二重圏を話題としたコミュニケーションは、なかなかに大変です。前もって約束を決めておかないと、話がワヤクチャになります。この記事でガイドラインを示します。$`\newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1}}
\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1}}
\newcommand{\In}{ \text{ in }}
%`$
内容：
階付き構造
圏 $`\cat{C}`$ において、次のような構成素〈constituent | 素材 | 部品〉を持つ構造を総称して階付き構造〈graded structure〉と呼ぶことにします。
- 自然数で番号付けられた $`\cat{C}`$ の対象達： $`A_0, A_1, A_2, \cdots`$
- 番号が隣り合う対象のあいだの幾つかの射： $`f_{k, i} : A_k \to A_{k + 1},\; g_{k + 1, j} : A_{k + 1} \to A_k`$
対象達に付ける番号を階数〈grade | rank〉と呼びます。場合により、次数〈degree〉とか次元〈dimension〉ともいいます。
階数ではなく射を識別する番号 $`i, j`$ の範囲は階数 $`k`$ ごとに変わります。$`k`$ ごとの番号の範囲の集合は次のように書けます。
- $`I_0, I_1, I_2, \cdots`$
- $`J_1, I_2, J_3, \cdots`$
これらの番号の集合を使って書けば：
- $`f_{k, i} : A_k \to A_{k + 1} \:\text{ for } i \in I_k`$
- $`g_{k+1, j} : A_{k+1} \to A_k \:\text{ for } j \in J_{k + 1}`$
実際には、番号 $`i, j`$ による識別ではなくて名前による識別を使うことが多いです。
階付き構造の例には次のようなものがあります。
- 圏 $`\cat{C}`$ の単体的対象： https://ncatlab.org/nlab/show/simplicial+object 参照。
- 集合圏の球体的集合： https://ncatlab.org/nlab/show/globular+set 参照。一般の圏 $`\cat{C}`$ の球体的対象も定義できますが、なぜかnLab項目は無いようです。
- アーベル群の圏、または可換環 $`R`$ 上の加群の圏の鎖複体： https://ncatlab.org/nlab/show/chain+complex 参照。負の整数も階数に許しています。
有限個の対象にしか興味がないときは、階付け〈grading〉を有限部分で打ち切ってもかまいません。例えば、0, 1, 2 の階数だけで済むなら、対象は $`A_0, A_1, A_2`$ だけでかまいません。
指標による表現
我々が興味を持つ階付き構造は次の形状を持ちます。
$`\quad \xymatrix{
D_0 \ar[r]
& D_1 \ar@<0.5em>[l] \ar@<-0.5em>[l]
& D_2 \ar[l]
} \In \cat{C}`$
これが二重圏（後述）を定義します。
まず、上記の階付き構造を指標として書いてみます。射の識別は番号ではなくて一文字の名前を使います。
$`\text{signature AGradedStructure } \{\\
\quad \text{sort }D_0 \In \cat{C}\\
\quad \text{sort }D_1 \In \cat{C}\\
\quad \text{sort }D_2 \In \cat{C}\\
\quad \text{operation }i : D_0 \to D_1 \In \cat{C}\\
\quad \text{operation }s : D_1 \to D_0 \In \cat{C}\\
\quad \text{operation }t : D_1 \to D_0 \In \cat{C}\\
\quad \text{operation }c : D_2 \to D_1 \In \cat{C}\\
\}`$
すべての宣言に $`\In \cat{C}`$ を付けるのは煩雑なので、次のようにまとめてもかまいません。
