整数区間の分割：論理的記述の例として - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

この記事の目的は2つあります。ひとつは、整数区間の分割とその変種（合計で4種類）の概念を導入することです。もうひとつは、整数区間の分割を通じて、概念の論理的な定義について説明することです。

最初の節で、この記事を書いた事情・経緯を説明していますが、ここは本論と関係ないので無視してもらってもかまいません。記事内で使う文字の色については「文字の色の約束（再確認）」を参照してください。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
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\newcommand{\rhom}{\mathop{\style{display: inline-block; transform: rotate(180deg)}{\multimap}} }
`$

内容：

この記事に至る経緯
整数区間
述語と論域
整数区間のk分割
弱分割と順序付き分割
公理系と包含関係
おわりに

この記事に至る経緯

最近の過去記事「コンウェイ不動点オペレーター：圏論的背景と計算公式」でコンウェイ圏を紹介しました（過去記事で「コンウェイ圏」という名称は使ってませんが）。コンウェイ圏〈Conway category〉は、デカルト圏にコンウェイ不動点オペレーターを載せた圏論的構造です。双対的に、余デカルト圏に余コンウェイ余不動点オペレーターを載せた余コンウェイ圏〈coConway category〉を考えることができます。また、トレース付きモノイド圏（「トレース付き対称モノイド圏とはこんなモノ」参照）は、コンウェイ圏／余コンウェイ圏と密接に関係する圏論的構造です。

コンウェイ圏／余コンウェイ圏／トレース付きモノイド圏などを論じる際に、ベースとなるモノイド圏をポリモノイド圏（「ポリモノイド圏：論理と型理論のために」）にすると話が簡単になります。ポリモノイド圏は、色付きPRO〈colored PRO〉とも呼ばれますが、PRO は単に product の最初の3文字という投げやりなネーミングなので、“多圏〈polycategory〉の性質も持つモノイド圏”として「ポリモノイド圏」という名称も使うことにしています。

ポリモノイド圏は多圏とも解釈できるので、通常の結合〈composition〉だけでなく部分結合〈partial composition〉を定義できます。今ここで部分結合の説明はしませんが、以下の図は $`f`$ と $`g`$ の部分結合を説明する図です（「モノイド圏から作る複圏と多圏」から再掲）。

部分結合を組み合わせ的に定義するときに、自然数区間の3分割が必要になります。より一般には、整数区間のk分割の話になります。整数区間のk分割（とその変種達）がこの記事の話題です。整数区間のk分割とその変種達を定義したり相互関係を調べることは、一階述語論理と集合論の適用事例として好適だと思うので、一階述語論理／集合論を使った定義（公理系）の話もこの記事内でします。

整数区間

整数区間〈integer interval | interval of integers〉とは、連続した整数達からなる $`\mbf{Z}`$ の部分集合です。次の5種類に分類されます。

空区間〈empty interval〉：空集合 $`\emptyset \subseteq \mbf{Z}`$ のこと
非空有限区間〈non-empty finite interval〉： $`n \le m`$ である $`n, m\in \mbf{Z}`$ に対して、$`[n, m] := \{i \in\mbf{Z} \mid n\le i \le m\}`$
右無限区間〈right infinite interval〉： $`n\in \mbf{Z}`$ に対して、$`[n, ] := \{i \in\mbf{Z} \mid n\le i \}`$
左無限区間〈left infinite interval〉： $`n\in \mbf{Z}`$ に対して、$`[, n] := \{i \in\mbf{Z} \mid i\le n \}`$
左右無限区間〈left-right infinite interval〉： $`\mbf{Z}`$ のこと

空区間と非空有限区間をあわせて有限区間〈finite interval〉です。有限区間ではない区間は無限区間〈infinite interval〉です。

すべての整数区間からなる集合を $`\mrm{Interv}(\mbf{Z})`$ とします。$`I, J, K`$ などで整数区間（$`\mrm{Interv}(\mbf{Z})`$ の要素）を表します。

非空有限区間 $`[n, m]`$ （$`n \le m`$）に対して、$`\mrm{min}, \mrm{max}`$ を次のように定義します。

$`\mrm{min}([n, m]) = n`$
$`\mrm{max}([n, m]) = m`$

この定義では、空区間や無限区間に関しては $`\mrm{min}, \mrm{max}`$ がうまく定義できません。そこで、値に $`-\infty, +\infty`$ を追加します。

