圏のスパンの全体は、プルバックを使って圏にすることができます。スパンの左脚と右脚に制約を付けても圏を構成できるときがあります。こうして作った制約付きスパンの圏が役に立つことがあります。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} }
\newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} }
%\newcommand{\op}{ \mathrm{op} }
\newcommand{\In}{\text{ in }}
%\newcommand{\dimU}[2]{ {{#1}\!\updownarrow^{#2}} }
%\newcommand{\Imp}{\Rightarrow}
%\newcommand{\u}[1]{\underline{#1}}
\newcommand{\o}[1]{\overline{#1}}
%\newcommand{\twoto}{ \Rightarrow }
\newcommand{\id}{ \mathrm{id} }
%\newcommand{\hyp}{\text{－} }
\newcommand{\NFProd}[3]{ \mathop{_{#1} \!\underset{#2}{ \times }\,\!_{#3} } }
`$
内容：
関連記事：
圏の射のクラス
$`\cat{C}`$ を圏として、$`\cat{C}`$ の射の集合の部分集合 $`\cat{E}\subseteq \mrm{Mor}(\cat{C})`$ を、$`\cat{C}`$ の射のクラス〈class of morphisms〉とか、射のファミリー〈family of morphisms〉と言います。他の文脈では、「クラス」「ファミリー」は他の意味を持つでしょうが、ここでは単に部分集合というだけです。
射のクラスも、圏と同じくカリグラフィー体文字で表しますが、$`\cat{C}, \cat{D}`$ は圏、$`\cat{E}, \cat{F}`$ は射のクラスだとします（一時的な約束）。
射のクラス $`\cat{E}\subseteq \mrm{Mor}(\cat{C})`$ に関して、次の言い方をします。
- $`\cat{E}`$ が $`\cat{C}`$ のすべての恒等射を含むとき、$`\cat{E}`$ は広いクラス〈{broad | wide} class〉と呼ぶ。
- $`f, g\in \cat{E}`$ ならば $`f;g\in \cat{E}`$ のとき、結合で閉じている〈closed under composition〉、または結合で安定している〈stable under composition〉と言う。
$`\cat{E}`$ が $`\cat{C}`$ の射のクラスで結合で閉じているとき、$`\cat{C}`$ の部分圏 $`\widehat{\cat{E}}`$ を次のようにして構成できます。
- $`|\widehat{\cat{E}}| = \mrm{Obj}(\widehat{\cat{E}}) := \{x\in \mrm{Obj}(\cat{C}) \mid \exists f\in \cat{E}.\, x = \mrm{dom}(f) \lor x = \mrm{cod}(f) \}`$
- $`\mrm{Mor}(\widehat{\cat{E}}) := \cat{E}\cup \{ \id_x \mid x\in |\cat{\widehat{E}}| \}`$
射のクラス $`\cat{E}`$ が広いとき、部分圏 $`\widehat{\cat{E}}`$ は広い部分圏になります。
集合圏 $`{\bf Set}`$ において、すべての単射のクラスを $`{\bf Inj} \subseteq \mrm{Mor}({\bf Set})`$ とすると、次が成立します。
- 2つの単射の結合は単射なので、射のクラス $`{\bf Inj}`$ は結合に関して閉じている〈安定している〉。
- 恒等写像は単射なので、射のクラス $`{\bf Inj}`$ は広いクラスである。
任意の部分圏 $`\cat{D} \subseteq \cat{C}`$ に対して、$`\mrm{Mor}(\cat{D})`$ は、圏 $`\cat{C}`$ の結合で閉じている〈安定している〉射のクラスになります。なので、部分圏と結合で閉じている射のクラスは大差ないのですが、それでも射のクラス〈射のファミリー〉という言い方は使います。
ファイバー引き戻しで安定なクラス
