「群の作用がナントカ（形容詞）」という文言にたまに出会います。毎回意味を調べるのですが、憶えられない。毎回忘れる。
https://mathworld.wolfram.com/ で調べてみます。$`\newcommand{\Imp}{ \Rightarrow }\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}`$
- 自由〈free〉： https://mathworld.wolfram.com/FreeAction.html
- 効果的〈effective〉： https://mathworld.wolfram.com/EffectiveAction.html
- 忠実〈faithful〉： https://mathworld.wolfram.com/FaithfulGroupAction.html
- 推移的〈transitive〉： https://mathworld.wolfram.com/TransitiveGroupAction.html
記号を次のように約束します。
- $`G`$ ： 群
- $`I`$ ： 群の単位元
- $`X`$ ： 集合
- $`\cdot`$ ： 群の左作用
自然言語だと曖昧だし*1比較しにくいので、すべて論理式で書きます。
$`\text{Free}\\
\quad \forall x \in X.\, \forall g\in G.(\, g\cdot x = x \Imp g = I \,)\\
\text{Effective}\\
\quad \lnot \exists g \in G.(\, g \ne I \land (\forall x\in X.\, g\cdot x = x)\,)\\
\text{Faithful}\\
\quad \lnot \exists g \in G.(\, g \ne I\land (\forall x \in X.\, g\cdot x = x)\,)\\
\text{Transitive}\\
\quad \forall x, y \in X.\, \exists g \in G.\, g\cdot x = y
`$
効果的〈effective〉と忠実〈faithful〉は同義語だったのか。まだ、分かりにくいので、論理式を変形します。
$`\text{Free}\\
\quad \forall x \in X.\, \forall g\in G.(\, g\cdot x = x \Imp g = I \,)\\
\equiv \forall x \in X.\, \forall g\in G.(\, g \ne I \Imp g\cdot x \ne x \,)\\
\equiv \forall g\in G.\, \forall x \in X.(\, g \ne I \Imp g\cdot x \ne x \,)\\
\equiv \forall g\in G.(\, g \ne I \Imp \forall x \in X.(\, g\cdot x \ne x \,)\,)
`$
群元（$`G`$ の要素）$`g`$ を $`\lambda\,x\in X. g\cdot x`$ という自己写像に移す〈写す〉写像を $`\varphi`$ とします。$`\mrm{Aut}(X)`$ は集合 $`X`$ の自己同型〈automorphism〉達の群です。
$`\quad \varphi : G \to \mrm{Aut}(X)\\
\quad \varphi := \lambda\, g\in G.(\, \lambda\,x\in X. g\cdot x \; \in \mrm{Aut}(X)\,)
`$
この $`\varphi`$ を使うと：
$`\text{Effective}\\
\quad \lnot \exists g \in G.(\, g \ne I \land (\forall x\in X.\, g\cdot x = x)\,)\\
\equiv \forall g \in G.(\, (\forall x\in X.\, g\cdot x = x) \Imp g = I \,)\\
\equiv \forall g \in G.(\, \varphi(g) = \mrm{id}_X \Imp g = I \,)
`$
これでも、憶えられる気がしない。ダジャレで英単語を覚えるサイトに、
権力を恐れて → おそれて → オーソレテ → authority (オーソリティー)： 権力、権威、当局
なんてのがありますが、憶えられないときはダジャレやコジツケを使うしかないなー。
群作用〈group action〉の「自由」は、自由生成の「自由」とは意味・用法が違うのが憶えられない原因（僕にとっては）。"fixed-point free" という言葉の "free" は「～ が無い」の意味で「不動点が無い」こと。群作用の "free" は "fixed-point free" のことだと考えましょう、コジツケとしてですが*2。群作用が不動点無しだとすれば、次が成立します。
$`\quad \forall g\in G.(\, g \ne I \Imp (\lnot \exists x\in X.\, g\cdot x = x ) \,)`$
単位元の作用が不動点有り（つうか、不動点ばっかり）なのは致し方ないので、「単位元じゃなければ」という条件を付けています。少し変形すれば、これは自由作用の定義と同じです。
次に、忠実＝効果的な群作用の否定は：
$`\quad \exists g \in G.\, g \ne I\land \varphi(g) = \mrm{id}_X`$
単位元じゃないのに、何もしない作用（恒等射）に潰れてしまう群元（$`G`$ の要素）があるわけです。実際は、単位元以外は何らかの効果（もたらす変化）があるのだから効果的。「効果的」の同義語がなんかあったと憶えていれば、たぶん「忠実」に出会ったとき「効果的のことだ」と思い出すでしょう。
推移的 -- うーん、関係の推移性〈transitivity〉とちょっと雰囲気が似てるけど、それだけのヒントでは定義が思い出せない。"transitive" の "trans" が "transport"〈輸送〉と似てるから、実は（ウソだけど）"transportable"〈輸送可能〉だとします。群作用を移動手段だと考えると、適切な群元 $`g`$ に乗って“どこからどこにでも”移動（または輸送）できる、というわけ。
*1:実際、自然言語文が曖昧で free の意味を論理式に翻訳するのに苦労しました。
*2:後で https://en.wikipedia.org/wiki/Group_action を見たら free (or semiregular or fixed-point free) と書いてあったので、実はコジツケじゃなかった。