$`\text{signature AGradedStructure within }\cat{C}\: \{\\
\quad \text{sort }D_0 \\
\quad \text{sort }D_1 \\
\quad \text{sort }D_2 \\
\quad \text{operation }i : D_0 \to D_1 \\
\quad \text{operation }s : D_1 \to D_0 \\
\quad \text{operation }t : D_1 \to D_0 \\
\quad \text{operation }c : D_2 \to D_1 \\
\}`$
上記の指標では、3つの $`\cat{C}`$ の対象 $`D_0, D_1, D_2`$ は独立に取れますが、$`D_2`$ が $`D_0, D_1`$ から作られる場合を考えます。以下の指標で、圏 $`\cat{C}`$ はファイバー積〈引き戻し〉を持つ必要があります。
$`\text{signature LawlessCat within }\cat{C}\: \{\\
\quad \text{sort }D_0 \\
\quad \text{sort }D_1 \\
\quad \text{operation }i : D_0 \to D_1 \\
\quad \text{operation }s : D_1 \to D_0 \\
\quad \text{operation }t : D_1 \to D_0 \\
\quad \text{let }D_2 := D_1 \times_{D_0} D_1\\
\quad \text{operation }c : D_2 \to D_1 \\
\}`$
ここで、$`D_1 \times_{D_0} D_1`$ はかなり省略した書き方で、次の引き戻し図式の疑問符の対象が $`D_1 \times_{D_0} D_1`$ です。
$`\require{AMScd}
\begin{CD}
? @>>> D_1\\
@VVV @VV{s}V\\
D_1 @>{t}>> D_0
\end{CD}\\
\:\\
\text{pullback in }\cat{C}
`$
疑問符の対象は一意的には決まりませんが、なんらかの方法で一意的に選んだ二項演算が $`(- \times_{D_0} - )`$ です。
先の指標 $`\text{LawlessCat}`$ には法則が入ってません。これに適当な法則を入れると圏の定義ができます（次節）。
圏対象＝内部圏
前節の指標 $`\text{LawlessCat}`$ における圏 $`\cat{C}`$（モデルの環境となる圏）を集合圏 $`{\bf Set}`$ に具体化します。そして、一文字だった名前をもっと分かりやすくお馴染みの名前にリネームしましょう。
- i -(リネーム)→ id 恒等
- s -(リネーム)→ dom 域
- t -(リネーム)→ cod 余域
- c -(リネーム)→ comp 結合
すると、次のようになります。
$`\text{signature LawlessCat within }{\bf Set}\: \{\\
\quad \text{sort }D_0 \\
\quad \text{sort }D_1 \\
\quad \text{operation id} : D_0 \to D_1 \\
\quad \text{operation dom} : D_1 \to D_0 \\
\quad \text{operation cod} : D_1 \to D_0 \\
\quad \text{let }D_2 := D_1 \times_{D_0} D_1\\
\quad \text{operation comp} : D_2 \to D_1 \\
\}`$
これに加えて、圏の法則を等式または可換図式により記述します。例えば、結合〈composition | 合成〉の結合法則〈associative law〉なら次のようです。集合圏の恒等写像は太字の $`{\bf id}`$ で表すことにします。$`\alpha`$ （下付き添字省略）は、ファイバー積の結合律子〈associator〉です。
$`\begin{CD}