$`\cat{E}, \cat{F}\subseteq \mrm{Mor}(\cat{C})`$ を、圏 $`\cat{C}`$ の2つの射のクラスだとします。$`f\in \cat{E}, b \in \cat{F}`$ は次のようなコスパンを形成するとします。
$`\quad \xymatrix{
{}
& X \ar[d]^{b}
\\
A \ar[r]_{f}
& B
}\\
\quad \In \cat{C}\\
`$
もし、このコスパンに対するプルバック四角形があるのなら、次のように書きます。
$`\quad \xymatrix{
{A \NFProd{f}{B}{b} X} \ar[d]_{\pi^{f, b}_1} \ar[r]^-{\pi^{f, b}_2}
\ar@{}[dr]|{\text{p.b.}}
& X \ar[d]^{b}
\\
A \ar[r]_{f}
& B
}\\
\quad \In \cat{C}
`$
$`\cat{C}`$ の対象 $`{A \NFProd{f}{B}{b} X}`$ はファイバー積〈{fiber | fibered} product〉です。$`\pi^{f,b}_1, \pi^{f,b}_1,`$ は、ファイバー積の第一／第二射影〈first/second projection〉です。第一／第二射影は次の呼び名と書き方もあります。
- $`f^\# b := \pi^{f, b}_1`$ ： $`b`$ の $`f`$ によるファイバー引き戻し〈{fiber | fibered} pullback〉
- $`b^\# f := \pi^{f, b}_2`$ ： $`f`$ の $`b`$ によるファイバー引き戻し
射影の記号とファイバー引き戻しの書き方を混ぜて使うこともあります。
$`\quad \xymatrix{
{A \NFProd{f}{B}{b} X} \ar[d]_{f^\# b} \ar[r]^-{\pi^{f, b}_2}
\ar@{}[dr]|{\text{p.b.}}
& X \ar[d]^{b}
\\
A \ar[r]_{f}
& B
}\\
\quad \In \cat{C}
`$
コスパンを形成するような $`f\in \cat{E}, b\in \cat{F}`$ の任意のペア $`(f, b)`$ に対して、次が成立しているとします。
- コスパン $`(f, b)`$ に対するプルバック四角形〈極限錐〉が存在する。
- ファイバー引き戻し $`f^\# b`$ が $`\cat{F}`$ に属する。
このとき、射のクラス $`\cat{F}`$ は、$`\cat{E}`$ によるファイバー引き戻しに関して閉じている〈closed under fiber pullbacks of $`\cat{E}`$〉、または安定している〈stable under fiber pullbacks of $`\cat{E}`$〉と言います。
集合圏 $`{\bf Set}`$ において、$`\cat{E} := \mrm{Mor}({\bf Set})`$ 、$`\cat{F} := {\bf Inj}`$ と置くと、単射達のクラス $`\cat{F}`$ は、任意の写像達 $`\cat{E}`$ によるファイバー引き戻しに関して閉じて〈安定して〉います。
スパンのセットアップとスパンの圏
圏 $`\cat{C}`$ と、2つの射のクラス $`\cat{E}, \cat{F} \subseteq \mrm{Mor}(\cat{C})`$ に関して、次の条件を考えます。
- $`\cat{E}, \cat{F}`$ はともに、結合に関して閉じた広いクラスである。
- $`\cat{E}`$ は、$`\cat{F}`$ によるファイバー引き戻しに関して閉じている。
- $`\cat{F}`$ は、$`\cat{E}`$ によるファイバー引き戻しに関して閉じている。
このような3つ組 $`(\cat{C}, (\cat{E}, \cat{F}))`$ を、圏 $`\cat{C}`$ におけるスパンのセットアップ〈setup for spans〉と呼ぶことにします。
スパンのセットアップ $`(\cat{C}, (\cat{E}, \cat{F}))`$ から、スパンの圏 $`\mrm{SPAN}( \cat{C}, (\cat{E}, \cat{F}) )`$ を構成できます。以下のようです。スパンに関する用語は「2-圏のなかのスパンのあいだの射」の前半を参照してください。
- $`\mrm{SPAN}( \cat{C}, (\cat{E}, \cat{F}) )`$ の対象は、$`\cat{C}`$ の対象である。
