ファイバーの計算全体像と色々な構成法 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

「ファイバーの計算基本概念」で、バンドル-ファミリー対応を実現するファイバー関手などの基本概念を紹介しました。もちろん、“ファイバーの計算”には続きがあります。基本概念に引き続く内容に入る前に、“ファイバーの計算”の全体像を概観しておきます。また、“ファイバーの計算”に関わる幾つかの構成法を紹介します。構成法の紹介は、引き続く内容への準備なので雑多な〈寄せ集めな〉感じです。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} }
\newcommand{\hyp}{\text{－} }
\newcommand{\In}{\text{ in }}
\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\o}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\F}[1]{ {{#1}^{-1}} } % fiber
\newcommand{\obj}[1]{ {{#1}\!\downarrow} }
\newcommand{\op}{ \mathrm{op} }
%\newcommand{\twoto}{ \Rightarrow }
\newcommand{\sl}{ {/_*} } % slice
\newcommand{\opsl}{ {/^*} } % {opposite | contravariant} slice
\newcommand{\dimU}[2]{ {{#1}\!\updownarrow^{#2}} }
`$

内容：

スライス構成と単純ファミリー構成
対象／射の外延化とファイバー
2階のスライス構成／ファミリー構成
2階ファミリー構成
そしてそれから

ハブ記事：

ファイバーの計算基本概念

スライス構成と単純ファミリー構成

圏 $`\cat{C}`$ とその対象 $`c\in |\cat{C}|`$ が指定されれば、スライス圏〈オーバー圏〉 $`\cat{C}/c`$ を作れます。このとき、圏 $`\cat{C}`$ や対象 $`c\in |\cat{C}|`$ はまったく任意で、何の条件もありません。$`(\cat{C}, c) \mapsto \cat{C}/c`$ という構成をスライス構成〈slice construction〉と呼びます。

圏 $`\cat{C}`$ と集合 $`K\in |{\bf Set}|`$ が与えれたときに、$`K`$ をインデキシング集合とする $`\cat{C}`$ のファミリーの全体を定義できます。これも、$`\cat{C}, K`$ に条件は不要です。ファミリーの全体に、ファミリーのあいだの射も追加するとファミリーの圏になります。ファミリーの圏は次のように書きます（色々な書き方がある）。

$`\cat{C}^K`$
$`[K, \cat{C}]`$
$`\mrm{Fam}[K](\cat{C})`$
$`\mrm{Fam}_K(\cat{C})`$

$`[K, \cat{C}]`$ は、「変換手n-圏のブラケット記法」で紹介したブラケット記法で、詳しく書けば次のようになります。

$`\quad [K, \cat{C}] = [K, \cat{C}]_1 = {\bf CAT}(\dimU{K}{1}, \dimU{\cat{C}}{1} ) =
{\bf CAT}(\mrm{Disc}(K), \cat{C} )
`$

$`[K, \cat{C}]`$ は関手圏で、射は自然変換です。つまり、ファミリーのあいだの射は自然変換として定義できます。なお、関手圏 $`[K, \cat{C}]`$ の対象の集合は次のように書けます。

$`\quad |[K, \cat{C}]| = [K, \cat{C}]_0 = {\bf SET}(\dimU{K}{0}, \dimU{\cat{C}}{0} ) =
{\bf SET}(K, |\cat{C}| )
`$

$`(\cat{C}, K) \mapsto \cat{C}^K`$ という構成を単純ファミリー構成〈simple family construction〉と呼ぶことにします。圏 $`\cat{C}`$ と集合 $`K`$ に対して、集合 $`K`$ をインデキシング集合として $`\cat{C}`$ に値をとるファミリーの圏を対応させます。「単純」を付けたのは、通常のファミリー構成〈Fam構成〉はもっと大域的で複雑な構成法だからです。この記事の後の節で、単純ファミリー構成と（通常の大域的な）ファミリー構成の関係に触れます。

