昨日の記事の最後の節「圏論的な普遍構成の代表的な例 // モノイドの台集合」で、モノイドにその台集合を対応させる忘却関手〈余前層〉の余表現対象が自然数の足し算モノイドであることを述べました。それと同様な議論で、代数〈相対環〉にその台集合を対応させる忘却関手〈余前層〉の余表現対象が多項式環であることを述べます。昨日の記事「圏論的な普遍構成の代表的な例」への追補です。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} }
\newcommand{\In}{\text{ in }}
\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\u}[1]{\underline{#1}}
\newcommand{\hyp}{\text{－} }
%\newcommand{\id}{\mathrm{id} }
%\newcommand{\twoto}{\Rightarrow }
%\newcommand{\op}{\mathrm{op} }
\newcommand{\For}{\text{For } }
%\newcommand{\Imp}{\Rightarrow }
`$
内容：
可換環上の代数〈相対環〉
可換環の圏を $`{\bf CRng}`$ とします。可換とは限らない（乗法単位元は持つ）環の圏を $`{\bf Rng}`$ とします。$`R \in |{\bf CRng}|`$ を選んで固定して（例えば、$`R := {\bf Z}`$ とか）、スカラー環〈scalar ring〉とか係数環〈coefficient ring〉と呼びます。
規準的に $`{\bf CRng} \subseteq {\bf Rng}`$ （部分圏）なので、次のような射 $`\varphi`$ は意味を持ちます。
$`\For R \in |{\bf CRng}|\\
\For A \in |{\bf Rng}|\\
\quad \varphi : R \to A \In {\bf Rng}`$
$`(R, A, \varphi)`$ 、あるいは $`R`$ は固定している前提で $`(A, \varphi)`$ を、$`R`$-代数〈$`R`$-algebra〉、または$`R`$上の相対環〈relative ring〉と呼びます。
$`A`$ は（可換とは限らない）環だったので、$`(A, \varphi)`$ は次のように書けます。
$`\quad A = (\u{A}, +, 0, \cdot, 1, \varphi)`$
$`r\in R`$ と $`a\in A`$ の掛け算（スカラー倍）は次のように定義できます。
$`\quad r\triangleright a := \varphi(r)\cdot a\\
\quad a\triangleleft r := a\cdot \varphi(r)
`$
$`A`$ の掛け算 $`\cdot`$ 、左からのスカラー倍 $`\triangleright`$ 、右からのスカラー倍 $`\triangleleft`$ は、いずれも単なる併置〈juxtaposition〉として略記されます。
$`{\bf Z}`$-代数の例として、$`{\bf Z}_5`$-係数の2×2正方行列達の非可換環 $`\mrm{Mat}[{\bf Z}_5](2, 2)`$ があります。整数を$`{\bf Z}_5`$-係数正方行列に移すには、整数を mod 5 で考えた値を対角成分にした正方行列を対応させます。これにより、整数を左から／右から$`{\bf Z}_5`$-係数正方行列に掛け算できます。
2つの$`R`$-代数 $`(A, \varphi), (B, \varphi')`$ があるとき、このあいだの準同型写像〈homomorphism〉とは、次の図式を可換にする環の射 $`f`$ です。
$`\require{AMScd}
\quad \begin{CD}
A @>{f}>> B \\
@A{\varphi}AA @AA{\varphi'}A\\
R @= R
\end{CD}\\
\quad \text{commutative in }{\bf Rng}
`$
$`R`$-代数〈$`R`$-相対環〉を対象として、そのあいだの準同型写像を射とする圏が形成されます。その圏を $`R\text{-}{\bf Alg}`$ と書きます。
多項式環
前節と同じく $`R \in |{\bf CRng}|`$ を固定しています。$`R`$-係数で、不定元 $`T`$ の一変数多項式環を $`R[T]`$ と書きます。$`T`$ は意味のない単なる文字なので $`R[\text{'T'}]`$ とか書いたほうがいいかも知れませんが、あまり気にしないことにします。不定元に使う文字は何でもいいので、例えば：
$`\quad R[T] \cong R[t] \cong R[x] \In {\bf CRng}`$
不定元文字に依存しないで多項式環を定義するために、次のような集合を考えます。
$`\quad \mrm{Map}_{\mrm{finSupp}}({\bf N}, R) := \{p \in \mrm{Map}({\bf N}, R) \mid \mrm{card}(\mrm{Supp}(p)) \lt \infty \}`$
出てきた記号の意味は次のとおりです。
- $`\mrm{Map}(\hyp, \hyp)`$ ： 写像の集合
- $`\mrm{Supp}(p)`$ ： 関数の台〈support〉 -- $`p(x) \ne 0`$ である $`x`$ の集合。ここでは、$`{\bf N}`$ の部分集合。
- $`\mrm{card}(\hyp)`$ ： 集合の基数〈cardinality〉
- $`\hyp \lt \infty`$ ： 有限であること。
$`\mrm{Map}_{\mrm{finSupp}}({\bf N}, R)`$ の要素は、$`{\bf N}`$ 上で定義された$`R`$値関数で、有限個の自然数を除いて値が $`0`$ であるものです。
次に、$`{\bf N}`$ 上でクロネッカーのデルタを定義します。
$`\For n, m\in {\bf N}\\
\quad \delta(n, m) := (\text{if }n = m \text{ then }1 \text{ else }0)
