この記事は、他の記事で述べていなかった（抜け落ちていた）事項を説明します。他の記事（過去記事も含む）から参照することを目的にしています。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} }
\newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} }
\newcommand{\In}{\text{ in }}
`$
$`\cat{S}`$ を集合圏の部分圏とします。$`\cat{S}`$ の任意の射 $`f:I \to J`$ と任意の要素 $`j \in J`$ に対して、ファイバー〈逆像〉 $`f^{-1}(j)`$ が $`\cat{S}`$ の対象なら、圏 $`\cat{S}`$ はファイバーに関して閉じている〈closed with respect to fibers〉といいます。これに関しては過去に何度か述べています。
$`\cat{S}`$ がファイバーに関して閉じていれば、ファイバー関手 $`R_K`$ を構成できます。
$`\text{For }K \in |\cat{S}|\\
\quad R_K : \cat{S}/K \to \cat{S}^K \In {\bf CAT}
`$
しかし、ファイバー関手の（弱い意味での）逆である総和関手の存在は言えません。総和関手の構成には、別な閉性〈closure property〉が必要です。「総和に関して閉じている」「総直和に関して閉じている」だと、ちょっと曖昧なので、当該の閉性を他と区別できるように「シグマ構成に関して閉じている」と呼ぶことにします。
$`K\in |\cat{S}|`$ に対して、次のような写像が $`K`$ 上の〈$`K`$ をインデキシング集合とする〉ファミリー〈family〉です。
$`\quad G : K \to |\cat{S}| \In {\bf SET}`$
$`K`$ を離散圏とみなして、同じ記号 $`K`$ で表します。すると、ファミリー $`G`$ は次のような関手です。
$`\quad G : K \to \cat{S} \In {\bf CAT}`$
$`\cat{S} \subseteq {\bf Set}`$ だったので、ファミリーは次の関手とみなせます。
$`\quad G : K \to {\bf Set} \In {\bf CAT}`$
集合圏で、この関手の余極限を作ります。それがファミリーの総和〈summation〉、またはシグマ型〈sigma type〉です。
$`\quad \sum_K(G) = \sum_{k\in K}G(k) = \mrm{colim}_K\, G \; \in |{\bf Set}|`$
次の2つの条件を満たすときに、圏 $`\cat{S}`$ はシグマ構成に関して閉じている〈closed with respect to the sigma construction〉と言います。
- 任意の対象 $`K\in |\cat{S}|`$ と任意のファミリー $`G:K \to \cat{S} `$ に対して、シグマ型〈総和 | 総直和 | 離散余極限〉 $`\sum_K(G)`$ を $`\cat{S}`$ の対象から選べる。
- シグマ型の標準射影 $`\pi_G : \sum_K(G) \to K`$ は $`\cat{S}`$ の射である。
$`\cat{S}`$ がシグマ構成に関して閉じていれば、総和関手 $`S_K`$ を構成できます。
$`\text{For }K \in |\cat{S}|\\
\quad S_K : \cat{S}^K \to \cat{S}/K \In {\bf CAT}
`$
集合圏における場合と同様にして、$`R_K, S_K`$ により $`\cat{S}/K`$ と $`\cat{S}^K`$ の圏同値が言えます。
