf CRng}`$ は可換環の圏です。

$`\For X \in |{\bf CRng}|\\
\quad G(X) := \{g\in {\bf CRng}(R, X) \mid g(S)\subseteq X_\times \} \;\in |{\bf Set}|\\
\For f:X \to Y \In \cat{C}\\
\quad G(f) := \lambda\, g \in F(X).(\, g;f \; \in F(Y)\,)
`$

上の定義が well-defined であるためには、$`g\in G(X) \Imp g;f \in G(Y)`$ が必要ですが、それはすぐに分かるでしょう。

$`G`$ の余表現対象 $`B`$ が在れば、次が成立するはずです。

$`\For X \in |{\bf CRng}|\\
\quad {\bf CRng}(B, X) \cong G(B) \In {\bf Set}
`$

$`G(X)`$ の定義から：

$`\For X \in |{\bf CRng}|\\
\quad {\bf CRng}(B, X) \cong \{g\in {\bf CRng}(R, X) \mid g(S)\subseteq X_\times \} \In {\bf Set}
`$

これは次を意味します。

• 余表現対象 $`B`$ から任意の対象 $`X \in |{\bf CRng}|`$ への射と、「$`g(S)\subseteq X_\times`$」を満たす射 $`g: R\to X`$ は、一対一に対応する。

余表現自然変換 $`\psi`$ と普遍元 $`b`$ を計算しましょう。余表現自然変換の成分は次のようです。

$`\quad \psi_X : {\bf CRng}(B, X) \overset{\cong}{\to} G(X) \In {\bf Set}`$

$`\psi`$ を共変バージョンの米田写像 $`{\bf y}`$ で移すと：

$`\quad b := {\bf y}(\psi) = \psi_{B}(\id_B) \;\in \{g\in {\bf CRng}(R, B) \mid g(S)\subseteq B_\times \} \In {\bf Set}`$

余表現対象である可換環 $`B`$ は $`R, S`$ から決まるので $`R[S^{-1}]`$ と書き、$`R`$ の $`S`$ による局所化〈localization〉と呼びます。普遍元は、$`R`$ から局所化 $`R[S^{-1}]`$ への可換環の射となります。仮にそれを $`l_{R, S}`$ と書くと：

$`\quad l_{R, S} : R \to R[S^{-1}] \In {\bf CRng}`$

局所化 $`R[S^{-1}]`$ の具体的な作り方は代数学の教科書を見てください。

モノイドの台集合

$`M`$ をモノイドとします。

$`\quad M = (\u{M}, \cdot, e)`$

ここで、$`\u{M}`$ はモノイドの台集合です。モノイドに、その台集合を対応させる関手は典型的な忘却関手で、次のように書きます。

$`\quad U:{\bf Mon} \to {\bf Set} \In {\bf CAT}`$

忘却関手 $`U`$ は、集合圏への共変関手なので余前層です。余前層 $`U`$ を余表現する対象を見つけましょう。

$`U`$ の余表現対象 $`B`$ が在れば、次が成立するはずです。

$`\For X \in |{\bf Mon}|\\
\quad {\bf Mon}(B, X) \cong U(X) \In {\bf Set}
`$

$`U(X)`$ の定義から：

$`\For X \in |{\bf Mon}|\\
\quad {\bf Mon}(B, X) \cong \u{X} \In {\bf Set}
`$

これは次を意味します。

• 余表現対象 $`B`$ から任意の対象 $`X \in |{\bf Mon}|`$ への射と、台集合 $`\u{X}`$ の要素は、一対一に対応する。

自然数の足し算によるモノイドを、記号の乱用で次のように書きます。

$`\quad {\bf N} = ({\bf N}, +, 0)`$

次は成立します。

$`\For X \in |{\bf Mon}|\\
\quad {\bf Mon}({\bf N}, X) \cong \u{X} \In {\bf Set} \\
\quad {\bf Mon}({\bf N}, X) \ni g \mapsto g(1) \in \u{X}
`$

したがって、自然数の足し算モノイドが忘却関手を余表現します。

余表現自然変換 $`\psi`$ と余普遍元 $`b`$ を計算しましょう。余表現自然変換の成分は次のようです。

$`\quad \psi_X : {\bf Mon}(B, X) \overset{\cong}{\to} G(X) \In {\bf Set}`$

具体的には：

$`\quad \psi_X : {\bf Mon}({\bf N}, X) \overset{\cong}{\to} \u{X} \In {\bf Set}`$

$`\psi_X`$ は、$`g \in {\bf Mon}({\bf N}, X)`$ に対して、自然数 $`1`$ での値 $`g(1) \in \u{X}`$ を対応させる写像です。

$`\psi`$ を共変バージョンの米田写像 $`{\bf y}`$ で移すと：

$`\quad b := {\bf y}(\psi) = \psi_{B}(\id_B) \;\in G(B) \In {\bf Set}`$

具体的には：

$`\quad b := {\bf y}(\psi) = \psi_{\bf N}(\id_{\bf B}) \;\in \u{\bf N} \In {\bf Set}`$

$`\psi_{\bf N}`$ の定義から、余普遍元 $`b`$ は自然数 $`1`$ です。

*1:nLab項目 https://ncatlab.org/nlab/show/Yoneda embedding によると、反変米田埋め込み〈contravariant Yoneda embedding〉は冗談半分だそうです； This is sometimes jokingly called the contravariant Yoneda embedding.