`$
ただし、$`1, 0`$ は可換環 $`R`$ における $`1, 0`$ だとします。クロネッカーのデルタをカリー化して次のように書きます。
$`\For n \in {\bf N}\\
\quad \delta_n := \lambda\, m\in {\bf N}.(\, \delta(n, m)\; \in R\,)
`$
カリー化したクロネッカーのデルタを使うと、$`\mrm{Map}_{\mrm{finSupp}}({\bf N}, R)`$ の要素 $`p`$ は次のような有限和で書けます。
$`\quad p = \sum_{n \in \mrm{Supp}(p)} p(n) \delta_n`$
つまり、任意の要素が、$`\delta_n`$ 達の一次結合で書けます。自然に足し算も入ります。
$`\delta_n`$ 達の集合に掛け算を定義すれば、それを $`\mrm{Map}_{\mrm{finSupp}}({\bf N}, R)`$ 全体に広げることができます。次のように掛け算を定義しましょう。
$`\For n, m\in {\bf N}\\
\quad \delta_n \cdot \delta_m := \delta_{n + m}
`$
既に在る足し算と、この掛け算により、集合 $`\mrm{Map}_{\mrm{finSupp}}({\bf N}, R)`$ 上に可換環の構造が入ります。この可換環を $`\mrm{Poly}_R`$ と書くことにします。次の同型が確認できます。
$`\quad \mrm{Poly}_R \cong R[T] \In {\bf CRng}`$
$`\mrm{Poly}_R`$ において、不定元 $`T`$ に相当する要素は $`\delta_1`$ です。
こうして構成した可換環 $`\mrm{Poly}_R`$ を、不定元によらない（一変数の）多項式環〈polynomial ring〉とします。
忘却関手とその余表現
$`X = (\u{X}, +, 0, \cdot, 1, \varphi)`$ を$`R`$-代数とします。行きがかり上、文字を $`A`$ から $`X`$ に変更しました。$`X \mapsto \u{X}`$ という対応は次のような忘却関手を定義します。
$`\quad U : R\text{-}{\bf Alg} \to {\bf Set} \In {\bf CAT}`$
忘却関手は集合圏への共変関手なので、圏 $`R\text{-}{\bf Alg}`$ 上の余前層です。余前層 $`U`$ は余表現可能です。その余表現対象が、$`R`$-代数とみなした多項式環 $`\mrm{Poly}_R`$ です。つまり、次の同型が存在するということです。
$`\quad R\text{-}{\bf Alg}(\mrm{Poly}_R, \hyp) \cong U \In [R\text{-}{\bf Alg}, {\bf Set}]`$
この自然同型を与える自然変換〈余表現自然変換〉を $`\psi`$ とすると：
$`\For X \in |R\text{-}{\bf Alg}|\\
\quad \psi_X : R\text{-}{\bf Alg}(\mrm{Poly}_R, X) \overset{\cong}{\to} \u{X}
\In {\bf Set}`$
この $`\psi_X`$ は次のように具体的に定義できます。
$`\For g \in R\text{-}{\bf Alg}(\mrm{Poly}_R, X)\\
\quad \psi_X(g) := g(\delta_1) \;\in \u{X}
`$
$`\psi`$ が自然変換であることは次の図式が可換になることです。
$`\quad \begin{CD}
R\text{-}{\bf Alg}(\mrm{Poly}_R, X) @>{\psi_X}>> \u{X} \\
@V{R\text{-}{\bf Alg}(\mrm{Poly}_R, f)}VV @VV{f}V \\
R\text{-}{\bf Alg}(\mrm{Poly}_R, Y) @>{\psi_Y}>> \u{Y}
\end{CD}\\
\quad \text{commutative in }{\bf Set}
`$
これは集合圏での可換図式なので、要素を取って計算すれば、すぐ確認できます。
$`\quad \xymatrix{
g \ar@{|->}[r] \ar@{|->}[d]
& g(\delta_1) \ar@{|->}[d]
\\
f\circ g \ar@{|->}[r]
& (f\circ g)(\delta_1) = f(g(\delta_1))
}
`$
$`\psi`$ は単なる自然変換ではなくて、自然同型である必要があります。これは、成分 $`\psi_X`$ に逆写像があることです。
$`\For X \in |R\text{-}{\bf Alg}|\\
\quad (\psi_X)^{-1} : \u{X} \to R\text{-}{\bf Alg}(\mrm{Poly}_R, X)
\In {\bf Set}`$
逆写像を定義することは、$`x \in \u{X}`$ に対して、多項式環からの$`R`$-代数の射を構成することになります。実は、$`g(\delta_1) = x`$ となる代数の射 $`g`$ はひとつだけしかありません。
- $`\delta_n\in \u{\mrm{Poly}_R}`$ に対しては、$`g(\delta_n) = x^n \;\in \u{X}`$ と決まってしまう。
- 多項式 $`p = \sum_{n \in \mrm{Supp}(p)} p(n) \delta_n`$ に対しては、$`g(p) = \sum_{n \in \mrm{Supp}(p)} p(n) x^n \;\in \u{X}`$ と決まってしまう。
$`x \mapsto g`$ が、$`\psi_X`$ の逆となるのは明らかでしょう。
以上から、忘却関手 $`X \mapsto \u{X}`$ は、多項式環 $`\mrm{Poly}_R`$ で余表現されることが分かりました。余表現の余普遍元は、$`\delta_1 \in \u{\mrm{Poly}_R}`$ です。
これは、「圏論的な普遍構成の代表的な例 // モノイドの台集合」の場合と似た状況になっています。