Fam構成は、より一般的なDiag構成の特殊ケースです。Diag構成／Fam構成については以下の記事達で書いています。

圏 $`\cat{S}`$ が集合圏の部分圏で、ファイバーに関して閉じているなら、次の圏同値（バンドル-ファミリー対応）が成立します。

$`\quad \cat{S}/K \cong \cat{S}^K \In {\bf CAT}`$

バンドル-ファミリー対応を基盤として、次のような問題を考えます。

$`\cat{C}`$ が集合圏の部分圏ではないときに、バンドル-ファミリー対応（の類似）をどう定義するか？
バンドル-ファミリー対応の大域的な（あるいはマクロな）定式化はどうなるか？
スライス構成と（大域的な）ファミリー構成を繰り返し適用したときに、バンドル-ファミリー対応（の類似）はどうなるか？

これらの問題に答えていく過程で、“ファイバーの計算”の内実が与えられるでしょう。

対象／射の外延化とファイバー

$`\cat{C}`$ は集合圏の部分圏ではなくて、対象が集合ではないとします。この状況でも、スライス圏 $`\cat{C}/c`$ は問題なく作れます。しかし、対象 $`c`$ は集合ではないので、ファミリーを定義することができません。ファミリーは集合からの写像ですから。

ファミリーを定義するには、圏 $`\cat{C}`$ の対象を集合とみなす方法が必要です。「デカルト閉・型システム」では、対象に集合を対応させる写像を外延化写像〈extensionalize map〉と呼んだので、ここでも用語「外延化」を使います。

対象／射の外延化（集合化／写像化）が比較的簡単にできる事例として、圏 $`\cat{C}`$ はデカルト・モノイド圏だと仮定します。記号の乱用で、$`\cat{C} = (\cat{C}, \times, {\bf 1})`$ と書きます。対象 $`a \in |\cat{C}|`$ に対して、次は集合になります。

$`\quad \o{a} := \cat{C}({\bf 1}, a)`$

射 $`f:a \to b \In \cat{C}`$ に対して、次のような写像（集合圏の射）を定義できます。

$`\o{f} : \o{a} \to \o{b} \In {\bf Set}\\
\text{For } i\in \o{a} \:\text{ where }\o{a} = \cat{C}({\bf 1}, a)\\
\quad \o{f}(i) := (i;f \; \in \o{b}) \:\text{ where }\o{b} = \cat{C}({\bf 1}, b)
`$

これは、次のような関手となります。これが外延化写像、むしろ外延化関手〈extensionalize functor〉です。

$`\quad (\o{\hyp}) : \cat{C} \to {\bf Set} \In {\bf CAT}`$

$`(\o{\hyp})`$ は、デカルト積と終対象（デカルト積の単位対象を兼任）を保存するデカルト・モノイド関手になります。

$`c \in |\cat{C}|`$ に対して、$`\cat{C}^c`$ は意味を持ちませんが、$`\cat{C}^{\o{c}}`$ なら意味を持ちます。しかし、これだけではファイバーの概念がありません。射 $`g:a \to c \In \cat{C}`$ と要素 $`k \in \o{c}`$ に対して、ファイバー対象 $`\F{g}(k) \in |\cat{C}|`$ はうまく定義できるでしょうか？

$`\cat{C}`$ は、任意のプルバック（コスパン図式の極限）を持つと仮定します。次のコスパン図式を考えます。

$`\quad \xymatrix{
{}
& {\bf 1} \ar[d]^{k}
\\
a \ar[r]_g
& c
}\\
\quad \In \cat{C}
`$

このコスパン図式を埋める*1プルバック図式に現れる対象（ファイバー積対象）を $`\F{g}(k)`$ とします。

$`\quad \xymatrix{
{\F{g}(k)} \ar[r] \ar[d] \ar@{}[dr]|{\text{pb.}}
& {\bf 1} \ar[d]^{k}
\\
a \ar[r]_g
& c
}\\
\quad \text{commutative} \In \cat{C}
`$

