ファイバーの計算（「ファイバーの計算 基本概念」参照）において、バンドル-ファミリー対応は基本となる事実です。これは、スライス圏〈オーバー圏 | バンドルの圏〉とファミリーの圏が圏同値となることです。
バンドル-ファミリー対応を短く書けば $`\mathcal{S}/K \cong \mathcal{S}^K`$ です。しかし、すこしだけ一般化して $`\mathcal{S}/K \cong \mathcal{S'}^K`$ という対応〈圏同値〉にしたほうが良さそうです。$`\mathcal{S}`$ と $`\mathcal{S'}`$ は同一の圏とは限りませんが、$`\mathcal{S'} \subseteq \mathcal{S}`$ （部分圏）は仮定します。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} }
\newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} }
\newcommand{\In}{\text{ in }}
%\newcommand{\hyp}{\text{－} }
`$
内容：
バンドル-ファミリー対応
$`\cat{S}`$ を集合圏の部分圏とします。$`\cat{S}`$ の対象は集合で射は写像〈関数〉です。対象〈集合〉$`K \in |\cat{S}|`$ に対して、次の圏同値が成立することをバンドル-ファミリー対応〈bundle-family correspondence〉と呼びます。
$`\quad \cat{S}/K \cong \cat{S}^K \In {\bf CAT}`$
左辺はスライス圏〈オーバー圏〉で、右辺はファミリーの圏です。スライス圏の対象をバンドルとも呼ぶので、バンドルとファミリーが対応することになります。
バンドル-ファミリー対応については、「ファイバーの計算 基本概念 // バンドル-ファミリー対応」にあります。ファミリーの圏については「ファイバーの計算 幾つかの圏同値 // 復習と設定」に短くまとめてあります。
バンドル-ファミリー対応（の圏同値）を与える関手を $`R_K, S_K`$ と書いて、ファイバー関手〈fiber functor〉、総和関手〈summation functor〉と呼びます。詳しくは「ファイバーの計算の動機としてのプルバック公式 // プルバック公式」を見てください。
$`\quad \xymatrix@C+1pc{
{\cat{S}/K} \ar@/^1pc/[r]^{R_K}
& {\cat{S}^K} \ar@/^1pc/[l]^{S_K}
}\\
\quad \In {\bf CAT}`$
バンドル-ファミリー対応が成立するような圏の例を、「ファイバーの計算 基本概念」 で3つ挙げておきました。
- 集合圏 $`{\bf Set}`$ ： 次の圏同値が成立します。
$`\quad {\bf Set}/K \cong {\bf Set}^K \In {\bf Cat}`$ - 有限集合の圏 $`{\bf FinSet}`$ ： 次の圏同値が成立します。
$`\quad {\bf FinSet}/K \cong {\bf FinSet}^K \In {\bf Cat}`$ - 基数が 1 以下の集合の圏 $`{\bf Set}_{\le 1}`$ ： 次の圏同値が成立します。
$`\quad {\bf Set}_{\le 1}/K \cong ({\bf Set}_{\le 1})^K \In {\bf Cat}`$
$`K`$ が空集合の場合でも圏同値は成立します。例えば、次は成立します。
$`\quad {\bf Set}/\emptyset \cong {\bf Set}^\emptyset \In {\bf Cat}`$
左辺は、空集合上の空バンドルだけを対象として、恒等射を唯一の射とする自明圏です。右辺は、空集合をインデキシング集合とする唯一のファミリーを対象として、そのファミリーの恒等ファミリー射を唯一の射とする自明圏です。左右ともに自明圏なので圏同値（より強く圏同型）です。
全射の圏
次のように約束します。
- $`{\bf Set}_{\ge 1}`$ は、基数が 1 より大きい集合を対象とする、$`{\bf Set}`$ の充満部分圏。集合圏から空集合を除いた圏。
- $`{\bf Set}^\mrm{surj}`$ は、すべての集合（空集合も含む）を対象として、全射〈surjection〉を射とする、集合圏の部分圏。