(D_1\times_{D_0}D_1)\times_{D_0}D_1 @>{\alpha}>> D_1\times_{D_0}(D_1\times_{D_0}D_1) \\
@V{\mrm{comp}\times_{D_0}{\bf id}_{D_1} }VV @VV{{\bf id}_{D_1} \times_{D_0}\mrm{comp}}V\\
D_1\times_{D_0}D_1 @. D_1\times_{D_0}D_1\\
@V{\mrm{comp} }VV @VV{\mrm{comp} }V\\
D_1 @= D_1
\end{CD}\\
\:\\
\text{commutative in }{\bf Set}
`$
集合圏の恒等写像を太字で書いた理由は、単位法則の記述を見れば分かるでしょう。$`\lambda`$ （下付き添字省略）は、ファイバー積の左単位律子〈left unitor〉です。
$`\begin{CD}
D_0\times_{D_0} D_1 @>{\lambda}>> D_1\\
@V{\mrm{id} \times_{D_0} {\bf id}_{D_1} }VV @|\\
D_1\times_{D_0} D_1 @>{\mrm{comp}}>> D_1
\end{CD}\\
\:\\
\text{commutative in }{\bf Set}
`$
様々な圏の恒等が出てくる場合は、なんらかの方法で恒等の種類を区別する必要があります。また、$`\mrm{id}_X`$ と $`\mrm{id}(X)`$ といった書き方の違いを適宜調整する必要もあります。そういう区別と調整ができないと、話がワヤクチャになります。
さて、集合圏における指標 $`\text{LawlessCat}`$ に、圏の法則を付け加えた指標を $`\text{Cat}`$ とします。指標 $`\text{Cat}`$ のモデル達の圏は“小さい圏の圏”になります。
$`\quad \mrm{Model}(\text{Cat}) = {\bf Cat}|_{\le 1}`$
$`{\bf Cat}`$ は2-圏の意味で使うので、2-射〈自然変換〉を捨てて1-圏と考えたものが $`{\bf Cat}|_{\le 1}`$ です。指標 $`\text{Cat}`$ から自然変換は出てきません（関手は自動的に定義されます）。
集合圏 $`{\bf Set}`$ のような大きい圏まで含めて定義したいなら、モデルの環境となる圏を $`{\bf Set}`$ から $`{\bf SET}`$ （小さくない集合も許す集合圏）に変更します。
今までの過程を振り返ってみると、$`{\bf Set}`$（または $`{\bf SET}`$）がファイバー積を持つこと以外、集合圏特有の性質は使っていません。$`\cat{C}`$ がファイバー積を持つ圏ならば、次のような指標は意味を持ちます。
$`\text{signature Cat within }\cat{C}\: \{\\
\quad \cdots \\
\text{ // 内容はまったく同じ}\\
\}`$
この指標のモデルを、
- 圏 $`\cat{C}`$ 内の圏対象〈category object〉、または
- 圏 $`\cat{C}`$ における内部圏〈internal category〉
と呼びます。
圏対象は、圏の対象〈an object of a category〉とも圏の対象類〈the calss of objects of a category〉ともまったく違う概念です、呼び名が紛らわしいだけです。
二重圏
二重圏〈double category〉とは、圏の圏 $`{\bf Cat}`$ 内の圏対象です。指標の名前としては：
$`\quad \text{DoubleCat} = \text{Cat within }{\bf Cat}`$
これは小さい二重圏の定義です。大きい二重圏（小さいとは限らない二重圏）を定義したいなら：
$`\quad \text{DoubleCAT} = \text{Cat within }{\bf CAT}`$
圏の圏 $`{\bf Cat}`$ は2-圏なので2-射〈自然変換〉を持ちます。非自明な2-射〈恒等自然変換ではない自然変換〉が在ると、厳密な可換図式〈等式的な可換図式〉を弱い可換図式〈ペースティング図〉に置き換えることができます。例えば、結合の結合法則を弱くすることができます。
