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参照用 記事

Diag構成の変種とその書き方

ある文脈では、図式と関手は同義語です。したがって、(ある文脈では)図式の圏とは関手圏のことです。図式の圏〈category of diagrams〉といった場合は、単一の関手圏ではなくて、域が異なる関手も含みます。つまり、図式の圏は、域に関してヘテロジニアスな関手の集まりなのです。

与えられたデータから図式の圏を作る構成(Diag構成)は、とても便利で強力なものです。以下の過去記事で述べています。

Diag構成には“向き”を変えた変種があるので、それについてこの記事で述べます。また、Diag構成の変種も含めて、その対象と射の書き方を決めます。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1} }
\newcommand{\hyp}{\text{-} }
\newcommand{\In}{\text{ in } }
\newcommand{\op}{\mathrm{op} }
\newcommand{\twoto}{\Rightarrow }
\newcommand{\base}[1]{ {{#1}\!\lrcorner} }
\newcommand{\doct}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\dimU}[2]{{#1}\!\updownarrow^{#2}}
\newcommand{\Int}[1]{\displaystyle{\int_{#1}} }
\newcommand{\B}{\boldsymbol{B} }
`$

内容:

反変図式の圏

図式とは関手のことですが、反変関手は反変図式〈contra-diagram〉または余図式〈codiagram〉と呼ぶことにします。図式を余図式に置き換えたDiag構成をCoDiag構成〈CoDiag construction〉と呼んで、次の形で書きます。

$`\quad \doct{D}\text{-}\mrm{CoDiag}^{\cat{D}, J}(\cat{C})`$

CoDiag構成に渡す引数データは次のようです。定義は「Diag構成: 圏論的構成法の包括的フレームワークとして」をみてください。

  1. $`\doct{D}`$ : アンビアント・ドクトリン〈ambient doctrine〉、デフォルトは $`{\bf CAT}`$ 。
  2. $`(\cat{D}, J)`$ : 形状の圏〈category of shapes〉。台圏と編入関手〈incorporation functor〉のペア。
  3. $`\cat{C}`$ : ターゲット圏〈target category〉

CoDiag構成の定義は、共変を反変に変える以外はDiag構成と同じです。(以下の積分記号はグロタンディーク構成です。)

$`\quad \doct{D}\text{-}\mrm{CoDiag}^{\cat{D}, J}(\cat{C}) :=
\Int{\cat{D}} \doct{D}(J(\hyp)^\op, \cat{C})
`$

$`\doct{D}`$ がデフォルトの $`{\bf CAT}`$ である場合は:

$`\quad \mrm{CoDiag}^{\cat{D}, J}(\cat{C}) :=
\Int{\cat{D}} {\bf CAT}(J(\hyp)^\op, \cat{C})
`$

前層の圏は反変図式〈余図式〉の圏なので、次のように書けます。

$`\quad \mrm{PSh}(\cat{C}) := \mrm{CoDiag}^{ {\bf Cat}, \mrm{Incl}}[\cat{C}]({\bf Set})
`$

ここで、$`\mrm{Incl}:{\bf Cat}\to {\bf CAT}`$ (正確には $`\dimU{\bf Cat}{1}\to \dimU{\bf CAT}{1}`$)は包含関手です。$`\mrm{Incl}`$ は何もしない関手なので、次のように書けます。

$`\quad \mrm{CoDiag}^{ {\bf Cat}, \mrm{Incl}}[\cat{C}]({\bf Set})
:= {\bf CAT}(\cat{C}^\op, {\bf Set}) = [\cat{C}^\op, {\bf Set}]
`$

確かに前層の圏の定義です。

$`\mrm{CoDiag}^{{\bf Cat}, \mrm{Incl}}({\bf Set})`$ では、特定の圏 $`\cat{C}`$ に固定しないで、小さい圏上の前層をすべて一挙に考えることになります。

図式の圏の射の書き方

図式の圏の対象(図式=関手)は、ラテン文字大文字で書くことにします。余図式も同じくラテン文字大文字で書くので、字面では共変・反変の区別はできません。図式の圏の射は(余図式の圏の射も)、とりあえずここではギリシャ文字大文字で書くことにします。とりあえずですが。

図式(または余図式)のあいだの射は、2つのパートを持ちます。ベースパート〈base part〉とファイバーパート〈fiber part〉です。ベースパートは、インデキシングパート、形状変換関手、リインデキシング関手、リダクト関手などと呼び名が色々あります。また、Diag構成/CoDiag構成の特殊ケースでは、特有の呼び名があるかも知れません。