- $`{\bf Set}_{\ge 1}^\mrm{surj}`$ は、基数が 1 より大きい集合を対象として、全射〈surjection〉を射とする、集合圏の部分圏。
次のファイバー関手はいつものとおりに定義できます。
$`\quad R_K : {\bf Set}^\mrm{surj}/K \to ({\bf Set}^\mrm{surj})^K \In {\bf CAT}`$
しかし、圏同値ペアの相方となる総和関手がうまく定義できません。$`({\bf Set}^\mrm{surj})^K`$ の対象であるファミリーは次のような写像です。
$`\quad G : K \to |{\bf Set}^\mrm{surj}| \In {\bf SET}`$
$`|{\bf Set}^\mrm{surj}| = |{\bf Set}|`$ なので、次のように書いても同じです。
$`\quad G : K \to |{\bf Set}| \In {\bf SET}`$
$`G(k) = \emptyset`$ となる $`k\in K`$ が存在すれば、ファミリー $`G`$ から作ったシグマ型（ファミリーの総直和）の標準射影（下）は全射にはなりません。
$`\quad \pi_G : \sum_K(G) \to K \In {\bf Set}`$
したがって、$`{\bf Set}^\mrm{surj}`$ の射を作ることは出来ないので、総和関手 $`S_K`$ の構成に失敗します。
$`{\bf Set}^\mrm{surj}_{\ge 1} \subseteq {\bf Set}^\mrm{surj}`$ を使うと、圏同値がうまく作れます。
$`\quad \xymatrix@C+1pc{
{ {\bf Set}^\mrm{surj}/K} \ar@/^1pc/[r]^{R_K}
& { ({\bf Set}^\mrm{surj}_{\ge 1})^K} \ar@/^1pc/[l]^{S_R}
}\\
\quad \In {\bf CAT}`$
単射の圏
前節の例は、最初から $`{\bf Set}^\mrm{surj}_{\ge 1}`$ だけを考えれば済む話です。が、単射の圏 $`{\bf Set}^\mrm{inj}`$ だと状況が変わります。まず、次のような圏同値ペアはうまく作れません。うまくいかない理由は全射の圏のときと同様です。$`({\bf Set}^\mrm{inj})^K`$ が豊富過ぎるのです。
$`\quad \xymatrix@C+1pc{
{ {\bf Set}^\mrm{inj}/K} \ar@/^1pc/[r]^{R_K}
& { ({\bf Set}^\mrm{inj})^K} \ar@/^1pc/[l]^{S_K}
}\\
\quad \In {\bf CAT}`$
次ならファイバー関手と総和関手を作れます。
$`\quad \xymatrix@C+1pc{
{ {\bf Set}^\mrm{inj}/K} \ar@/^1pc/[r]^{R_K}
& { ({\bf Set}_{\le 1})^K} \ar@/^1pc/[l]^{S_K}
}\\
\quad \In {\bf CAT}`$
この場合も $`{\bf Set}_{\le 1} \subseteq {\bf Set}^\mrm{inj}`$ なので、ファイバー達を集めた圏としてもとの圏の部分圏をとっています。
ファイバー対象からなる部分圏
圏 $`\cat{S}`$ がファイバーに関して閉じているとは、任意の射の任意のファイバー $`f^{-1}(k)`$ が $`\cat{S}`$ の対象であることでした。この条件は、ファイバーになり得ない対象の存在を否定していません。ファイバーになり得ない対象があると、バンドル-ファミリー対応がうまく作れません。ファイバーとなる対象だけを集めた部分圏 $`\cat{S'}`$ を作れば、次のようなバンドル-ファミリー対応が作れるときがあります。
$`\quad \cat{S}/K \cong \cat{S'}^K \In {\bf CAT}`$
ファイバー関手しか必要ないときは、わざわざ部分圏 $`\cat{S'}`$ を考える必要はありませんが、総和関手を一緒にした圏同値ペアが必要なときは、ファイバー対象からなる部分圏 $`\cat{S'}`$ が必要になるときがあります。
