以下の2つの記事で、二重圏の縦横、上下左右の問題を述べました。
二重圏のタイト射 $`f`$ に対して、その分身であるようなプロ射が対応することがあります。それを、$`f`$ の同伴〈コンパニオン | companion〉といいます。$`f`$ の同伴を、プロ関手の場合の定義に由来する記法で書くことがあるのですが、その記法の左右も約束によって決まります。つまり、異なる約束をすると左右も変わってしまいます。$`\newcommand{\In}{\text{ in }}
\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\hyp}{\text{－} }
\newcommand{\o}[1]{\overline{#1} }
\newcommand{\op}{\mathrm{op} }
\newcommand{\proar}{\dashrightarrow }
\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} }
`$
内容：
プロ関手の方向
「順序ブリッジ： お金で計れないものをお金で計ると」で紹介したように、プロ関手をプロ射とする二重圏は、二重圏の典型的例のひとつです。
$`\cat{C}, \cat{D}`$ を2つの圏として、プロ関手 $`P`$ とは、次のような二項関手〈双関手）です。
$`\quad P : \cat{C}^\op \times \cat{D} \to {\bf Set} \In {\bf CAT}`$
これは、関手としてのプロファイル（域と余域の仕様）を書いたのですが、プロ関手としてのプロファイルは次のニ種類が考えられます。
- $`P : \cat{C} \proar \cat{D}`$
- $`P : \cat{D} \proar \cat{C}`$
ニ番目のほうが多数派な気がしますが、ここでは一番目のように決めます。破線矢印 $`\proar`$ は、プロ関手を表すために使うとします。
プロ関手の方向を、上記一番目のように約束すると、次の同値が成立します。
$`\quad (P : \cat{C}^\op \times \cat{D} \to {\bf Set} \In {\bf CAT}) \iff (P : \cat{C} \proar \cat{D} \In {\bf PROF})`$
関手の同伴プロ関手
「状態遷移系としての前層・余前層・プロ関手 // 捻じれ対のテキスト表示と図示」で導入した上線〈オーバーライン〉記法や関手の右肩の $`\hyp^\op`$ などを使います。
$`F:\cat{C} \to \cat{D} \In {\bf CAT}`$ が関手のとき、この関手に対応する同伴〈companion〉プロ関手 $`F_*`$ を定義できます*1。その定義は：
$`\text{For }x \in \cat{C},\; y \in \cat{D}\\
\quad F_*(\o{x}, y) := \cat{D}(F^\op(\o{x}), y)
`$
ここで、$`x, y`$ は対象も射も表す変数だとします。ポイントフリースタイルで書けば：
$`\quad F_* := (F^\op \times \mrm{Id}_\cat{D}) ; \mrm{Hom}_\cat{D} \;: \cat{C}^\op\times \cat{D} \to {\bf Set} \In {\bf CAT}
`$
セミコロンは、関手の図式順結合記号です。関手の結合が関手圏の横結合であるときはアスタリスクを使っていますが、今は関手の結合が二重圏のタイト結合なのでセミコロンにしています。
前節で決めたプロ関手の向きから、同伴 $`F_*`$ は次のプロファイルを持ちます。
$`\quad F_* : \cat{C} \proar \cat{D} \In {\bf PROF}
`$
$`F \mapsto F_*`$ という対応は、ホム圏の対象集合のあいだの写像を定義します。
$`\quad \hyp_* : |{\bf CAT}(\cat{C}, \cat{D})| \to |{\bf PROF}(\cat{C}, \cat{D})| \In {\bf SET}`$
$`F_* (\o{x}, y) = \cat{D}(F^\op(\o{x}), y)`$ であることから、$`F_* = \cat{D}(F, \hyp)`$ とも書きます。右肩の $`\hyp^\op`$ が取れてますが、略記なので細かいことは気にしないという態度です。さらに短く次のように略記します。
- $`F_* = \cat{D}(F, \mrm{id})`$
- $`F_* = \cat{D}(F, 1)`$
これらの略記で、$`F`$ を左側に書いているのは、プロ関手の方向の約束からです。反対向きの約束をすると、$`F`$ の同伴プロ関手は次のように書くことになります。
- $`F_* = \cat{D}(\mrm{id}, F)`$
- $`F_* = \cat{D}(1, F)`$
二重圏に関する論文を見てみましょう。セレップ・ロアルド・クーデンバーグは、以下の論文で $`F_* = \cat{D}( F, \mrm{id}_\cat{D})`$ のような書き方をしています。
- [Kou19-22]
- Title: Augmented virtual double categories
- Author: Seerp Roald Koudenburg
- Submitted: 24 Oct 2019 (v1), 8 Oct 2022 (v3)
- Pages: 65p
- URL: https://arxiv.org/abs/1910.11189
二重圏のストリング図に関する以下の論文で、ディビッド・ジャズ・マイヤースも同様な記法 $`\cat{D}(F, 1)`$ を使っています。
- [Mye16-18]
- Title: String Diagrams For Double Categories and Equipments
- Author: David Jaz Myers
- Submitted: 8 Dec 2016 (v1), 2 Mar 2018 (v4)
- Pages: 33p
- URL: https://arxiv.org/abs/1612.02762
約束を決めておかないとコミュニケーションが出来ないので、僕は次の約束を採用することにします。
- 二項関手 $`P:\cat{C}^\op\times \cat{D} \to {\bf Set}`$ に対応するプロ関手の向きは $`P:\cat{C} \proar \cat{D}`$ とする。
- 関手 $`F:\cat{C} \to \cat{D}`$ の同伴プロ関手は $`F_* = \cat{D}(F, \mrm{id})`$ と書く。同伴プロ関手の向きは $`F_* :\cat{C} \proar \cat{D}`$ となる。
*1:$`F_!`$ と書くこともあります。