$`\quad \mrm{min}, \mrm{max} \; : \mrm{Interv}(\mbf{Z}) \to \mbf{Z}\cup \{-\infty, +\infty\} \In \mbf{Set}`$

拡張した $`\mrm{min}, \mrm{max}`$ の定義は以下のようです。

$`\mrm{min}(\emptyset) = +\infty`$
$`\mrm{max}(\emptyset) = -\infty`$
$`\mrm{min}([n, ]) = n`$
$`\mrm{max}([n, ]) = +\infty`$
$`\mrm{min}([, n]) = -\infty`$
$`\mrm{max}([, n]) = n`$
$`\mrm{min}(\mbf{Z} ) = -\infty`$
$`\mrm{max}(\mbf{Z} ) = +\infty`$

この定義は、便宜上のコジツケ的な面もあるので、直感には反するかも知れません ―― 神経質に気にし過ぎないこと。

整数区間の集合としての基数〈cardinality〉を、区間の幅〈width〉と呼びます。ただし、有限基数は自然数と同一視します。区間の幅は次のような関数になります。

$`\quad \mrm{width} : \mrm{Interv}(\mbf{Z}) \to \mbf{N}\cup\{\aleph_0\} \In \mbf{Set}`$

$`\aleph_0`$ （最初の無限基数、可算無限基数）を $`\infty`$ と書いてもいいですが、$`\mrm{min},\mrm{max}`$ に使った $`-\infty, +\infty`$ と混同されるのがイヤなので、$`\aleph_0`$ のままにしておきます。幅が $`\aleph_0`$ の整数区間は無限集合です。

最初の5種の分類と、$`\mrm{min}, \mrm{max}, \mrm{width}`$ との関係は以下です。

	$`\mrm{min}`$	$`\mrm{max}`$	$`\mrm{width}`$
$`\T{空区間}`$	$`+\infty`$	$`-\infty`$	$`0`$
$`\T{非空有限区間}`$	$`n`$	$`m`$	$`m - n + 1`$
$`\T{右無限区間}`$	$`n`$	$`+\infty`$	$`\aleph_0`$
$`\T{左無限区間}`$	$`-\infty`$	$`n`$	$`\aleph_0`$
$`\T{左右無限区間}`$	$`-\infty`$	$`+\infty`$	$`\aleph_0`$

ここから先、$`n\gt m`$ の場合にも $`[n, m]`$ という書き方を認めることにします。$`n, m`$ の大小に関わらず、$`[n, m]`$ の定義は：

$`\quad [n, m] := \{i\in \mbf{Z} \mid n \le i \land i \le m\}`$

$`n\gt m`$ の場合は常に $`[n, m] = \emptyset`$ です。

自然数 $`n\in \mbf{N}`$ に対して整数区間 $`[1, n]`$ はよく使うので、$`\o{n}`$ という略記をします。

$`\quad \o{n} := [1, n] = \{i\in \mbf{Z} \mid 1 \le i \land i \le n\}`$

特に：

$`\o{0} = [1, 0] = \emptyset`$
$`\o{1} = [1, 1] = \{1\}`$
$`\o{2} = [1, 2] = \{1, 2\}`$

述語と論域

前節で、整数区間という概念を、5種類に場合分けして導入しましたが、$`\mbf{Z}`$ の部分集合が「区間である」を意味する述語〈predicate〉を $`\mrm{isInterval}`$ とすると、この述語は次のように定義できます。以下で、$`\mrm{Pow}(\hyp)`$ はベキ集合〈powerset〉、$`\mbf{B}`$ は二値真偽値の集合 $`\{0, 1\}`$ です。

$`\quad \mrm{isInterval} : \mrm{Pow}(\mbf{Z}) \to \mbf{B} \In \mbf{Set}\\
\T{For } X \in \mrm{Pow}(\mbf{Z})\\
\quad \mrm{isInterval}(X) :=
\forall i, j, k \in \mbf{Z}.( (i, k\in X \land i\le j\le k) \Imp j \in X )
`$

