スケマティック系のために：雑多な予備知識 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

スケマティック系〈schematic system〉というものを考えているのですが、そのために（たぶん）必要なことを順不同で書いていきます。ひとつの節でひとつのトピックを扱います。節から節へ、ゆるい流れはありますが、節と節とのあいだに強い関係性はないです。備忘メモです。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\msf}[1]{\mathsf{#1}}
%\newcommand{\twoto}{\Rightarrow }
\newcommand{\In}{\text{ in } }
%\newcommand{\Imp}{ \Rightarrow }
%\newcommand{\Iff}{\Leftrightarrow }
\newcommand{\hyp}{\text{－} }
\newcommand{\op}{\mathrm{op} }
%\newcommand{\id}{\mathrm{id} }
%\newcommand{\pto}{ \supseteq\!\to }
%\newcommand{\u}[1]{\underline{#1}}
\newcommand{\msc}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\doct}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\dimU}[2]{{#1}\!\updownarrow^{#2}}
`$

内容：

絵図的手法とスケマティック系
ドクトリン、コアージョン、関手意味論
Diag構成
ファミリーの圏
そしてそれから

絵図的手法とスケマティック系

絵図的手法とは、圏類似代数系〈category-like algebraic {system|sturcture} | CLAS〉を絵に描いて記述・計算する方法・技術です。「絵図／絵図的」は schematic と同義だとします。「図式／図式的」とか「図解／図解的」とかでもかまいません。名詞の schematic は回路図の意味なので「回路図／回路図的」でもいいです。

スケマティック系〈schematic system〉は、絵図的手法を支える素材、道具、機器〈マシナリー〉一式を含んだシステムです。スケマティック系のハッキリとした定義はまだないです。が、スケマティック系を表す変数には筆記体 $`\msc{S}, \msc{T}`$ （これは S, T）などを使うと先走って約束しておきます。

スケマティック系の定義がハッキリしてないので、具体例も出せないのですが、「こんな具体例があるはず」というのは分かります。例えば、キッシンジャーが次の論文で定義している抽象テンソルシステムは、ひとつのスケマティック系を定義するはずです。

[Kis13]
Title: Abstract Tensor Systems as Monoidal Categories
Author: Aleks Kissinger
Submitted: 16 Aug 2013
Pages: 19p
URL: https://arxiv.org/abs/1308.3586

キッシンジャーの抽象テンソルシステムに対応するスケマティック系を $`\msf{Kis13}`$ と呼びましょう。サンセリフ体の名前は、スケマティック系の個有名として使うことにします。詳細はともかくとして、$`\msf{Kis13}`$ は、存在するだろうと期待される固有なスケマティック系の名前です。

「回路代数とグラフ置換モナド」で紹介したダンクソ／ハラーチェバ／ロバーツォンの論文も、ひとつのスケマティック系を定義するはずです。

[DHR20]
Title: Circuit algebras are wheeled props
Authors: Zsuzsanna Dancso, Iva Halacheva, Marcy Robertson
Submitted: 21 Sep 2020
Pages: 29p
URL: https://arxiv.org/abs/2009.09738

この論文で定義されるはずのスケマティック系は $`\msf{DHR20}`$ と名付けます。

現状、$`\msf{Kis20}`$ や $`\msf{DHR20}`$ は、存在が期待されるだけの怪しいシロモノです。これらが、事例としてハッキリとした意味を持つように、スケマティック系の概念を定義したいわけです。

ドクトリン、コアージョン、関手意味論

ドクトリン〈doctrine〉をどう解釈するかは色々な立場がありますが、今ここでは、ドクトリンとは単に2-圏だと解釈します。ドクトリン＝2-圏を $`\doct{D}`$ のように表します。ドクトリンの具体例として、デカルト圏とそのあいだの準同型関手／自然変換からなる2-圏 $`{\bf CartCAT}`$ があります。