$`(g, k)`$ ごとにファイバー積を選べば $`(g, k) \mapsto \F{g}(k) = R_{c, k}(\obj{g})`$ が確定します。$`R_{c, k}`$ という記法は、「ファイバーの計算基本概念」で導入したファイバー関手（の一種）を表すものです。

ファイバー積により、ファイバー関手 $`R_{c,k}: \cat{C}/c \to \cat{C}`$ の対象パート
$`\quad \cat{C}/c \ni \obj{g} \;\mapsto\; \F{g}(k) = R_{c, k}(\obj{g}) \in |\cat{C}|`$
は定義できました。が、射パートはまだ定義してません。射パートの定義のために、次の図式を考えます。

$`\quad \xymatrix{
a \ar[rr]^{f} \ar[dr]_g
& {}
& b \ar[dl]^h
\\
{}
& c
{}
\\
{\F{g}(k)} \ar[uu] \ar@{.>}[rr]
& {}
& {\F{h}(k)} \ar[uu]
\\
{}
&{\bf 1} \ar[uu]|{k} \ar[ul] \ar[ur]
&{}
}\\
\quad \text{commutative} \In \cat{C}
`$

図式をプリズム状の多面体とみなすと、左側面と右側面はプルバック四角形になっています。上部の可換三角形は、$`f^h: \obj{g} \to \obj{h} \In \cat{C}/c`$ を与えます。奥の点線の矢印をうまく定義できれば、それが
$`\quad R_{c, k}(f^h) : R_{c, k}(\obj{g}) \to R_{c, k}(\obj{h}) \In \cat{C}`$
となります。これは、ファイバー対象からファイバー対象への射で、ファミリー射の成分を与えるものです。

まだまだ作業は残ってますが、$`\cat{C}`$ が十分豊富な構造を持てば、射のファイバー概念を定義できて、$`\cat{C}`$ の対象／射を外部化して、バンドル／バンドル射に対応するファミリー／ファミリー射が構成できそうなことはうかがえるでしょう。

デカルト構造やプルバック完備性以外にも、集合圏の部分圏ではない圏の外延化の手法やアイディアは幾つかあります。具体的に外延化〈集合化／写像化〉を構成する以外に、外延化を公理化するアプローチもあります。バタニン／マークルのオペラディック圏（以下論文）は、そのような公理化のひとつです。

[BM15]
Title: Operadic categories and Duoidal Deligne's conjecture
Authors: Michael Batanin, Martin Markl
Submitted: 15 Apr 2014 (v1), 14 Jul 2015 (v3)
Pages: 54p
URL: https://arxiv.org/abs/1404.3886

2階のスライス構成／ファミリー構成

対象が集合ではない圏 $`\cat{C}`$ に関しては、なんらかの細工をしたり、公理的に規定しないとファイバーファミリーの定義ができません。どんな細工、どんな公理が適切かを探ることは興味の対象になります。

一方で、集合圏の部分圏であって“ファイバーに関して閉じている圏 $`\cat{S}`$”では、細工は不要で、何もしなくてもバンドル-ファミリー対応（スライス圏とファミリーの圏の圏同値）が得られます。$`\cat{S}`$ の対象である集合 $`K \in |\cat{S}|`$ に関して：

$`\quad \cat{S}/K \cong \cat{S}^K \In {\bf CAT}`$

以下、バンドル-ファミリー対応が“タダで手に入る”圏 $`\cat{S}`$ について考えます。

最初の節で述べたように、バンドル-ファミリー対応を拡張・一般化するのが“ファイバーの計算”における課題です。

バンドル-ファミリー対応を、大域的に（あるいはマクロな形に）定式化する。
スライス構成と（大域的な）ファミリー構成を繰り返し適用したときのバンドル-ファミリー対応を定式化する。