$`\mrm{isInterval}`$ は、集合 $`\mrm{Pow}(X)`$ 上の $`\mbf{B}`$-値関数で、論理式〈formula〉で定義されます。その論理式は：

$`\quad \forall i, j, k \in \mbf{Z}.( (i, k\in X \land i\le j\le k) \Imp j \in X )`$

この論理式が言っていることは、集合 $`X \subseteq \mbf{Z}`$ に“飛び・欠け”がないことです。

この論理式内には、集合変数 $`X \in \mrm{Pow}(\mbf{Z})`$ と整数変数 $`i,j,k \in \mbf{Z}`$ が登場しますが、$`i,j,k`$ は束縛変数〈bound variable〉なので、残っている自由変数〈free variable〉は $`X`$ だけです。つまり、変数 $`X`$ の値を決めれば、論理式の真偽が決まります。この論理式の値が述語（と呼ばれる関数） $`\mrm{isInterval}`$ の値です。

記号的表現である論理式を、自然言語混じりに言い直すならば：

$`i,k`$ が集合 $`X`$ に属していて、かつ $`i \le j \le k`$ であるならば、$`j`$ も集合 $`X`$ に属する。

$`X \in \mrm{Pow}(\mbf{Z})`$ が上記の条件を満たすかどうかを返す関数が、述語 $`\mrm{isInterval}`$ です。

述語（関数）と論理式（記号的表現）が区別されないこと／区別しなくてもいいことは多いですが、混同するのはマズイです。区別が必要なときは区別しましょう。

述語の域を論域〈domain of discourse〉と呼びます。述語 $`\mrm{isInterval}`$ の論域は $`\mrm{Pow}(\mbf{Z})`$ です。論域の要素は、集合だったり関数だったり、あるいは非常に複雑な構造であることもあります。

$`\mrm{isInterval}(X)`$ が真である集合（ベキ集合の要素） $`X \in \mrm{Pow}(\mbf{Z})`$ が、前節の5種類に分類されること、また逆に、前節の5種類の集合はどれも $`\mrm{isInterval}`$ を満たすことは証明が必要です（今ここではしませんが）。

整数区間のk分割

$`I \in \mrm{Interv}(\mbf{Z})`$ とします。$`I`$ の部分区間となる整数区間の全体を $`\mrm{Interv}(I)`$ とします。

$`\quad \mrm{Interv}(I) := \{J\in \mrm{Interv}(\mbf{Z}) \mid J \subseteq I \}`$

$`\o{k} = [1, k]`$ （$`k \in \mbf{N}`$）から $`\mrm{Interv}(I)`$ への関数〈写像〉は、$`\o{k}`$ でインデックス付けられた $`I`$ の部分区間の族〈$`\o{k}`$-indexed family of subintervals of $`I`$〉です。その全体を $`\mrm{IFam}(k, I)`$ （先頭文字の I は Interval から）と書くことにします。

$`\quad \mrm{IFam}(k, I) := \mrm{Map}(\o{k}, \mrm{Interv}(I) )`$

$`\mrm{Map}(\hyp, \hyp)`$ は、集合圏のホムセット $`\mbf{Set}(\hyp, \hyp)`$ と同じ集合です。つまり、$`\xi \in \mrm{IFam}(k, I)`$ は次と同じことです。

$`\quad \xi : \o{k} \to \mrm{Interv}(I) \In \mbf{Set}`$

$`\mrm{IFam}(k, I)`$ を論域〈domain of discourse〉とする3つの述語を考えます。

$`\quad P1, P2, P3 : \mrm{IFam}(k, I) \to \mbf{B} \In \mbf{Set}\\
\T{For }\xi \in \mrm{IFam}(k, I)\\
\quad P1(\xi) := \forall i, j\in \o{k}.( i\ne j \Imp \xi(i) \cap \xi(j) = \emptyset) \\
\quad P2(\xi) := \bigcup_{i\in \o{k}} \xi(i) = I \\
\quad P3(\xi) := \forall i\in \o{k}.( \xi(i) \ne \emptyset)
`$

これら3つの述語をすべて満たす部分区間（$`\mrm{IFam}(k, I)`$ の要素）の族 $`\xi`$ を、整数区間 $`I`$ の$`k`$分割〈$`k`$-partition〉と呼びます。$`\xi(1) = \{2, 3\}, \xi(2) = \{1\}`$ は、整数区間 $`\{1, 2, 3\}`$ の2分割です。