与えられた圏 $`\cat{C} \in |{\bf CAT}|`$ を、ドクトリン $`\doct{D}`$ の対象だとみなすルールがあるとして、そのルールによる $`\doct{D}`$ の対象を $`(\cat{C}\text{ as }\doct{D})`$ と書くことにします。この「みなしのルール」は関手である必要はなくて、アドホック（その場その場で）与えられるものでいいとします。

$`(\hyp \text{ as }\doct{D})`$ を（ドクトリン $`\doct{D}`$ による）コアージョン〈coercion〉と呼ぶことにします。例えば、$`({\bf Set}\text{ as }{\bf CartCAT})`$ は、集合圏を（直積により）デカルト圏とみなすコアージョンです。

$`\cat{A} \in |\doct{D}|`$ を、“都合のいい対象”だとして、ローヴェア・アプローチ（「「代数」への三種のアプローチと回路代数」）の$`\cat{A}`$-代数の圏は次の形でした。

$`\quad \doct{D}(\cat{A}, ({\bf Set} \text{ as }\doct{D}) ) \in |{\bf CAT}|`$

ドクトリン $`\doct{D}`$ のなかで“都合のいい対象”と“都合のいい射”が形成する部分圏（部分2-圏である必要はない）を $`\doct{S}`$ とします。つまり、

$`\quad \doct{S} \subseteq \dimU{\doct{D}}{1} \In {\bf CAT}`$

$`\dimU{\hyp}{1}`$ については「圏の次元調整」参照。

次の反変関手（関手意味論）が定義できます。

$`\quad \doct{D}(\hyp, ({\bf Set}\text{ as }\doct{D}) ) : \doct{S}^\op \to {\bf CAT}^1
\In \mathbb{CAT}
`$

ここで、$`{\bf CAT}^1`$ は、2-圏 $`{\bf CAT}`$ の2-射を捨てた1-圏です。$`\mathbb{CAT}`$ は、とても大きい圏達の2-圏〈the category of very large categories〉を指す個有名です。

$`\doct{S}`$ は、ローヴェアの言葉で言えば“セオリー達の圏”です。セオリーにその“代数達の圏”を対応付ける反変関手＝関手意味論は、セオリー達の圏 $`\doct{S}`$ 上のインデックス付き圏〈indexed category〉になります。

Diag構成

ときに関手のことを図式と呼び、関手圏を図式の圏と呼びます。この節での「図式〈diagram〉」は関手の意味です。$`\doct{D}, \doct{S}`$ は前節と同じで、ドクトリンとその部分1-圏だとします。ドクトリン $`\doct{D}`$ は了解されている（文脈で前提している）として明示しないこともあります。

2-圏 $`\doct{D}, {\bf CAT}`$ の2-射を捨てた1-圏を $`\doct{D}^1, {\bf CAT}^1`$ と書きます（$`{\bf CAT}^1`$ は前節で既に使っている）。

$`\quad \doct{D}^1 := \dimU{\doct{D}}{1}\\
\quad {\bf CAT}^1 := \dimU{ {\bf CAT} }{1}
`$

$`\doct{D}`$ のホム圏を1-圏 $`\doct{D}^1`$ 上に制限すると、“圏の圏”に値をとる二項関手〈双関手〉になります。

$`\quad \doct{D}(\hyp, \hyp) : (\doct{D}^1)^\op \times \doct{D}^1 \to {\bf CAT}^1 \In \mathbb{CAT}`$

二項関手の第一引数を $`\doct{S}`$ に制限したものを次のように書きます。

$`\quad {^\doct{S} \doct{D}}(\hyp, \hyp) : \doct{S}^\op \times \doct{D}^1 \to {\bf CAT}^1 \In \mathbb{CAT}`$

二項関手 $`{^\doct{S} \doct{D}}(\hyp, \hyp)`$ を次のようにカリー化したものがDiag構成〈Diag construction〉 $`\mrm{Diag}`$ になります。

$`\quad \mrm{Diag}^\doct{S}(\hyp_1)[\hyp_2] := {^\doct{S} \doct{D}}(\hyp_2, \hyp_1)\\
\quad \mrm{Diag}^\doct{S} : \doct{D}^1 \to [\doct{S}^\op, {\bf CAT^1}] \In \mathbb{CAT}
`$

