"group free action"に対するGoogleの生成AIの応答は：$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1} }
\newcommand{\Imp}{\Rightarrow }`$
- すべての安定化子が単純であること
「単純である」は間違いで、「自明である」でしょう。「安定化子」は stabilizer group ですね。群 $`G`$ が集合 $`X`$ に左作用している前提で、その安定化群〈stabilizer group〉は：
$`\quad \mrm{Stab}_{G}(x) := \{ g\in G\mid g\cdot x = x \}`$
これがすべての $`x\in X`$ で自明群であるとは：
$`\quad \forall x\in X.\, \mrm{Stab}_{G}(x) = \{I\}`$
ここで、$`I`$ は群 $`G`$ の単位元です。
これは次のように書き換えられます。
$`\quad \forall x\in X. \forall g\in G.(\, g\in \mrm{Stab}_{G}(x) \Imp g = I \,)`$
$`g\in \mrm{Stab}_{G}(x)`$ を安定化群の定義から書き換えると：
$`\quad \forall x\in X. \forall g\in G.(\, g\cdot x = x \Imp g = I \,)`$
これは、何度かお目にかかっている「群作用が自由である」の定義です。全称限量子は入れ替えてもいいので、次でもかまいません。
$`\quad \forall g\in G. \forall x\in X.(\, g\cdot x = x \Imp g = I \,)`$
しかし、次のように書き換えは出来ません。
$`\quad \forall g\in G.(\, (\forall x\in X.\, g\cdot x = x) \Imp g = I \,)`$
上記の2つの命題は同値な命題じゃないのに、$`g\in G`$ の全称限量子を省略して自然言語表現で書かれると、区別が出来ません。
- 任意の $`x\in X`$ に対して $`g\cdot x = x`$ ならば $`g = I`$
こういう区切り／束縛のスコープがハッキリしない曖昧表現はやめて欲しい。
nLab項目 free action には、作用が自由であるとは、せん断写像が単射であることだ、とも書いてあります。せん断写像のエントリーは次です。
せん断写像〈shear map〉とは、作用と第ニ射影のデカルト・ペアリングです。
$`\mrm{shear}_\alpha : G\times X \to X\times X\\
\quad \mrm{shear}_\alpha := \langle \alpha, \pi^{G, X}_2\rangle
`$
より具体的に書けば：
$`\quad \mrm{shear}_\alpha(g, x) := (g\cdot x, x)
`$
$`\mrm{shear}_\alpha`$ が単射であるとは：
$`\text{For } (g, x), (g', x') \in G\times X\\
\quad (g\cdot x, x) = (g'\cdot x', x') \Imp (g, x) = (g', x')
`$
$`x = x'`$ が仮定に含まれるので、次と同じことです。
$`\quad \forall g, g'\in G.\forall x\in X.(\, g\cdot x = g'\cdot x \Imp g = g'\,)`$
$`g' = I`$ と置けば、「群作用が自由である」の定義になります。
$`\quad \forall g\in G.\forall x\in X.(\, g\cdot x = x \Imp g = I\,)`$
群作用が自由であることを仮定して、$`g\cdot x = g'\cdot x`$ だとすると、
$`\quad (g'^{-1}g)\cdot x = x`$
が言えますが、群作用が自由であることから、
$`\quad g'^{-1}g = I`$
これから $`g = g'`$ が出ます。以上でせん断写像の単射性が言えました。ちなみに、せん断写像が全射だったら作用の推移性〈transitivity〉が言えます。