図式の圏の射 $`\Phi : S \to T`$ に対して、ベースパートとファイバーパートを次のように書くと約束します。

  • ベースパート : $`\base{\Phi}`$
  • ファイバーパート : $`\Phi^\flat`$

書き方の約束は自転車置き場の議論になりがちで、色々と異論もあるでしょうが、何か決めないと話が進まないのでこう決めます。

補足説明をします。$`\Phi`$ は次のような射です。アンビアント・ドクトリンはデフォルトの $`{\bf CAT}`$ だとします。

$`\quad \Phi: S \to T \In \mrm{Diag}^{\cat{D}, J}(\cat{C})`$

$`\Phi`$ のベースパート $`\base{\Phi}`$ は、形状の圏(の台圏)$`\cat{D}`$ 内の射です。

$`\quad \base{\Phi}: X \to Y \In \cat{C}`$

編入関手 $`J`$ で $`{\bf CAT}`$ に送られることにより、次のような関手になります。

$`\quad J(\base{\Phi}): J(X) \to J(Y) \In {\bf CAT}`$

$`J`$ が包含関手の場合は、$`J`$ は何もしないので:

$`\quad \base{\Phi}: X \to Y \In {\bf CAT}`$

$`X, Y`$ と図式 $`S, T`$ との関係は次です。

$`\quad \mrm{dom}(S) = J(X) \:\text{ i.e. } S: J(X) \to \cat{C}\In {\bf CAT}\\
\quad \mrm{dom}(T) = J(Y) \:\text{ i.e. } T: J(Y) \to \cat{C}\In {\bf CAT}
`$

$`J(\base{\Phi})`$ のプレ結合引き戻しにより、$`T`$ を、 $`S`$ と同じ“土俵”に持ってきます。

$`\quad J(\base{\Phi})^*(T) = J(\base{\Phi}) * T = T \cdot J(\base{\Phi}) \;: J(X) \to \cat{C} \In {\bf CAT}`$

こうすると、$`S`$ と $`J(\base{\Phi})^*(T)`$ は同じ関手圏に居ます。

$`\quad S, J(\base{\Phi})^*(T) : J(X)\to \cat{C} \In {\bf CAT}\\
\text{i.e.}\\
\quad S, J(\base{\Phi})^*(T) \in [J(X), \cat{C}]
`$

関手圏 $`[J(X), \cat{C}]`$ 内の射(=自然変換)で、これらの図式を結ぶことができます。その自然変換が $`\Phi^\flat`$ です。

$`\quad \Phi^\flat : S \to J(\base{\Phi})^*(T) \In [J(X), \cat{C}]\\
\text{i.e.}\\
\quad \Phi^\flat :: S \twoto J(\base{\Phi})^*(T) : J(X) \to \cat{C} \In {\bf CAT}
`$

$`\Phi^\flat`$ は自然変換なので、対象 $`a \in |J(X)|`$ に対して成分を持ちます。その成分は、通常の書き方で書きます。

$`\quad \Phi^\flat_a : S(a) \to T(J(\base{\Phi})(a)) \In \cat{C}`$

逆向きの図式の圏

ファミリーの圏は、Diag構成を使って次のように書けます。

$`\quad {\bf Fam} := \mrm{Diag}^{{\bf Set}, \mrm{Disc} }({\bf Set})`$

$`\mrm{Disc} : {\bf Set} \to {\bf CAT}`$ (正確には $`{\bf Set} \to \dimU{\bf CAT}{1}`$)は集合を離散圏にする関手です。

ファミリーの圏とシグマ関手・パイ関手 // ファミリーの圏の変種: 逆向き」(数式がうまく表示されないならリロード)では、“逆向き”のファミリーの圏 $`{\bf Fam}_{\leftarrow}`$ を定義しました。$`{\bf Fam}_{\leftarrow}`$ は、Diag構成では(CoDiag構成でも)うまく定義できません。“逆向き”の図式の圏が必要です。

ここでの“逆向き”とは、図式の圏の射のファイバーパートの域・余域を逆にすることです。逆向きのDiag構成を $`\mrm{Diag}_{\leftarrow}`$ とします。$`\mrm{Diag}_{\leftarrow}^{\cat{D}, J}(\cat{C})`$ の定義は次のようです。

$`\quad \mrm{Diag}_{\leftarrow}^{\cat{D}, J}(\cat{C}) :=
\Int{\cat{D}} {\bf CAT}(J(\hyp), \cat{C})^\op
`$