$`P1, P2, P3`$ は $`\mrm{IFam}(k, I)`$ 上の述語なので、自然数 $`k`$ と整数区間 $`I`$ をパラメータに持つことになります。正確に書くなら $`P1_{k, I}`$ などとなりますが、パラメータ $`k, I`$ は（通常は）文脈により固定されると考えます。

[補足]
整数区間の分割に、インデキシング集合 $`\o{k}`$ は余分と感じるかも知れません。確かに、インデキシング集合なしでも分割の定義はできます。

が、後で扱う順序付き分割などでは、インデキシング集合 $`\o{k}`$ があったほうが便利です。ここでは、分割にはインデキシング集合ありとして扱います。
[/補足]

「3つの述語をすべて満たす」とは次のことです。

$`P1(\xi) = 1 \land P2(\xi) = 1 \land P3(\xi) = 1`$
あるいは同じことだが、$`(P1 \land P2 \land P3)(\xi) = 1`$

最初の記述に現れる $`\land`$ は $`\mbf{B} = \{0, 1\}`$ の演算であり、二番目の記述に現れる $`\land`$ は $`\mrm{Map}(\mrm{IFam}(k, I), \mbf{B})`$ の演算です。

$`\quad (P1 \land P2 \land P3)(\xi) = P1(\xi) \land P2(\xi) \land P3(\xi)`$

整数区間 $`I`$ の$`k`$分割という概念を定義するために使った3つの述語（あるいは、その述語を定義する3つの論理式）をそれぞれ、その概念の公理〈axiom〉とも呼びます。公理の集まりが公理系〈system of axioms〉です。ただし、公理（ひとつの述語・論理式）と公理系（述語・論理式の集まり）をいつでも区別しているわけではありません。

[注意]
ここでの公理は、公理的集合論の公理のように、世界の大原則を決めるものではありません。なんらかの構造を定義したいときに、その構造が満たすべき命題がここでの公理です。
[/注意]

公理系 $`\{P1, P2, P3 \}`$ を構成するそれぞれの公理の意味は：

部分区間の族 $`\xi`$ の値 $`\xi(i) \in \mrm{Interv}(I)`$ は互いに交わらない（無交差〈disjoint〉）。
部分区間の族 $`\xi`$ の値 $`\xi(i) \in \mrm{Interv}(I)`$ をすべて合併すると $`I`$ になる。
部分区間の族 $`\xi`$ の値 $`\xi(i) \in \mrm{Interv}(I)`$ は常に空ではない。

空ではない部分区間の族があり、部分区間達は互いに無交差であり、全部を寄せ集めると $`I`$ になる、という状況です。

整数区間 $`I`$ のすべての$`k`$分割からなる集合を $`\mrm{Partn}(k, I)`$ とします。定義から
$`\quad \mrm{Partn}(k, I) \subseteq \mrm{IFam}(k, I)`$
です。

弱分割と順序付き分割

前節の“整数区間のk分割”の変種も定義します。変種を「弱〈weak〉」と「順序付き〈ordered〉」という形容詞で識別します。

	(デフォルト)	弱
(デフォルト)	k分割	弱k分割
順序付き	順序付きk分割	順序付き弱k分割

整数区間 $`I`$ の弱k分割〈weak k-partitio〉の定義は、k分割の条件 $`P3`$ を除いたものです。つまり、弱k分割は、$`P1, P2`$ の2つの公理を満たす部分区間の族です。k分割 $`\xi`$ では $`\xi(i)`$ が空集合になることを公理 $`P3`$ で禁止していましたが、弱k分割では空集合を禁止しません。「禁止しません」は単に $`P3`$ を外すことを意味します。

$`\xi(1) = \{2, 3\}, \xi(2) = \{\}, \xi(3) = \{1\}`$ は、整数区間 $`\{1, 2, 3\}`$ の弱3分割です。$`\xi(1) = \{\}, \xi(2) = \{2, 3\}, \xi(3) = \{\}, \xi(4) = \{1\}`$ は、整数区間 $`\{1, 2, 3\}`$ の弱4分割です。