繰り返し適用を2回適用の場合に限ると、上記の課題は次のようにまとめることができます。

スライス構成と（大域的な）ファミリー構成を2回適用したときのバンドル-ファミリー対応を大域的に定式化する。

「大域的な定式化」とは、$`\cat{S}`$ の対象 $`K`$ をひとつ選んだ場合のバンドル-ファミリー対応ではなくて、$`K`$ を動かした場合の全体的な記述のことです。

スライス構成／ファミリー構成の1回／2回の適用を、1階〈一階 | first-order〉／2階〈ニ階 | second-order〉という形容詞で表すことにします*2。

2階スライス構成〈second-order slice construction〉：スライス構成した圏に対してもう一度スライス構成をすること。
2階ファミリー構成〈second-order family construction〉：（大域的な）ファミリー構成した圏に対してもう一度（大域的な）ファミリー構成をすること。

この言葉を使うと、当該の課題をさらに言い換えることができます。

2階スライス構成と2階ファミリー構成のあいだの対応を大域的に定式化する。

2階スライス構成の定義は簡単です（内容的に簡単とは言ってない）。スライス構成でスライス圏 $`\cat{S}/K`$ が作れます。スライス圏の対象は $`\obj{g}\in |\cat{S}/K|`$ のように書けます。$`\obj{g}`$ によるスライス構成は、
$`\quad \cat{S}/K/\obj{g} = (\cat{S}/K)/(\obj{g})`$
です。

それに対して、2階ファミリー構成は、単純ファミリー構成の繰り返し $`(\cat{S}^K)^L`$ のような単純な形ではウマクありません。また、2階スライス構成をそのまま引き写した $`(\cat{S}^K)^{ g\downarrow }`$ は無意味な表現です。ファミリー構成の記述は、対象ごと／局所的には無理で、必然的に大域的〈マクロ〉な記述になります。次節でファミリー構成と2階ファミリー構成を説明します。

2階ファミリー構成

$`K \mapsto \cat{C}^K`$ という対応が単純ファミリー構成です。単純ファミリー構成は、次のような（大規模な）写像とみなせます。

$`\quad (\hyp^\hyp) : |{\bf CAT}| \times |{\bf Set}| \to |{\bf CAT}| \In \mathbb{SET}`$

白抜きの $`\mathbb{SET}`$ は通常の集合圏より二段階大きな〈very large な〉集合圏です（「変換手n-圏のブラケット記法」の冒頭（からの参照）をみてください）。

ファイバーに関して閉じた集合圏の部分圏 $`\cat{S}`$ をひとつ選んで固定して、集合 $`K`$ を $`K \in |\cat{S}|`$ の範囲で動かすと、次のような写像になります。

$`\quad (\cat{S}^\hyp) : |\cat{S}| \to |{\bf CAT}| \In \mathbb{SET}`$

$`|\cat{S}|`$ を離散圏だとみなすと、$`(\cat{S}^\hyp)`$ を次のような関手と考えることもできます。

$`\quad (\cat{S}^\hyp) : \dimU{|\cat{S}|}{1} \to \dimU{\bf CAT}{1} \In \mathbb{CAT}`$

$`\dimU{\hyp}{1}`$ は、“次元調整”により0-圏〈集合〉／2-圏を1-圏とみなしたものです。次元調整については、「圏の次元調整」を参照してください。

上記の $`(\cat{S}^\hyp)`$ においては、$`\cat{S}`$ の（恒等射以外の）射を考えてません。つまり、射 $`f:K \to L \In \cat{S}`$ に対する $`\cat{S}^f`$ は定義されてません。しかし、$`f`$ のプレ結合による引き戻しにより容易に $`\cat{S}^f`$ を定義できます。

