「射のクラスと制約付きスパン」に出した具体例に対して、「あれ、この例はダメかも」と取り消して、すぐ「ん？ 大丈夫だわ」ともとに戻しました。
この補遺記事で、事情・経緯を書いておきます。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} }
\newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} }
%\newcommand{\op}{ \mathrm{op} }
\newcommand{\In}{\text{ in }}
%\newcommand{\dimU}[2]{ {{#1}\!\updownarrow^{#2}} }
%\newcommand{\Imp}{\Rightarrow}
%\newcommand{\u}[1]{\underline{#1}}
\newcommand{\o}[1]{\overline{#1}}
%\newcommand{\twoto}{ \Rightarrow }
\newcommand{\id}{ \mathrm{id} }
%\newcommand{\hyp}{\text{－} }
\newcommand{\NFProd}[3]{ \mathop{_{#1} \!\underset{#2}{ \times }\,\!_{#3} } }
%\newcommand{\epito}{\twoheadrightarrow}
%\newcommand{\monoto}{\rightarrowtail}
\newcommand{\incto}{\hookrightarrow}
`$
内容：
スパンのセットアップ
圏 $`\cat{C}`$ と2つの射のクラス $`\cat{E}, \cat{F}`$ の組み合わせ $`(\cat{C}, (\cat{E}, \cat{F}))`$ がスパンのセットアップ〈setup for spans〉だとは、次を満たすことでした（「射のクラスと制約付きスパン」参照）。
- $`\cat{E}, \cat{F}`$ はともに、結合に関して閉じた広いクラスである。
- $`\cat{E}`$ は、$`\cat{F}`$ によるファイバー引き戻しに関して閉じている。
- $`\cat{F}`$ は、$`\cat{E}`$ によるファイバー引き戻しに関して閉じている。
スパンのセットアップの具体例として、次の組み合わせを出しました。
事例(1)：
- $`\cat{C} := {\bf Set}`$ ： 集合圏
- $`\cat{E} := {\bf Inj}`$ ： 単射のクラス
- $`\cat{F} := {\bf Map} := \mrm{Mor}({\bf Set})`$ ： 任意の写像のクラス
事例(2)：
- $`\cat{C} := {\bf Set}`$ ： 集合圏
- $`\cat{E} := {\bf Inj}`$ ： 単射のクラス
- $`\cat{F} := {\bf Surj}`$ ： 全射のクラス
もうひとつ事例を追加しておきます。
事例(3)：
- $`\cat{C} := {\bf Set}`$ ： 集合圏
- $`\cat{E} := {\bf Inj}`$ ： 単射のクラス
- $`\cat{F} := {\bf Inj}`$ ： 単射のクラス
スパンのセットアップの条件
前節の3つの事例が、ほんとにスパンのセットアップになっているかどうかをこの記事で確認します。事例に出現する射のクラスは次の3つです。
- $`{\bf Map} = \mrm{Mor}({\bf Set})`$
- $`{\bf Inj} \subset \mrm{Mor}({\bf Set})`$
- $`{\bf Surj} \subset \mrm{Mor}({\bf Set})`$
3つとも、結合に関して閉じた広いクラスであることは明らかでしょう。
次を確認することにします。
- $`{\bf Inj}`$ は、$`{\bf Map}`$ によるファイバー引き戻しに関して閉じている。
- $`{\bf Surj}`$ は、$`{\bf Map}`$ によるファイバー引き戻しに関して閉じている。
圏の一般論として：
- モノ射〈monomorphism〉の、任意の射によるファイバー引き戻しはモノ射である。
これを集合圏で解釈すれば、一番目の命題は出ます。圏の一般論としての命題は、古い過去記事にあります。
- モノ射の引き戻しはモノ射であること (2011年)
しかし、一般的に、
- エピ射〈epimorphism〉の、任意の射によるファイバー引き戻しはエピ射である、とは限らない。
とはいえ、エピ射の引き戻しがエピ射とはならない例を作るのはけっこう難しくて、ハウスドルフ空間と連続写像の圏とかでは作れるようです。ということは、エピ射のファイバー引き戻しがエピ射になる圏が（知られている範囲では）けっこう多いということです。集合圏では、エピ射〈全射写像〉のファイバー引き戻しはエピ射です。
集合圏では、要素を使った具体的な議論ができるので、単射の場合も全射の場合も、要素を使って考えてみます（次節）。
集合圏におけるプルバック
集合圏におけるプルバックについては、以下の過去記事に説明があります。
$`(A \overset{f}{\to} X \overset{g}{\leftarrow} B \In {\bf Set})`$ を、集合圏のコスパンとします。このコスパンに対するプルバック四角形があるとして、それを次のように置きます。
$`\quad \xymatrix{
A \NFProd{f}{X}{g} B \ar[d]_{f^\# g} \ar@{}[dr]|{\text{p.b.}} \ar[r]^-{\pi^{f,g}_2}
& B \ar[d]^{g}
\\
A \ar[r]_{f}
& X
}\\
\quad \In {\bf Set}
`$
この状況でファイバー積を書き下す表示には次があります。
- $`\{(a, b)\in A\times B\mid f(a) = g(b)\}`$
- $`\sum_{x\in X} f^{-1}(x)\times g^{-1}(x)`$