$`\mrm{Diag}^\doct{S}`$ に引数を渡すと、$`\doct{S}`$ 上のインデックス付き圏が生じます。

$`\quad \mrm{Diag}^\doct{S}(\cat{D}) : \doct{S}^\op \to {\bf CAT}^1 \In \mathbb{CAT}\\
\quad \text{where }\cat{D} \in |\doct{D}^1|
`$

Diag構成をもう少し一般化します。$`J: \cat{C} \to \doct{D}^1 \In{\bf CAT}`$ を関手とします。二項関手 $`{^{\cat{C}, J} \doct{D}}`$ を次のように定義します。

$`\quad {^{\cat{C}, J} \doct{D}}(\hyp, \hyp) := \doct{D}(J(\hyp), \hyp)\\
\quad {^{\cat{C}, J} \doct{D}} : \cat{C}^\op \times \doct{D}^1 \to {\bf CAT}^1 \In \mathbb{CAT}
`$

二項関手 $`{^{\cat{C}, J} \doct{D}}(\hyp, \hyp)`$ を次のようにカリー化したものが一般化されたDiag構成になります。（[追記]記法が良くなかったので、すぐ下のコラムに修正を追記します。[/追記]）

$`\quad \mrm{Diag}^{\cat{C},J }(\hyp_1)[\hyp_2] := {^{\cat{C},J} \doct{D}}(\hyp_2, \hyp_1) = \doct{D}(J(\hyp_2), \hyp_1) \\
\quad \mrm{Diag}^{\cat{C}, J} : \doct{D}^1 \to [\cat{C}^\op, {\bf CAT^1}] \In \mathbb{CAT}
`$

$`\mrm{Diag}^{\cat{C}, J}`$ に引数を渡すと、$`\cat{C}`$ 上のインデックス付き圏が生じます。

$`\quad \mrm{Diag}^{\cat{C}, J}(\cat{D}) : \cat{C}^\op \to {\bf CAT}^1 \In \mathbb{CAT}\\
\quad \text{where }\cat{D} \in |\doct{D}^1|
`$

通常は暗黙に仮定するドクトリン $`\mathbb{D}`$ を明示的に書きたいときは、$`\mathbb{D}\text{-}\mrm{Diag}`$ と前置することにします。

$`\quad \mathbb{D}\text{-}\mrm{Diag}^{\cat{C}, J}(\cat{D}) = \mathbb{D}(J(\hyp), \cat{D})
\;: \cat{C}^\op \to {\bf CAT}^1 \In \mathbb{CAT}
`$

[追記]

上では、カリー化を次のようにしています。

$`\quad \mrm{Diag}^{\cat{C},J }(\hyp_1)[\hyp_2] := {^{\cat{C},J} \doct{D}}(\hyp_2, \hyp_1) = \doct{D}(J(\hyp_2), \hyp_1)`$

これだと、

$`\quad \mrm{Diag}^{\cat{C},J }(\cat{D}) = \mrm{Diag}^{\cat{C},J }(\cat{D})[\hyp] `$

となるので、$`\mrm{Diag}^{\cat{C},J }(\cat{D})`$ は単一の圏を表すのではなくて、インデックス付き圏〈indexed category〉を意味します。しかし、$`\mrm{Diag}^{\cat{C},J }(\cat{D})`$ が単一の圏を表して欲しいことが多いので、次の定義のほうが望ましいでしょう。以下で、積分記号はグロタンディーク構成です。

$`\quad \mrm{Diag}^{\cat{C},J }[\hyp_1](\hyp_2) := {^{\cat{C},J} \doct{D}}(\hyp_1, \hyp_2) = \doct{D}(J(\hyp_1), \hyp_2)\\
\quad \mrm{Diag}^{\cat{C},J }(\cat{D}) := \int_{\cat{C}} \mrm{Diag}^{\cat{C},J }[\hyp](\cat{D})
`$

