fとgを関数（写像）として、その結合（合成）は g・f と書かれることが多いです。ここでは黒丸を使いましたが、白丸が普通かな。僕は、g・f が右から左の順序になるのを嫌って f;g を使っています。しかし、g・f という書き方になった理由は（おそらく）関数適用を f(x) と書くからでしょう。f;g と書いてみても、(f;g)(x) = g(f(x)) では台無しです。そこで、f(x) の代わりに x.f にしたいわけですが、あまり一般的じゃないですね。
左から右の順序に拘って f;g や x.f を使っても、記号文字1文字だと紛れたり、優先順位が分かりにくかったりします。最近、記号じゃなくてキーワードにしたらどうかな？ と思いました。f;g の代わりに、f then g 、x.f の代わりに x into f と。then や into が語感として適切かどうかは自信がありませんけどね。
(g・f)(x) = g(f(x)) という等式は、セミコロンとドットを使えば、x.(f;g) = (x.f).g ですが、キーワード方式だと x into (f then g) = (x into f) into g です。イコールも is というキーワードにするなら：
- x into (f then g) is (x into f) into g
大文字の IS は値ではなくて関数として等しいことだとすると、例えば：
- (f then g) then h IS f then (g then h)
つまり、
- forall x [x into ((f then g) then h) is x into (f then (g then h))]
ただし、いつでも左から右を守るのは辛いこともあって、Fが高階関数のとき、f into F は F(f) と書いたほうが読みやすくなるときがあります。Fの引数であるfが関数であることを強調するために、F{f} と中括弧を使うことにします。また、f:X -> Y という関数の型（プロファイル）を添えることを許して F{f:X -> Y} と書くと事情がハッキリします。
こんなことを考えた動機は、関手と自然変換の計算をもっと読みやすく記述できないかな、と思ってです。Fが関手のとき、Fの対象部分（object part）は、型パラメータを持つ型構成子として書けます。型パラメータを山形括弧（実際は不等号）に入れて、F<X> としましょう。Fの射部分（morphism part）は、2つの型パラメータを持つ総称高階関数（多相高階関数）として、F.map<X, Y>{f:X -> Y} のように書きます。そして、関手FからGへの自然変換aは、1つの型パラメータを持つ総称関数 a<X>:F<X> -> G<X> となります。
F, Gが関手で、aが自然変換であること、つまり可換図式を満たすことは次のように書けます。
F.map{f:X -> Y} : F<X> -> F<Y>
then
a<Y> : F<Y> -> G<Y>IS
a<X> : F<X> -> G<X>
then
G.map{f:X -> Y} : G<X> -> G<Y>
多少は読みやすいかな。