- 2つの対象 $`A, B`$ に対して、$`A`$ から $`B`$ への射は、$`A`$ を左足、$`B`$ を右足とするスパンで、左脚は $`\cat{E}`$ に属し、右脚は $`\cat{F}`$ に属する。
スパンの圏の定義には、いくつかの問題があります。そのことは次の過去記事で書いています。
ここでは、微妙な点には踏み込まず、スパンの圏を大雑把に説明します。
スパンを次の形に書きます。
$`\quad S = (\o{S}, S_l, S_r)\\
\quad \xymatrix {
{ }
&{\o{S} } \ar[dl]_{S_l} \ar[dr]^{S_r}
&{ }
\\
\cdot
&{}
&\cdot
}\\
\quad \In \cat{C}
`$
スパン $`S`$ が $`S_r\in\cat{E}, S_l \in\cat{F}`$ のとき、$`(\cat{E}, \cat{F})`$-スパン〈$`(\cat{E}, \cat{F})`$-span〉と呼ぶことにします。ここで、$`\cat{E}, \cat{F}`$ はスパンのセットアップの条件を満たします。
$`S = (\o{S}, S_l, S_r), T = (\o{T}, T_l, T_r)`$ が次のような2つの$`(\cat{E}, \cat{F})`$-スパンだとします。$`S`$ の右足と $`T`$ の左足は一致しているとします。
$`\quad \xymatrix{
{}
&{\o{S}} \ar[dl]_{S_l}\ar[dr]^{S_r}
&{}
&{\o{T}} \ar[dl]_{T_l}\ar[dr]^{T_r}
&{}
\\
{A}
&{}
&{B}
&{}
&{C}
}\\
\quad \In \cat{C}
`$
$`(\cat{C}, (\cat{E}, \cat{F}))`$ がスパンのセットアップであったことから、以下のようなプルバック四角形を描き足すことができます。
$`\quad \xymatrix{
{}
&{}
&{\o{S} \NFProd{S_r}{B}{T_l}\o{T}} \ar[dl]_{{S_r}^\# T_l}
\ar[dr]^{{T_l}^\# S_r}
&{}
&{}
\\
{}
&{\o{S}} \ar[dl]_{S_l}\ar[dr]^{S_r}
\ar@{}[rr]|{\text{p.b.} }
&{}
&{\o{T}} \ar[dl]_{T_l}\ar[dr]^{T_r}
&{}
\\
{A}
&{}
&{B}
&{}
&{C}
}\\
\quad \In \cat{C}
`$
スパンのセットアップの条件から、ファイバー積をヘッド〈ボディ〉とする新しいスパンは再び $`(\cat{E}, \cat{F})`$-スパンとなります。また、射のクラス $`\cat{E}, \cat{F}`$ は両方とも広いので、恒等射を含みます。つまり、次のような恒等スパンは $`(\cat{E}, \cat{F})`$-スパンです。
$`\quad \xymatrix{
{}
&{A} \ar[dl]_{\id_A} \ar[dr]^{\id_A}
&{}
\\
{A }
&{}
&{A}
}\\
\quad \In\cat{C}
`$
以上から、スパンのセットアップ $`(\cat{C}, (\cat{E},\cat{F}))`$ から圏 $`\mrm{SPAN} ( \cat{C}, (\cat{E},\cat{F}) )`$ が構成できました。ただし、「スパンの圏って定義できるの？」で指摘したように、サイズや法則の緩さの問題はあります。ホムセットごとの同値関係を入れて商集合をとった圏は $`\mrm{Span}(\cat{C},(\cat{C},\cat{F}) )`$ とします。
以上に定義した、スパンのセットアップ $`(\cat{C}, (\cat{E},\cat{F}))`$ から作った圏 $`\mrm{SPAN}(\cat{C}, (\cat{E}, \cat{F}) )`$ 、$`\mrm{Span}( \cat{C}, (\cat{E},\cat{F}) )`$ は、圏 $`\cat{C}`$ のすべてのスパンを射にしているわけではなくて、左脚 $`\cat{E}`$ 、右脚が $`\cat{F}`$ という制約を付けています。この事情から、$`(\cat{E},\cat{F})`$-スパンを制約付きスパン〈constrained span〉とも呼びます。$`\cat{E}`$ は左脚の制約クラス〈constraint class〉、$`\cat{F}`$ は右脚の制約クラスです。
事例
スパンのセットアップ $`(\cat{C} (\cat{E}, \cat{F}))`$ （脚を成約するクラス達）を次のように定義します。
