「アーベル圏わかりませーん」において、アーベル圏の特徴は「足し算と完全列」だと述べました。完全列のほうは馴染みがないのですが、足し算はよく使っています。足し算の話をごく手短にします。
圏のデカルト構造
圏Cがデカルト圏であるとは、終対象とデカルト積（直積、あるいは単に積）を持つことです。これは、「圏C内のすべての有限離散図式Dに対して極限 lim D が存在する」と言っても同じです。ですから、デカルト構造を持つとは、有限離散完備と同義です。
デカルト圏の双対概念が余デカルト圏です。始対象とデカルト余積（直和、和、単に余積）を持ちます。「余デカルト圏＝有限離散余完備な圏」です。
圏Cがデカルト圏かつ余デカルト圏であり、終対象と始対象、デカルト積とデカルト余積を同じ対象に取れるとき双デカルト圏と呼びます。終対象かつ始対象である（選ばれた）特定対象を零対象、デカルト積かつデカルト余積である対象をデカルト双積（あるいは単に双積）と呼びます。零対象も双積も、対象だけではなくてそれを特徴付ける射達を含めて考えます。
双極限／双完備という言葉はあまり使われないようですが、ある図式Dの極限と余極限が同じ対象に取れるとき仮に双極限と呼び、双極限の存在を双完備とするなら、双デカルト圏は、有限離散双完備な圏です。
圏の足し算構造
意外なことに、圏のデカルト構造と足し算構造は深く関係しています。ある状況では、デカルト構造と足し算構造は同じとみなすことさえできます。
圏Cが対称モノイド圏 C = (C, □, 1, σ) とします。圏X からの関手の全体 Func(X, C) は、C のモノイド構造をそのまま使ってモノイド圏にできます。そのモノイド圏をMとすると：
- |M| = Obj(M) = Func(X, C)
- M(F, G) = Nat(F, G) = (FからGへの自然変換の全体)
- 射の結合は自然変換の縦結合
- Fに対する恒等は、恒等自然変換 ιF::F⇒F、(ιF)A = idF(A) 。
- (F□G)(A) = F(A)□G(A)、（F□G）（f：A→B） ＝ F（f：A→B）□G（f：A→B） 。
- 単位対象は、すべてを1にマップする定数関手
特に、X = C とすると、圏Cの自己関手と自然変換の圏END(C)は対称モノイド圏となります（対称性はσを使い定義します）。
END(C) の対象は、C→C という関手です。特別な関手として、圏Cの恒等関手 IdC：C→C があります。自己関手圏END(C)内の対象IdCを台として、次のような代数構造を考えます。（以下で、Δ, !, ∇, i, n は自然変換です。）
- 余モノイド (IdC, Δ, !)
- モノイド (IdC, ∇, i)
- 双モノイド (IdC, Δ, !, ∇, i)
これらはそれぞれ、もとの圏C上のデカルト構造、余デカルト構造、双デカルト構造に対応します。双デカルト構造は足し算の構造であり、半加法（semiadditive）構造と言ってもおなじです。さらに、ホップモノイド (IdC, Δ, !, ∇, i, n) があれば引き算が定義できて、もとの圏は加法圏になります。
まとめると次の表になります。
| 有限極限による構造 | 代数による構造 | 備考 |
|---|---|---|
| デカルト構造 | 余モノイド | |
| 余デカルト構造 | モノイド | |
| 双デカルト構造 | 双モノイド | 半加法圏 |
| - | ホップモノイド | 加法圏 |