$`\begin{CD}
(D_1\times_{D_0}D_1)\times_{D_0}D_1 @>{\alpha}>> D_1\times_{D_0}(D_1\times_{D_0}D_1) \\
@V{\mrm{comp}\times_{D_0}{\bf id} }VV @VV{{\bf id} \times_{D_0}\mrm{comp}}V\\
D_1\times_{D_0}D_1 @. D_1\times_{D_0}D_1\\
@V{\mrm{comp} }VV @VV{\mrm{comp} }V\\
D_1 @= D_1
\end{CD}\\
\:\\
\text{weakly commutative in }{\bf Cat}
`$
weakly commutative と書いたのは、厳密な〈等式的な〉可換図式ではなくて、弱い可換図式だからです。四角形の内部には自然変換が居ます（何も書いてないけど、居ると思ってください）。“弱さ”の詳細については今日は割愛します。
弱い法則で定義した二重圏は、弱二重圏〈weak double category〉、疑二重圏〈pseudo double category〉とか呼びます。しかし、単に二重圏といったら弱いほうで、等式的なほうは厳密二重圏〈strict double category〉と呼ぶ用語法もあります。形容詞なしのデフォルトの解釈は、ケースバイケース、文脈によります。
呼び方はともかくとして、サイズと法則の弱さには注意を払う必要があります。
呼び名
[追記 date="翌日"]この節に間違い（消し線の部分）があったので修正しました。[/追記]
二重圏を（TeXの意味の）カリグラフィー体で書くことにして、その構造をサマリーした図式は次のようです。階付き構造ですね。
$`\quad \xymatrix{
\cat{D}_0 \ar[r]
& \cat{D}_1 \ar@<0.5em>[l] \ar@<-0.5em>[l]
& \cat{D}_2 \ar[l]
} \In {\bf Cat}`$
3つの圏が登場して、それぞれが、対象、射、結合、恒等 を持ちます。それらを列挙すると：
- 圏 $`\cat{D}_0`$ の対象
- 圏 $`\cat{D}_0`$ の射
- 圏 $`\cat{D}_0`$ の結合
- 圏 $`\cat{D}_0`$ の恒等
- 圏 $`\cat{D}_1`$ の対象
- 圏 $`\cat{D}_1`$ の射
- 圏 $`\cat{D}_1`$ の結合
- 圏 $`\cat{D}_1`$ の恒等
- 圏 $`\cat{D}_2`$ の対象
- 圏 $`\cat{D}_2`$ の射
- 圏 $`\cat{D}_2`$ の結合 （注目しない）
- 圏 $`\cat{D}_2`$ の恒等 （注目しない）
また、圏対象としての二重圏を定義する4つの射〈関手〉があります。
- $`\mrm{id}:\cat{D}_0 \to \cat{D}_1 \In {\bf Cat}`$ 圏対象としての恒等
- $`\mrm{dom}:\cat{D}_1 \to \cat{D}_0 \In {\bf Cat}`$ 圏対象としての域
- $`\mrm{cod}:\cat{D}_1 \to \cat{D}_0 \In {\bf Cat}`$ 圏対象としての余域
- $`\mrm{comp}:\cat{D}_2 \to \cat{D}_1 \In {\bf Cat}`$ 圏対象としての結合
これらを区別して呼び分ける必要があります。
呼び名として、縦〈垂直 | 鉛直 | vertical〉と横〈水平 | horizontal〉を形容詞として付ける方法が主流ですが、残念ながら縦・横の使い方は人により違います。また、ペースティング図かストリング図かにより（描画法により）縦・横が変わります。混乱を避けるために、縦・横で形容しない呼び名にしましょう。
- 圏 $`\cat{D}_0`$ の対象： 0階の対象 ＝ 対象
- 圏 $`\cat{D}_0`$ の射： 0階の射 ＝ 射
- 圏 $`\cat{D}_0`$ の結合： 0階の結合 ＝ 射の結合
- 圏 $`\cat{D}_0`$ の恒等： 0階の恒等 ＝ 恒等射
- 圏 $`\cat{D}_1`$ の対象： 1階の対象 ＝ プロ射