- $`\cat{C} := {\bf Set}`$ ： 集合圏
- $`\cat{E} := {\bf Inj}`$ ： 単射のクラス
- $`\cat{F} := {\bf Map} := \mrm{Mor}({\bf Set})`$ ： 任意の写像のクラス
これが実際にスパンのセットアップであるためには、次が要求されます。
- $`{\bf Inj}, {\bf Map}`$ はともに、結合に関して閉じた広いクラスである。
- 単射と単射の結合は単射であり、恒等写像は単射である。
- 写像と写像の結合は写像であり、恒等写像は写像である。（自明）
- $`{\bf Inj}`$ は、$`{\bf Map}`$ によるファイバー引き戻しに関して閉じている。
- 単射を任意の写像でファイバー引き戻しすると単射である。
- $`{\bf Map}`$ は、$`{\bf Inj}`$ によるファイバー引き戻しに関して閉じている。
- 写像を単射でファイバー引き戻しすると写像である。（自明）
一部は完全に自明な条件です。自明とまでは言えない条件も、容易に確認できます。
このスパンのセットアップから、スパンの圏 $`\mrm{SPAN}({\bf Set}, ({\bf Inj}, {\bf Map}))`$ と $`\mrm{Span}({\bf Set}, ({\bf Inj}, {\bf Map}))`$ が構成できます。後者のスパンの圏では、次のようなスパン $`S, T`$ は同一視されます。
$`\quad \xymatrix{
{}
&{\o{S}} \ar@{^{(}->} [dl]_{S_l}\ar[dr]^{S_r}
\ar[dd]|{\cong}
&{}
\\
{A}
&{}
&{B}
\\
{}
&{\o{T}} \ar@{^{(}->} [ul]^{T_l}\ar[ur]_{T_r}
&{}
}\\
\quad \In {\bf Set}
`$
左脚である単射の同値類は、$`A`$ の部分写像を定義し、部分写像と同一視できます。右脚は部分集合上の写像です。したがって、$`\mrm{Span}({\bf Set}, ({\bf Inj}, {\bf Map}))`$ の射は、部分写像だと解釈できます。集合と部分写像の圏を $`{\bf Partial}`$ とすると：
$`\quad \mrm{Span}({\bf Set}, ({\bf Inj}, {\bf Map})) \stackrel{\sim}{\equiv} {\bf Partial} \In {\bf CAT}`$
ここで、$`\stackrel{\sim}{\equiv}`$ は、圏同値より強い圏同型のつもりです。
上の例では、右脚は制約なしでした。右脚にも非自明な制約を付けた例を挙げましょう。スパンのセットアップ $`(\cat{C}, (\cat{E}, \cat{F}))`$ を次のように定義します。
[追記]以下の例は、一旦ダメな例だと思って取り消し線で消したのですが、ダメだと思ったのが気の迷いだったのでもとに戻しました。[/追記]
- $`\cat{C} := {\bf Set}`$ ： 集合圏
- $`\cat{E} := {\bf Inj}`$ ： 単射のクラス
- $`\cat{F} := {\bf Surj}`$ ： 全射のクラス
この場合、出来上がる圏 $`\quad \mrm{Span}({\bf Set}, ({\bf Inj}, {\bf Surj}))`$ は、部分集合で定義された全射なので、部分全射の圏と言えるでしょう。
[追記]事例に関してドタバタした理由と事情は、「射のクラスと制約付きスパン 補遺」に書きました。[/追記]
2-圏の場合
$`\cat{C}`$ が2-圏の場合も、スパンのセットアップ $`(\cat{C}, (\cat{E}, \cat{F}))`$ は考えられます。「2-圏のなかのスパンのあいだの射」で述べたように、2-圏内のスパンは複雑になりますが、スパンの作り方を決めれば、制約付きスパンの圏を構成できます。
次のようなセットアップが考えられます。
- $`\cat{C} := {\bf CAT}`$ ： 大きい圏〈必ずしも小さくない圏〉達の厳密2-圏
- $`\cat{E} := {\bf FIB}`$ ： グロタンディーク・ファイブレーションのクラス
- $`\cat{F} := {\bf FUN}`$ ： 任意の関手〈1-射〉のクラス
このセットアップとそれから作った制約付きスパンの圏は、「依存アクテゴリーが面白い」「環境付き計算と依存アクテゴリー 1/n」で述べた依存アクテゴリー達の高次圏（おそらく3次元）を構成する基盤となります。