$`\cat{S}^f : \cat{S}^L \to \cat{S}^K \In \dimU{\bf CAT}{1} \\
\text{For } H \in |\cat{S}^L|\\
\quad \cat{S}^f(H) := (f;H : K \to \cat{S} \In \dimU{\bf CAT}{1} ) \; \in |\cat{S}^K|\\
\text{For } \gamma: H \to J \In \cat{S}^L\\
\quad \cat{S}^f(\gamma) := (\gamma_{f(k)}: H(f(k)) \to J(f(k)) \In \cat{S} )_{k\in K} \; : \cat{S}^f(H) \to \cat{S}^f(J) \In \cat{S}^K
`$

このように定義された関手をあらためて $`(\cat{S}^-)`$ と置きます。

$`\quad (\cat{S}^\hyp) : \cat{S}^\op \to \dimU{\bf CAT}{1} \In \mathbb{CAT}
`$

この反変関手 $`(\cat{S}^\hyp)`$ はインデックス付き圏〈indexed category〉となります。これは、単純ファミリー構成を $`|\cat{S}|`$ に制限しただけではなくて、$`\cat{S}`$ の（恒等射以外の）射に対応するファミリー射まで定義しています。

さらに、インデックス付き圏 $`(\cat{S}^\hyp)`$ に対するグロタンディーク構成を施します。これが $`\cat{S}`$ の（大域的な）ファミリー構成です。

$`\quad \mrm{Fam}^\cat{S}(\cat{S}) := {\displaystyle \int_\cat{S}} (\cat{S}^\hyp)`$

$`\mrm{Fam}`$ の右肩に $`\cat{S}`$ が乗っている事情は次の過去記事を参照してください。

Diag構成：圏論的構成法の包括的フレームワークとして

ファミリー構成に関しては、以下の過去記事にも書いています。

固定した $`\cat{S}`$ に対する $`\mrm{Fam}^\cat{S}(\hyp)`$ は、次のような関手になります。

$`\quad \mrm{Fam}^\cat{S}(\hyp) : \dimU{\bf CAT}{1} \to \dimU{\bf CAT}{1} \In \mathbb{CAT}`$

したがって、$`\mrm{Fam}^\cat{S}(\cat{S})`$ に $`\mrm{Fam}^\cat{S}(\hyp)`$ を適用することができて、次の圏を構成できます。

$`\quad \mrm{Fam}^\cat{S}( \mrm{Fam}^\cat{S}(\cat{S}) ) \;\in |{\bf CAT}|`$

これが、$`\cat{S}`$ の2階ファミリー構成〈second-order family construction〉です。

そしてそれから

ファイバーで閉じた圏 $`\cat{S}`$ から、次のような圏は、スライス構成と単純ファミリー構成ですぐに作れます。

$`\cat{S}/K`$
$`\cat{S}/K/\obj{g}`$
$`\cat{S}^K`$
$`\cat{S}^K/G`$

それに対して、（大域的な）ファミリー構成や2階ファミリー構成は大規模で若干複雑です。

$`\mrm{Fam}^\cat{S}(\cat{S})`$
$`\mrm{Fam}^\cat{S}( \mrm{Fam}^\cat{S}(\cat{S}) )`$

中間的な圏として次のような圏もあります。

$`\prod_{k\in K} (\cat{S}/G(k) ) \cong \prod_{k\in K} (\cat{S}^{G(k)} )`$
$`(\mrm{Fam}^\cat{S}( \cat{S}) )^K = \mrm{Fam}^\cat{S}[K]( \mrm{Fam}^\cat{S}(\cat{S}) )`$

これら様々な圏達の相互関係を明らかにして、役に立つ計算法則／計算公式を手に入れたい、それが“ファイバーの計算”の動機です。実際の相互関係と計算公式はまたの機会に。

*1:「埋める」という言い方は、“フレーム充填問題の最良のフィラー”を意図してます。「1-圏でもフレーム充填問題、因子分解と比較子」参照

*2:「2階」という言葉は、「2階インデックス付き圏と反ラックス余錐」でも使っています。