豊饒圏を一般化しようと思ってゴニョゴニョしているうちに、なんだか最初の目論見とは違うナニカになってしまいました。それでも、いちおうは豊饒圏と同じように扱えるシロモノなので、結果をメモしておきます。実際の計算はすべて絵算でやってますが、テキスト形式で記述します(描いた絵を捨ててしまったので)。記述も計算もテキストで書くのはワカリニクイので、絵を描いてみてくださいな。
状況の設定
Cは単なる圏、V = (V, □, I) をモノイド圏とします; □がモノイド積、Iはモノイド単位です。HはCの射をVの対象に対応付ける写像とします。つまり、H:C→|V|。Hは関手ではありません。さらに、Cの対象/射で添字付けられた“Vの射の族”があります。
- γf,g:H(f)□H(g)→H(f;g) in V
- εA:I→H(idA) in V
以下では、対象Aとその恒等射idAを同一視することにします。H(idA) は H(A) と書きます。
いま述べたγとεがある条件を満たすとき、豊饒圏のように扱えるのです。
単位律と結合律
Vはモノイド圏なので、モノイド法則を記述する構造同型射が存在します。
- λA:I□A→A (左単位律)
- ρA:A□I→A (右単位律)
- αA,B,C:(A□B)□C→A□(B□C) (結合律)
これらの構造同型射を使って、γとεの性質を記述します。V内で次の射を考えます。A = dom(f), B = cod(f) です。
- (εA□H(f));γA,f:I□H(f)→H(f)
- (H(f)□εB);γf,B:H(f)□I→H(f)
- (γf,g□H(h));γf;g, h:(H(f)□H(g))□H(f)→H(f;g;h)
- (H(f)□γg,h);γf, g;h:H(f)□(H(g)□H(f))→H(f;g;h)
この4つの射を、単に上付き番号を付けて ξ1f, ξ2f, ξ3f,g,h, ξ4f,g,h と呼ぶことにします。そのとき、次が成立すると仮定します。
- ξ1f は、λH(f):I□H(f)→H(f) に等しい。
- ξ2f は、ρH(f):H(f)□I→H(f) に等しい。
- αH(f),H(g),H(h);ξ4f,g,h = ξ3f,g,h、または同じことだが、(αH(f),H(g),H(h))-1;ξ3f,g,h = ξ4f,g,h が成立する。
豊饒圏もどきの定義
C, V, H, γ, εから新しい圏を作ります。新しい圏をDとします。
- Dの対象はCの対象と同じ。|D| = |C|
- Dの射は、Cの射fとVの射 a:I→H(f) の組 (f, a)
- dom((f, a)) = dom(f), cod((f, a)) = cod(f)
- Aの恒等射は (idA, εA:I→H(A))
- (f, a:I→H(f)) と(g, b:I→H(g)) の結合は (f;g. δ;(a□b);γf,g)。ここで、δ:I→I□I は、λI:I□I→I の逆(ρIの逆でもある)。
こうして定義した恒等射と(新しい)結合演算が、結合律と単位律を満たすことを確認するには、実際に計算するしかありません。γとεが、仮定から結合律と単位律(のような法則)を満たしているので、それを使って示せます。
絵(ストリング図)が描ければ、お決まりの変形です。実を言うと、絵算ではイコールと同型の区別がつきにくくて、やっているうちに、up-to-isoかon-the-noseかが分からなくなります。今でも分からないままですが、まー、いいでしょ。
計算の途中で、余二項演算 δ:I→I□I が余結合律と余単位律を満たしていることも使います。僕は今まで意識してなかったのですが、モノイド圏の単位Iは、自明にモノイドかつコモノイドになっているんですね。
豊饒圏との関係
Xを集合(大きな集まりかもしれない)として、圏Kを次のように作ります。
- Kの対象類はX
- Kの射は、X×X の要素。つまり、[x, y] の形のタプル。
- dom([x, y]) = x, cod([x, y]) = y
- [x, y];[y, z] = [x, z]
この圏Kの上で、H, γ, ε を考えると:
- H([x, y])∈|V|
- γ[x, y],[y, z]:H([x, y])□H([y, z])→H([x, z]) in V
- εx:I→H([x, x]) in V
比較的普通の記法に直すなら、hom(x, y) := H([x, y])、γx,y,z := γ[x, y],[y, z] と置けばよいでしょう。