整数区間 $`I`$ のすべての弱$`k`$分割からなる集合を $`\mrm{WPartn}(k, I)`$ とします。
$`\quad \mrm{Partn}(k, I) \subseteq \mrm{WPartn}(k, I)`$
は直感的に明らかだと思いますが、この話は後でまたします。

ここで、区間のあいだの関係 $`J \lt K`$ を導入します。

$`\T{For } J, K \in \mrm{Interv}(I)\\
\quad J \lt K :\Iff \forall j, k\in \mbf{Z}.(
j\in J \land k\in K \Imp j \lt k )
`$

整数を横方向に並べるなら、$`J \lt K`$ は、「$`J`$ は完全に $`K`$ より左にある」ことだと言えます。$`J, K`$ のどちらか（あるいは両方）が空のときは、左右の直感には反するかも知れません。$`\emptyset \lt J`$ も $`J \lt \emptyset`$ も真になります。空集合はどんな集合に対しても完全に左にあり、また完全に右にもあるのです。

[補足]
$`\mrm{min}, \mrm{max}, \mrm{width}`$ などは、$`\mrm{Interv}(I)`$ 上でも定義できます。定義は、$`\mrm{Interv}(\mbf{Z})`$ 上の関数を制限するだけです。

$`\quad \mrm{min}, \mrm{max}\; : \mrm{Interv}(I) \to \mbf{Z}\cup\{-\infty, +\infty\} \In \mbf{Set}`$
$`\quad \mrm{width} : \mrm{Interv}(I) \to \mbf{N}\cup\{\aleph_0\} \In \mbf{Set}`$

$`J, K\in \mrm{Interv}(I)`$ に対して、以下のような定義も考えられます。

$`\quad J \lt K :\Iff \mrm{max}(J) \lt \mrm{min}(K)`$

$`J, K`$ のどちらかが空のとき、先の定義と食い違いが生じます。例えば、$`\mrm{Interv}(\mbf{Z})`$ で $`\mbf{N} \lt \emptyset`$ が成立するかを、2つの定義それぞれで考えてみてください。

非空区間に対してしか $`\lt`$ を考えないなら、すぐ上の定義でもかまいません。
[/補足]

順序付きk分割〈ordered k-partition〉は、k分割の公理系に次の公理（となる述語）を追加して定義されます。

$`\T{For }\xi \in \mrm{IFam}(k, I)\\
\quad O1(\xi) := \forall i, j\in \o{k}.(i \lt j \Imp \xi(i) \lt \xi(j) )
`$

順序付きk分割を定義する公理系は $`\{P1, P2, P3, O1\}`$ です。区間 $`I`$ のすべての順序付き$`k`$分割からなる集合を $`\mrm{OPartn}(k, I)`$ とします。

$`\{1, 2, 3\}`$ の2分割 $`\xi(1) = \{2, 3\}, \xi(2) = \{1\}`$ は順序付き2分割にはなってません。$`\xi(1) = \{1\}, \xi(2) = \{2, 3\}`$ なら、$`\xi(1) \lt \xi(2)`$ が成立するので順序付き2分割です。

順序付き弱k分割〈ordered weak k-partition〉の公理系は、$`\{P1, P2, O1\}`$ です。k分割の公理系から $`P3`$ を外して $`O1`$ を追加しただけです。$`\xi(1) = \{1\}, \xi(2) = \{\}, \xi(3) = \{2, 3\}`$ は、整数区間 $`\{1, 2, 3\}`$ の順序付き弱3分割です。空集合はどこに入ってもかまいません。「空集合はどんな集合に対しても完全に左にあり、また完全に右にもある」からです。

区間 $`I`$ のすべての順序付き弱$`k`$分割からなる集合を $`\mrm{OWPartn}(k, I)`$ とします。

公理系と包含関係

ここでは、公理とは論理式で定義される述語（値が真偽値である関数）でした。述語とそれを定義する論理式は区別しないこともあるので、公理とは論理式だと言ってもかまいません。公理系とは、述語または論理式の集合です。

整数区間のk分割の公理系： $`\{P1, P2, P3\}`$
整数区間の弱k分割の公理系： $`\{P1, P2\}`$
整数区間の順序付きk分割の公理系： $`\{P1, P2, P3, O1\}`$
整数区間の順序付き弱k分割の公理系： $`\{P1, P2, O1\}`$