インデックス付き圏とグロタンディーク構成した平坦化圏は同一視されることもあるので、$`\mrm{Diag}^{\cat{C},J }(\cat{D})`$ でどちらも表す、でもいいかも知れません。が、次のように区別したほうが紛らわしくはないでしょう。

インデックス付き圏： $`\mrm{Diag}^{\cat{C},J }[\hyp](\cat{D})`$
単一の平坦化圏： $`\mrm{Diag}^{\cat{C},J }(\cat{D})`$

この記事内の記法の修正はしませんが、今後はすぐ上の記法を採用するでしょう。
[/追記]

ファミリーの圏

ファミリーの圏は、Diag構成の一例です。$`J:{\bf Set} \to {\bf Cat}^1 \In {\bf CAT}`$ を、集合を小さい離散圏だとみなすことによる埋め込みだとします。標準的埋め込み $`{\bf Cat} \hookrightarrow {\bf CAT}^1 \In \mathbb{CAT}`$ を繋げた関手も $`J`$ で表します。

$`\quad J :{\bf Set} \to {\bf CAT}^1 \In \mathbb{CAT}`$

すると、$`{\bf CAT}`$ をドクトリンとしたDiag構成で次の関手が作れます。

$`\quad \mrm{Diag}^{{\bf Set}, J} : {\bf CAT}^1 \to [{\bf Set}^\op, {\bf CAT}^1] \In \mathbb{CAT}`$

$`\mrm{Diag}^{{\bf Set}, J}`$ に引数 $`{\bf Set}`$ を渡すと、$`{\bf Set}`$ 上のインデックス付き圏が生じます。

$`\quad \mrm{Diag}^{ {\bf Set}, J}( {\bf Set} ) : {\bf Set}^\op \to {\bf CAT}^1 \In \mathbb{CAT} \\
\quad \text{where } {\bf Set} \in |{\bf CAT}^1|
`$

$`\mrm{Diag}`$ の定義に戻ると：

$`\quad \mrm{Diag}^{ {\bf Set}, J}( {\bf Set} )[A] = {\bf CAT}^1(J(A), {\bf Set})
\;\in |{\bf SET}|
`$

$`J(A)`$ は、集合 $`A`$ を離散圏とみなした圏だったので、次の同型があります。

$`\quad {\bf CAT}^1(J(A), {\bf Set}) \cong {\bf SET}(A, |{\bf Set}|) \In {\bf SET}`$

これで、$`\mrm{Diag}^{ {\bf Set}, J}( {\bf Set} )`$ が実質的にファミリーの圏と同じだとわかります。

もっとハッキリと言えば、インデックス付き圏としての $`\mrm{Diag}^{ {\bf Set}, J}( {\bf Set} )`$ にグロタンディーク構成をほどこすとファミリーの圏が現れます。

$`\quad {\bf Fam} := \int_{\to {\bf Set} } \mrm{Diag}^{ {\bf Set}, J}( {\bf Set} )[\hyp]
\;\in |{\bf CAT}|`$

積分記号を使ったグロタンディーク構成の書き方は「グロタンディーク構成と積分記号」参照。

$`{\bf Fam}`$ はグロタンディーク構成〈グロタンディーク平坦化〉で作られているので、ファイバー付き圏〈fibred category〉としての射影を持ちます。

$`\quad \pi^{\bf Fam} : {\bf Fam} \to {\bf Set} \In {\bf CAT}`$

射影は、ファミリーにそのインデックス集合を／ファミリーの準同型射にそのベース写像を対応させる関手です。

そしてそれから

スケマティック系を定義するために必要そうな雑多な予備知識は他にもあります。思いつき順で並べると：

グロタンディーク構成とグロタンディーク同値
モナドの自由関手
亜群パンドルと一般化スピシーズ
指標と亜群パンドル
コンビネータと複圏・複関手の生成系
リントンの定理とリントン同値

これらについては「その2」として述べるかも知れません。