- 圏 $`\cat{D}_1`$ の射： 1階の射 ＝ 2-射
- 圏 $`\cat{D}_1`$ の結合： 1階の結合 ＝ 2-射の内部結合
- 圏 $`\cat{D}_1`$ の恒等： 1階の恒等 ＝ 内部恒等2-射
- 圏 $`\cat{D}_2`$ の対象： 外部結合可能なプロ-射のペア
- 圏 $`\cat{D}_2`$ の射： 外部結合可能な2-射のペア
- 圏 $`\cat{D}_2`$ の結合： 2階の結合
＝ 2-射の外部結合注目しない - 圏 $`\cat{D}_2`$ の恒等： 2階の恒等
＝ 外部恒等2-射注目しない - $`\mrm{comp}:\cat{D}_2 \to \cat{D}_1`$ 圏対象としての結合 ＝ 2-射の外部結合
- $`\mrm{id}:\cat{D}_0 \to \cat{D}_1`$ 圏対象としての恒等 ＝ 外部恒等2-射
これらの呼び名は、二重圏という構造〈組織体〉における構成素の役割名であって、同一実体が異なる役割を担うことはあります。
もし、二重圏の射〈0階の射〉の方向を「縦」、二重圏のプロ射〈1階の対象〉の方向を「横」と呼ぶなら、次のようになります。
- 圏 $`\cat{D}_0`$ の対象： 0階の対象 ＝ 対象
- 圏 $`\cat{D}_0`$ の射： 0階の射 ＝ 射 ＝ 縦射
- 圏 $`\cat{D}_0`$ の結合： 0階の結合 ＝ 射の結合 ＝ 縦射の結合
- 圏 $`\cat{D}_0`$ の恒等： 0階の恒等 ＝ 恒等射 ＝ 恒等縦射
- 圏 $`\cat{D}_1`$ の対象： 1階の対象 ＝ プロ射 ＝ 横射
- 圏 $`\cat{D}_1`$ の射： 1階の射 ＝ 2-射
- 圏 $`\cat{D}_1`$ の結合： 1階の結合 ＝ 2-射の内部結合 ＝ 2-射の縦結合
- 圏 $`\cat{D}_1`$ の恒等： 1階の恒等 ＝ 内部恒等2-射 = 縦恒等2-射
- 圏 $`\cat{D}_2`$ の対象： 外部結合可能なプロ-射のペア ＝ 横結合可能な横射のペア
- 圏 $`\cat{D}_2`$ の射： 外部結合可能な2-射のペア ＝ 横結合可能な2-射のペア
- 圏 $`\cat{D}_2`$ の結合： 2階の結合
＝ 2-射の外部結合 ＝ 2-射の横結合注目しない - 圏 $`\cat{D}_2`$ の恒等： 2階の恒等
＝ 外部恒等2-射 ＝ 横恒等2-射注目しない - $`\mrm{comp}:\cat{D}_2 \to \cat{D}_1`$ 圏対象としての結合 ＝ 2-射の外部結合 ＝ 2-射の横結合
- $`\mrm{id}:\cat{D}_0 \to \cat{D}_1`$ 圏対象としての恒等 ＝ 外部恒等2-射 ＝ 横恒等2-射
今の「縦・横」は概念的な区別であって、絵に描くときの縦・横はまた別な話です。
2-射をペースティング図で描けばタイルになり、ストリング図で描けば四脚ノード〈テトラッド | tetrad〉になります。タイルを描く際の描画上の縦・横（ほんとの縦・横）を、上記の概念上の縦・横に合わせるとして：
- 圏 $`\cat{D}_0`$ の対象： 0階の対象 ＝ 対象 ＝ タイルの頂点
- 圏 $`\cat{D}_0`$ の射： 0階の射 ＝ 射 ＝ 縦射 ＝ タイルの左右の辺（縦方向）
- 圏 $`\cat{D}_1`$ の対象： 1階の対象 ＝ プロ射 ＝ 横射 ＝ タイルの上下の辺（横方向）
- 圏 $`\cat{D}_1`$ の射： 1階の射 ＝ 2-射 ＝ タイル
タイルに対応する（ポアンカレ双対な）四脚ノードに関しては：
- 圏 $`\cat{D}_0`$ の対象： 0階の対象 ＝ 対象 ＝ 四脚ノードの背景
- 圏 $`\cat{D}_0`$ の射： 0階の射 ＝ 射 ＝ 縦射 ＝ 四脚ノードの左右のワイヤー（横方向）
- 圏 $`\cat{D}_1`$ の対象： 1階の対象 ＝ プロ射 ＝ 四脚ノードの上下のワイヤー（縦方向）
- 圏 $`\cat{D}_1`$ の射： 1階の射 ＝ 2-射 ＝ 四脚ノード
ポアンカレ双対をとるときにオリエンテーションを時計回りにするか反時計回りにするか、あるいは時計回り・反時計回り混合にするかによっても描画は変わってきます。
広く合意された約束はないので、二重圏を語るときは、ローカルルールをしっかり決めましょう。そうでないと、話がワヤクチャになります。