$`P1`$ は、部分区間の族が互いに無交差であることなので、公理系 $`\{P1\}`$ は無交差な族を定義します。空な公理系 $`\{\} = \emptyset`$ も無意味ではありません。部分区間の族に何の条件も付けない構造、つまり単なる“部分区間の族”という構造を定義します。

公理系のあいだの包含関係は次の図のようになります。

$`\quad \xymatrix{
{}
&{\emptyset} \ar@{^{(}->}[d]
&{}
\\
{}
&{\{P1,P2\}} \ar@{^{(}->}[dl] \ar@{_{(}->}[dr]
&{}
\\
{\{P1,P2,P3\}} \ar@{^{(}->}[dr]
&{}
&{\{P1,P2,O1\}} \ar@{_{(}->}[dl]
\\
{}
&{\{P1,P2,P3, O1\}}
&{}
}
`$

一方で、これらの公理系を満たす構造達の集合の包含関係は次のようです。

$`\quad \xymatrix{
{}
&{\mrm{IFam}(k, I) }
&{}
\\
{}
&{\mrm{WPartn}(k, I) } \ar@{^{(}->}[u]
&{}
\\
{\mrm{Partn}(k, I) } \ar@{^{(}->}[ur]
&{}
&{\mrm{OWPartn}(k, I) } \ar@{_{(}->}[ul]
\\
{}
&{\mrm{OPartn}(k, I) } \ar@{_{(}->}[ul] \ar@{^{(}->}[ur]
&{}
}
`$

2つの包含関係の図を見比べると、幾つかの点に気付きます。

内包と外延の増減
暗黙のパラメータ、明示的パラメータ
形容詞＋名詞の形の用語の意味

公理系のような概念を規定する条件を内包〈intension〉といいます。内包に対応する集合を外延〈extension〉ともいいます。論理式の集合としての内包の包含関係と、モノ（ここでは部分区間の族）の集合としての外延の包含関係は逆転します。「内包と外延の増減は逆向き」と憶えておくといいでしょう。

公理（述語、論理式）には、パラメータ $`k, I`$ がありませんが、構造達の集合（外延）ではパラメータ $`k, I`$ を明示しています。これは単に、ここでそう約束しただけで、一般的な法則とかではありません。が、公理系やその外延はパラメータを持つことがあり、それは暗黙化されたり明示化されたりする、という事例にはなってます。

ここで出てくる構造の名称は「k分割」「弱k分割」「順序付きk分割」「順序付き弱k分割」です。形容詞「弱」「順序付き」が、k分割に制限を加えるように思えますが、そうはなってません。「弱」は制限（公理 $`P3`$）を外しています。「順序付き」は確かに制限（公理 $`O1`$）を加えています。このため、外延に関しては次の包含関係となっています。

$`\quad \T{k分割} \subseteq \T{弱k分割}\\
\quad \T{順序付きk分割} \subseteq \T{k分割}
`$

名詞にかかる形容詞が、いつでも制限を加えるわけではないことは、次の過去記事とそこから参照される記事達で詳しく説明しています。

パンダ用法と用語・用法図

言葉から受ける印象が事実とは異なることがあるので要注意です。

おわりに

この記事で出てきた概念である、整数、すべての整数の集合、整数区間、すべての整数区間の集合、整数区間の部分区間、整数区間のすべての部分区間の集合、整数区間の部分区間のインデックス付き族（関数の一種）、すべての“整数区間の部分区間のインデックス付き族”からなる集合などは、集合論的に定義されます。この記事の主題であった、整数区間のk分割、弱k分割、順序付きk分割、順序付き弱k分割もまた集合論的に定義されます。

定義のためには、適当な論域（と呼ばれる集合）上の述語を使います。述語は、論理式により定義される関数です。概念の定義に使用される述語は公理系に編成されます。公理系が概念の内包であり、対応する“論域の部分集合”が概念の外延です。内包（述語・論理式の集まり）を大きくすれば、対応する外延（論域の部分集合）は小さくなります。

これらのことは当たり前のことです。いつでも（暗黙的かも知れないが）使っていることです。が、たまには当たり前のことを見直してみるのもいいでしょう。