- $`\sum_{a\in A} g^{-1}(f(a))`$
- $`\sum_{b\in B} f^{-1}(g(b))`$
ニ番目の表示を使うときは、$`x\in X`$ における射影を次のように書きます。
$`\quad \xymatrix@R+1pc {
{f^{-1}(x)\times g^{-1}(x)} \ar[d]_{(\pi_1)_{@x}}\ar[r]^-{(\pi_2)_{@x}}
& {g^{-1}(x) \subseteq B} \ar[d]^{!}
\\
{A \supseteq f^{-1}(x)} \ar[r]_{!}
& {\{x\} \subseteq X}
}\\
\quad \text{commutative}\In {\bf Set}
`$
$`g`$ が単射のときを考えます。このとき、$`g^{-1}(x)`$ は空集合 $`{\bf 0}`$ か単元集合 $`{\bf 1}`$ に同型です。
- $`g^{-1}(x) = {\bf 0} \text{ if }x\not\in \mrm{Img}(g)`$
- $`g^{-1}(x) \cong {\bf 1} \text{ if }x \in \mrm{Img}(g)`$
空集合は直和に無関係なので落としてしまえば、次のように書けます。
$`\quad \sum_{x\in X} f^{-1}(x)\times g^{-1}(x) \\
= \sum_{x\in \mrm{Img}(g)} f^{-1}(x)\times g^{-1}(x)\\
\cong \sum_{x\in \mrm{Img}(g)} f^{-1}(x)\times {\bf 1}\\
\cong \sum_{x\in \mrm{Img}(g)} f^{-1}(x)\\
\cong f^{-1}(\mrm{Img}(g)) \subseteq A \:\text{ where }\mrm{Img}(g) \subseteq X
`$
同型な集合で置き換えることにより、プルバック四角形は次のようにも書けます。
$`\quad \xymatrix{
f^{-1}(\mrm{Img}(g)) \ar@{^{(}->}[d]_{f^\# g} \ar[r]^-{\pi^{f,g}_2}
\ar@{}[dr]|{\text{p.b.}}
& B \ar[d]^{g}
\\
A \ar[r]_{f}
& X
}\\
\quad \In {\bf Set}
`$
ファイバー引き戻し $`f^\# g`$ は包含写像（と同型）なので、単射です。
次に、$`g`$ が全射のときを考えます。このとき、$`g^{-1}(x)`$ は、$`x`$ がなんであっても空集合ではありません。したがって、次の射影は全射になります。
$`\quad \xymatrix@R+1pc {
{f^{-1}(x)\times g^{-1}(x)} \ar[d]_{(\pi_1)_{@x}}
\\
{A \supseteq f^{-1}(x)}
}\\
\quad \In {\bf Set}
`$
$`x`$ ごとの全射をすべて直和で寄せ集めて次の全射が作れます。
$`\quad \sum_{x\in X} (\pi_1)_{@x} : (\sum_{x\in X}f^{-1}(x)\times g^{-1}(x) ) \to
\sum_{x\in X} f^{-1}(x) \In {\bf Set}`$
ところで、$`\sum_{x\in X} f^{-1}(x) = A`$ だったので、次の全射になります。
$`\quad \sum_{x\in X} (\pi_1)_{@x} : (\sum_{x\in X}f^{-1}(x)\times g^{-1}(x) ) \to
A \In {\bf Set}`$
これで、$`g`$ が全射であれば、$`f^\# g = \pi_1^{f, g}`$ も全射であることがわかりました。
スパンのセットアップの条件の確認
それぞれの事例で、次の条件が要求されます。
事例(1)：
- $`{\bf Inj}`$ は、$`{\bf Map}`$ によるファイバー引き戻しに関して閉じている。
- $`{\bf Map}`$ は、$`{\bf Inj}`$ によるファイバー引き戻しに関して閉じている。
事例(2)：
- $`{\bf Inj}`$ は、$`{\bf Surj}`$ によるファイバー引き戻しに関して閉じている。
- $`{\bf Surj}`$ は、$`{\bf Inj}`$ によるファイバー引き戻しに関して閉じている。
事例(3)：
- $`{\bf Inj}`$ は、$`{\bf Inj}`$ によるファイバー引き戻しに関して閉じている。
- $`{\bf Inj}`$ は、$`{\bf Inj}`$ によるファイバー引き戻しに関して閉じている。（1 と同じ）
次のことは既にわかっています。
- $`{\bf Map}`$ は、$`{\bf Map}`$ によるファイバー引き戻しに関して閉じている。（自明）
- $`{\bf Inj}`$ は、$`{\bf Map}`$ によるファイバー引き戻しに関して閉じている。
- $`{\bf Surj}`$ は、$`{\bf Map}`$ によるファイバー引き戻しに関して閉じている。
また、次の命題は明らかです。
- $`\cat{E}, \cat{F}, \cat{F'}`$ が射のクラスで、$`\cat{F'}\subseteq \cat{F}`$ のとき、$`\cat{E}`$ が $`\cat{F}`$ によるファイバー引き戻しに関して閉じているならば、$`\cat{E}`$ は $`\cat{F'}`$ によるファイバー引き戻しに関しても閉じている。
これらのことを鑑みれば、事例(1)、事例(2)、事例(3) のスパンのセットアップの条件は満たされます。
ドタバタした事情
「射のクラスと制約付きスパン」では、この記事の事例(2)を例に出したのですが、「あれ、エピ射の引き戻しがエピ射とは限らなかったな、この例はダメかも」と思って、一旦取り消しました。が、「いや待てよ、集合圏の話だよな。集合圏なら大丈夫か？ 大丈夫だわ」ともとに戻しました。