これだけだと分かりにくいかも知れません。補足説明します。

形状〈形状対象〉$`X \in |\cat{D}|`$ と選んだとき、

$`\quad |{\bf CAT}(J(X), \cat{C})^\op| = |{\bf CAT}(J(X), \cat{C})|
`$

なので、図式概念は以前と変わりません。$`S:J(X) \to \cat{C}`$ が形状 $`X`$ 上の図式です。

変わるのは、図式のあいだの射の概念です。射をベースパートとファイバーパートに分けます。ベースパートも以前と変わりませんが、ファイバーパートの向きが逆転します。そこで、次のように書くことにします。

  • 逆向きのDiag構成で得られた圏の射を $`\Phi : S \to T`$ とする。
  • $`\Phi`$ のベースパートを $`\base{\Phi}`$ とする。これは以前と同じ。
  • $`\Phi`$ のファイバーパートを $`\Phi^\sharp`$ とする。これは変わる。

$`\base{\Phi}:X \to Y \In \cat{D}`$ として、射 $`\Phi`$ のファイバーパート $`\Phi^\sharp`$ は次の形です。

$`\quad \Phi^\sharp : J(\base{\Phi})(T) \to S \In [J(X), \cat{C}]`$

これは、次のように書いても同じです。

$`\quad \Phi^\sharp : S \to J(\base{\Phi})(T) \In [J(X), \cat{C}]^\op = {\bf CAT}(J(X), \cat{C})^\op
`$

つまり、$`{\bf CAT}`$ のホム圏〈関手圏〉に $`\hyp^\op`$ を付けるだけだったのです。

グロタンディーク構成と積分記号」において、グロタンディーク構成の変種に対して逆方向〈backward {direction}? 副詞は backwordly〉と順方向〈forward {direction}? 副詞は forwardly〉を使ったので、同じ言葉を使うことにして、次のようにします。

  • $`\mrm{Diag}_{\leftarrow}^{\cat{D}, J}(\cat{C})`$ を逆方向Diag構成〈backward Diag construction〉と呼ぶ。
  • $`\mrm{Diag}^{\cat{D}, J}(\cat{C})`$ を単にDiag構成、強調するなら順方向Diag構成〈forward Diag construction〉と呼ぶ。

$`\mrm{CoDiag}_{\leftarrow}`$ も同様に定義します。

逆方向Diag構成を使うと、$`{\bf Fam}_{\leftarrow}`$ は次のように定義できます。

$`\quad {\bf Fam}_{\leftarrow} := \mrm{Diag}_{\leftarrow}^{{\bf Set}, \mrm{Disc} }({\bf Set})`$

Diag構成の例: モノイド・群の表現の圏

$`M`$ をモノイドとすると、$`M`$ の集合表現(集合圏への表現)の圏は次のように書けます。

$`\quad \mrm{Diag}^{{\bf Mon}, \B}[M]({\bf Set})`$

$`\B`$ はモノイドを単対象の圏とみなす関手 $`\B : {\bf Mon} \to {\bf CAT}`$ です。これにより、$`({\bf Mon}, \B)`$ はDiag構成の形状圏となれます。上のDiag構成を具体的に書けば:

$`\quad \mrm{Diag}^{{\bf Mon}, \B}[M]({\bf Set}) = {\bf CAT}(\B M, {\bf Set})`$

圏 $`{\bf CAT}(\B M, {\bf Set})`$ の対象は次の形です。

$`\quad R: \B M \to {\bf Set} \In {\bf CAT}`$

$`|\B M| = \{*\}`$ として、$`R(*) = A \in |{\bf Set}|`$ と置くと、関手 $`R`$ の射パート $`R_\mrm{mor}`$ は次の性質を持ちます。$`\underline{M}`$ はモノイドの台集合です。

$`\text{For } a, b \in \underline{M} \\
\quad R_\mrm{mor}(a) : A \to A \In {\bf Set}\\
\quad R_\mrm{mor}(a b) = R_\mrm{mor}(a);R_\mrm{mor}(b) \;: A \to A \In {\bf Set}\\
\quad R_\mrm{mor}(e) = \mrm{id}_A : A \to A \In {\bf Set}
`$

これは確かにモノイドの集合表現です。

ターゲット圏を集合圏以外にとることもできます。次は、群 $`G`$ の有限次元実係数線形表現の圏になります。

$`\quad \mrm{Diag}^{{\bf Grp}, \B}[G]({\bf FdVect}_{\bf R})`$

$`\mrm{Diag}^{{\bf Mon}, \B}({\bf Set})`$ や $`\mrm{Diag}^{{\bf Grp}, \B}({\bf FdVect}_{\bf R})`$ は、特定のモノイドや群ではなくて、すべてのモノイド/すべての群の表現を一挙に考えた圏になります。