タイトルは、nLab項目 hom-functor preserves limits そのままです。nLab と同じ内容（の一部）をこの記事で説明します。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} }
\newcommand{\In}{\text{ in }}
\newcommand{\msc}[1]{ \mathscr{#1} }
\newcommand{\dimU}[2]{{#1}\!\updownarrow^{#2}}
\newcommand{\twoto}{\Rightarrow }
\newcommand{\Imp}{\Rightarrow }
\newcommand{\op}{\mathrm{op} }
\newcommand{\hyp}{\text{－} }
\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}`$
内容：
はじめに
$`\cat{C}`$ を局所小圏、$`\cat{I}`$ は小さい圏とします。$`D:\cat{I}\to \cat{C}`$ は関手とします。$`D`$ の極限／余極限を考えます。極限／余極限を考える場合、目的の関手は図式〈diagram〉とも呼ばれ、関手の域圏〈ソース圏〉は、図式の形状圏〈shape category〉とかインデキシング圏〈indexing category〉とか呼ばれます。
インデキシング圏 $`\cat{I}`$ の対象・射は
$`\quad u: x \to y \In \cat{I}`$
のように小文字で書くことにします。
今日の話題は次の公式です。
$`\text{For } B\in |\cat{C}|\\
\quad \cat{C}(\mrm{colim}_\cat{I}\, D, B) \cong \mrm{lim}_\cat{I}\,\cat{C}(D(\hyp), B) \In {\bf Set}`$
この公式を示すための補題として、次の3つの同型を示します。
- $`\cat{C}(\mrm{colim}_\cat{I}\, D, B) \cong \mrm{CoconeSet}_D(B) \In {\bf Set}`$
- $`\mrm{lim}_\cat{I}\, \cat{C}(D(\hyp), B) \cong \mrm{ConeSet}_{\cat{C}(D(\hyp), B)}({\bf 1})\In {\bf Set}`$
- $`\mrm{ConeSet}_{\cat{C}(D(\hyp), B)}({\bf 1}) \cong \mrm{CoconeSet}_D(B) \In {\bf Set}`$
余極限と余錐集合
極限については次の過去記事を参照してください。
余極限に関する言葉は、極限の用語に機械的に「余」を付けることにします。
| 極限 | 余極限 |
|---|---|
| 錐 | 余錐 |
| 極限錐 | 余極限余錐 |
| 極限対象 | 余極限対象 |
| 底面 | 余底面 |
| 頂点 | 余頂点 |
図式 $`D:\cat{I} \to \cat{C} \In {\bf CAT}`$ を余底面として、対象 $`X\in |\cat{C}|`$ を余頂点とする余錐の集合は次のように書きます。
$`\quad \mrm{CoconeSet}_D(X)`$
$`f:X \to Y \In \cat{C}`$ に対して、
$`\quad \mrm{CoconeSet}_D(f) : \mrm{CoconeSet}_D(X) \to \mrm{CoconeSet}_D(Y) \In {\bf Set}`$
を定義できて関手性を示せるので、$`\mrm{CoconeSet}_D(\hyp)`$ は余前層（集合圏への共変関手）となります。
$`\quad \mrm{CoconeSet}_D : \cat{C} \to {\bf Set}\In {\bf CAT}`$
この余前層を余表現する対象が余極限対象です（「圏論的な普遍構成の代表的な例 // 極限と余極限」参照）。このことは次のように表せます。
$`\quad \cat{C}(\mrm{colim}_\cat{I}\, D, \hyp) \cong \mrm{CoconeSet}_D(\hyp) \In [\cat{C}, {\bf Set}]`$
この同型は、余極限の定義そのものです。
特定の対象 $`B \in |\cat{C}|`$ を代入すれば次の同型が出ます。
前層の極限集合と一点頂点錐集合
$`F:\cat{I}^\op \to {\bf Set}\In {\bf CAT}`$ を前層とします。前層は、集合圏に値をとる反変図式です。もちろん極限・余極限を定義できます。次の同型が成立するような集合 $`L`$ が前層〈反変図式〉$`F`$ の極限集合です。
$`\quad {\bf Set}(\hyp, L) \cong \mrm{ConeSet}_F(\hyp) \In [\cat{I}^\op, {\bf Set}]\\
\quad L = \mrm{lim}_\cat{I}\, F \;\in |{\bf Set}|
`$
$`F`$ の極限集合 $`L`$ は、頂点が一点〈単元集合〉である錐集合と同型であること（下）を示します。
$`\quad L \cong \mrm{ConeSet}_F({\bf 1}) \In {\bf Set}`$
$`F`$ を底面、$`L`$ を頂点とする極限錐を次の形で書きます。
$`\quad (\pi_i : L \to F(i))_{i\in |\cat{I}|}`$
まず、$`L \to \mrm{ConeSet}_F({\bf 1})`$ の方向の対応を作ります。要素 $`a\in L`$ を選ぶと、ポインティング写像が決まります。
$`\quad a^\sim : {\bf 1} \to L \In {\bf Set}`$
極限錐の成分達に $`a^\sim`$ をプレ結合すると、次の写像の族が得られます。
$`\quad (a^\sim; \pi_i : {\bf 1} \to F(i))_{i\in |\cat{I}|}`$
これは、作り方から、$`\mrm{ConeSet}_F({\bf 1})`$ の要素（頂点が一点である錐）になっています。錐の条件を満たしています。
今度は逆に、頂点が一点である錐 $`\varphi`$ が与えられたとします。
$`\quad (\varphi_i : {\bf 1} \to F(i))_{i\in |\cat{I}|}`$
$`L`$ を頂点とする極限錐は、$`F`$ を底面とする錐の圏の終対象だったので、$`\varphi`$ の頂点 $`{\bf 1}`$ から $`L`$ への写像がひとつだけ存在します。唯一の写像の値として $`L`$ の要素が決まります。
以上に定義した2つの写像が、互いに逆になることは容易に分かります。つまり、次が言えます。
$`\quad \mrm{lim}_\cat{I}\, F \cong \mrm{ConeSet}_F({\bf 1})\In {\bf Set}`$
$`F := \cat{C}(D(\hyp), B)`$ と置くと、次の同型が得られます。
前層の一点頂点錐集合と余錐集合
前節の前層
$`\quad F := \cat{C}(D(\hyp), B) \;: \cat{I}^\op \to {\bf Set} \In {\bf CAT}`$
に対して、$`F`$ を底面、一点 $`{\bf 1}`$ を頂点とする錐達の集合を考えます。この錐集合 $`\mrm{ConeSet}_F({\bf 1})`$ と、次の余錐集合が同型になります。
$`\quad \mrm{CoconeSet}_D(B)`$
これを示すために、錐 $`\varphi \in \mrm{ConeSet}_F({\bf 1})`$ を選びます。この錐は次のように書けます。
$`\quad (\varphi_i : {\bf 1} \to \cat{C}(D(i), B) )_{i\in |\cat{I}|}`$
この写像の族は錐（特殊な自然変換）なので、次の錐の条件（自然性）を満たします。
$`\require{AMScd}
\text{For }u:i \to j \In \cat{I}\\
\quad \begin{CD}
{\bf 1} @>{\varphi_i}>> \cat{C}(D(i), B)\\
@| @AA{\cat{C}(D(u), B)}A \\
{\bf 1} @>{\varphi_j}>> \cat{C}(D(j), B)
\end{CD}\\
\text{commutative in }{\bf Set}
`$
ポインティング写像と要素を同一視するなら、次のように書いても同じです。
$`\quad (\varphi_i \in \cat{C}(D(i), B) )_{i\in |\cat{I}|}`$
錐の条件は次の形になります。
$`\text{For }u:i \to j \In \cat{I} \\
\quad u; \varphi_j = \varphi_i
`$
ホムセットの要素の族は射の族なので、族をさらに書き換えると：
$`\quad (\varphi_i : D(i) \to B \In \cat{C} )_{i\in |\cat{I}|}`$
この射の族が、集合 $`\mrm{CoconeSet}_D(B)`$ に属する余錐であるためには、次の図式の可換性が要求されます。
$`\require{AMScd}
\text{For } u:x \to y \In \cat{I}\\
\quad \begin{CD}
D(i) @>{\varphi_i}>> B\\
@V{D(u)}VV @|\\
D(j) @>{\varphi_j}>> B
\end{CD}\\
\quad \text{commutative in }\cat{C}
`$
が、$`u; \varphi_j = \varphi_i`$ が、この図式の可換性を導きます。
以上で、次の対応を作れました（$`\varphi'`$ は対応の結果）。
$`\quad \mrm{ConeSet}_F({\bf 1})\ni \varphi \mapsto \varphi' \in \mrm{CoconeSet}_D(B)`$
対応を逆向きにたどれるので、この対応は可逆です。つまり、次の同型が成立します。
反変ホム関手は余極限を極限に移す
タイトルは「ホム関手は極限を保存する」でしたが、ここで実際に示すことは「反変ホム関手は余極限を極限に移す」ことです。補題を使って次のような変形をします。
$`\quad \cat{C}(\mrm{colim}_\cat{I}\, D, B) \\
\cong \mrm{CoconeSet}_D(B) \\
\cong \mrm{ConeSet}_{\cat{C}(D(\hyp), B)}({\bf 1})\\
\cong \mrm{lim}_\cat{I}\, \cat{C}(D(\hyp), B) \:\In {\bf Set}
`$
したがって、次が成立します。
